结构力学平面结构的位移计算

第六章静定结构的位移计算§6-1

概述§6-3

支座移动和温度变化时的位移计算§6-4

静定结构在荷载作用下的位移计算§6-5

图乘法§6-6

互等定理§6-7

结构位移计算公式的另一种推导§6-2

变形体虚功原理及位移计算一般公式1§6-1

概述一.

静定结构的位移：

静定结构在荷载，温度变化，支座移动以及制造误差等外干扰因素的作用下，结构的某个截面或结点通常会产生水平线位移，竖向线位移以及转角位移。1.

截面和结点的位移：桁架受荷载作用刚架受荷载作用ABCABC22.

广义位移：

通常把两个截面的相对水平线位移，相对竖向线位移以及相对转角位移叫做广义位移。

A，B截面的竖向线位移之和

A，B截面的相对竖向线位移ABa)支座B下沉温度变化ABCABC3ABb)c)

A，B截面的相对竖向线位移

A，B截面的相对水平线位移ABq4e)d)杆件AB的转角位移A

铰结点A左、右截面的相对转角位移AlB5结构的次梁跨中挠度:结构的主梁跨中挠度:结构的楼盖跨中挠度:机械的吊车梁跨中挠度:二.

位移计算的目的：1）验算结构的刚度：结构的设计规范中要求:62）为求解超静定结构的内力和位移计算作准备

在求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解答，必须补充位移连续条件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mAB

如右图示超静定单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如：可以取任意值。7三.实功和虚功的概念：1.

实功：

力在由该力引起的位移上所作的功称为实功。即：

右图中，外力是从零开始线性增大至，位移也从零线性增大至。也称为静力实功。

FP1Δ182.虚功：右图简支梁，先加上，则两截面1，2之位移分别为，。然后加，则1，2截面产生新的位移FP1FP212

力在由非该力引起的位移Δ上所作的功，叫作虚功。9实功：虚功：

虚功强调作功的力与位移无关，即它们之间没有因果关系。FP1FP21210§6-2

变形体虚功原理

及位移计算的一般公式一.

变形体的虚功原理

定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的外力虚功W恒等于各个微段内应力的合力在变形上所作的内力虚功Wi

，即:

W=Wi

。11下面讨论W及Wi

的具体表达式：条件：1）存在两种状态：

第一状态为作用有平衡力系；

第二状态为给定的位移及变形。以上两种状态彼此无关。

2）力系是平衡的，给定的位移及变形是符合约束条件的微小连续变形。

3）上述虚功原理适用于弹性体和非弹性体。

12第二状态（给定位移和变形）q(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）没有因果关系13外力虚功：微段ds的内力虚功dWi：整根杆件的内虚功为：14根据虚功方程W=Wi，所以有：实际结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：15小结：

只要求两个条件：力系是平衡的，给定的位移和变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定，超静定，杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性体。

考虑了杆件的弯曲，剪切及轴向变形。1)2)3)16

变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。

二.

位移计算的一般公式所以:

在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载，则虚功方程为：

用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。17

下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。给定位移，变形虚设平衡力系ABC1.欲求

，则在C截面加上竖向单位载荷则该静定刚架就产生了一组平衡力系。ABC182.位移计算一般公式------单位荷载法

外力虚功：

内力虚功：

所求位移：——给定的位移和变形。力和位移无关。3.小结1）——单位载荷在结构中产生的内力和支座反力，、、、19，则与同向；若求得的，3）外力虚功这一项前取正号。若求得的则与反向。2）正负号规则：

若及使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负；乘积及的正负号分别由力与应变的正负号确定。使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负，以顺时针方向为正，反之为负；以拉力为正，压力为负，

以拉应变为正，压应变为负；若与同向，则乘积为正，反之为负。204）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。图示虚拟单位荷载分别用于求位移ABC①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；③利用位移计算一般公式求位移。

5）求位移的基本步骤如下：21例6-2-1

已知杆AB和BC在B处有折角(见图a)，求B截面下垂距离。给定位移b)a)1）将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加铰，见图b)。解：ABCl/32l/3ABCl/32l/3222）虚设平衡力系如图c)所示。运用虚功方程W=0得：给定位移b)虚设平衡力系c)1/3ABCl/32l/32/312l/9ABCl/32l/323例6-2-2

已知杆AB在B左、右截面有竖向相对错动(见图a)，求。ABCl/32l/3a)BABCl/32l/3b)给定位移1）将制造误差明确为刚体位移，将截面B变为滑动联结，见图b)。解：242）虚设平衡力系如图c）所示。运用虚功方程W=0得：c)虚设平衡力系1/lABCl/32l/311/l1/l1/lb)给定位移BABCl/32l/325例6-2-3

已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度。虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程

，得：给定位移虚设平衡力系ABCl/2l/2l/41/21/21CABRl/2l/2解：26三.广义位移的计算:求图a）结构A，B截面相对水平位移。+a)给定位移c)

虚设单位荷载

1AB1b)AB11d)

虚设单位荷载

2AB1=qABΔAHΔBH27虚设单位载荷如上页图c)，d)所示，则有：由上图b)，可得：所以，得：28

所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：1)q求ABC11单位荷载ACB29AB1/l1/l单位荷载ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)ABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）原结构3)30例6-2-4

因温度变化底板AB弯曲成半径R=10m之圆弧状，求截面C、D的相对水平位移。给定位移虚设平衡力系CR=10mD0.7mAB2mCD0.7AB110.7

在截面C、D上加一对大小相等，方向相反，沿水平方向的单位荷载，如图所示。解：31注意：AC、BD杆无弯曲变形。32§6-3

支座移动和温度变化所引起

位移的计算一.

支座移动所引起位移的计算说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去掉。2）若

与方向相同，则乘积为正，反之为负。

若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：33例6-3-1

已知刚架支座B向右移动a,求

解：1）求：CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求D在C点加一个竖向单位力，做虚拟的单位力状态：34CADB10.50.5h/dh/d求ΔDHd/2d/22）求：CADB1/h1/h00求ΔφCd/2d/2113）求：CABhd/2d/2aD35二.

温度变化所引起位移的计算

静定结构在温度变化作用下各杆件能够自由变形，所以在结构的支座中不会产生支座反力，因而也不会产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值36

2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：对于矩形截面杆件，，。hb杆轴线处温度改变值：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-

t1dt37拉应变：弯曲应变：剪应变：4.温度改变所引起的位移的计算公式：3.微段的应变：38小结：以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。2）1）正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），则乘积为正，反之为负。39例6-3-2求图示刚架C截面水平位移。已知杆件的线膨胀系数为，杆件矩形横截面高为h。解：CABdd1CABdd图11CAB图111.作虚拟状态的内力图，如上图

b）,c）所示。图a）图b）图c）402.

应用位移计算一般公式,计算所求位移:41§6-4

静定结构在荷载作用下的

位移计算一.

基本公式虚设平衡力系CABDFP=1给定位移和变形

求下图示结构在荷载作用下的位移。FPCABqDD42

若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：

上式适用条件：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。

在荷载作用下，应变与内力的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）43正负号规则：正正负负1）不规定和的正负号，只规定乘的正负号。若和使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；

44

若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化的影响，则位移计算公式为：2）和以拉力为正，压力为负；3）和的正负号见下图。45二.

各类结构的位移计算公式1.梁和刚架：

在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式简化为：

在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。

对于深梁，即h/l

较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。462.桁架：

桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：3.拱：拱轴截面轴向变形的影响，通常不能忽略：4.组合结构：用于梁式杆用于二力杆区分杆件47例6-4-1求简支梁中点竖向位移，并讨论剪切变形对位移的影响。qxAMPFSPql/2ABqCl/2l/2ABCl/2l/2xA0.5xx48解：49

若杆件的截面为矩形，则k=1.2；又μ=1/3，则E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，则

h/l=1/2，则可见，剪切变形的影响不能忽略。50§6-5

图乘法

图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与其形心对应竖标的乘积的运算。一.

图乘法的基本公式

为方便讨论起见，我们将把积分改写成。51Mi图yxMk图dω=MkdxMk(x)xdxAByxMi(x)=xtgxAB52说明：3）若与在杆轴或基线的同一侧，则乘积

取正号；若与不在杆轴或基线的同一侧，则乘积取负号。2）

与的取值：一定取自直线图形，则取自另一个图形，且取的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。1）适用条件：杆为等截面直杆，即等于常数；

与图形中至少有一个是直线图形。53二.常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线hω5l/83l/8二次抛物线hω二次抛物线3l/4l/4hω二次抛物线hω?54三.运用图乘法计算结构的位移举例

运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。M2M12l/3l/3M1M22l/3l/355分段：图均应按直线图形的斜率变化情况分为相应的若干区段，然后进行计算。ABCD图ABCD图56分块：只对或中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。ABAB57例6-5-1求图示悬臂梁端部A点的竖直位移。解：作和，如上图所示。图MP图分段：，，分为AC、CB两段。分块：图的CB段分为两块。MP图图采用图乘法计算：FPCBy1y2y3EI1EI2AMP图ACBEI1EI2ω1ω2ω31图58

此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是，再加上刚度为的AC段，再减去刚度为的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1159例6-5-2求悬臂梁中点C的竖向位移,EI等于常数。解：作图图，如右图所示。MPA1CB2ω2y1图分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。MPMP采用图乘法计算：16A4CBω1MP图y2ACB2m2m2kN/m60

如果将AC段的图如下图那样分块，就比较麻烦。

16A4C84图例6-5-3

求简支梁端B截面的转角位移,EI等于常数。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kNm4kN2kN/m2mAC作图图，如下页图所示。611/21y1ω2y3图1BAC81244MP图ω1ω3y2ACB（kN.m)采用图乘法计算：62例6-5-4求简支梁中B截面的转角位移,EI等于常数。解：

作图及图，如右所示。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1图图1412ω1ω3（kN.m)6分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。采用图乘法计算：631/61/62/31/31ω2y3y1图6图1412ω1ω3（kN.m)64解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m例6-5-5

求悬臂刚架C点的水平位移，EI等于常数。分块：图的AB段分为两块。作图和图见下页图。654ω2y3=412ω1MP图(kN.m)2m2y22y1图1ω3ABC4采用图乘法计算：66§6-6

互等定理

互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一.功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II

。AB12ab状态I状态IIAB12ab67

令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：AB12ab状态I状态IIAB12ab68

同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即69在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二.位移互等定理

在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。即即功的互等定理位移互等定理70由功的互等定理可得：

在线性变形体系中，位移Δij与力FPj的比值是一个常数，记作δij，即：或于是所以状态II12状态I1271说明：1）

δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。

i

产生位移的方位；

j

产生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲

上仍然保持相等。状态II12状态I1272例6-6-1

试验证位移互等定理。解：FP1=Fa/2a/21EIΔ2121FFa/41/2a/2a/21EIFP2=MΔ122M1a/4M/273所以例6-6-2

试验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kNmΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ1274解：所以11113FP2=3kN5FP1=5kNm75三.反力互等定理

反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。根据功的互等定理有：即:12FR22FR12状态II12FR21FR11状态I76

在线性变形体系中，反力FRij与cj的比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：

rij也称为刚度系数，即结构产生单位位移所需施加的力。其量纲为。

i

产生支座反力的方位；

j

产生支座移动的支座。77例6-6-3

试验证反力互等定理。在任一线性变形体系中，由位移c1引起的与位移c2相应的反力影响系数r21等于由位移c2引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。12EI

,

lr12可见：r21=3EI/l23EI/l12r21EI

,

l3EI/l3r12=3EI/l2反力互等定理78四.位移反力互等定理根据功的互等定理有：令

上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移,支座反力应与支座种类相应。状态I12FR21状态II1Δ12279所以由此得到即

上式中的力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数，的量纲都是。在任一线性变形体系中，由