结构力学-静定梁

第三章静定结构的内力分析静定结构几何特征：无多余约束的几何不变体系力学特性：所有的反力与内力均可通过平衡方程求得主要的静定结构：梁刚架拱桁架静定的组合结构学习目的与要求目的与要求：熟练掌握静定梁的内力计算和内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力。重点：截面法、微分关系的应用、简直梁叠加法。难点：简直梁叠加法，绘制弯矩图的技巧第一部分静定梁的内力计算1、截面法求截面内力内力定义轴力=横截面上应力沿轴切线方向投影的代数和。剪力=横截面上应力沿轴法线方向投影的代数和。弯矩=横截面上应力对轴心力矩的代数和。MMMMFNFNFNFNFSFSFSFS内力正负号规定第一节单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力内力计算的基本方法截面法

截取隔离体；代之相应截断力；平衡方程求解1斩断隔离体与周围的所有联系，代之以约束力取隔离体注意事项：2约束力要符合约束性质3受力图中只画隔离体本身所受的力4不多力亦不漏力5未知力一般假设为正方向第一节单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力a.

单跨梁基本形式简支梁(Simply-supportedbeam)伸臂梁(Overhangingbeam)悬臂梁(Cantilever)单跨梁在工程中应用很广，是组成结构的基本构件之一，是受力分析的基础。单跨梁的受力分析静定单跨梁是按两刚片规则与基础相连组成静定结构第一节单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力a.

单跨梁基本形式b.

单跨梁计算支座约束反力计算：根据支座类型，确定反力性质和个数，斩断梁与基础的联系，代之以约束反力，由平面一般力系的三个平衡方程确定反力。FPFByFAyFAx∑X=0FAx=0∑mA=0FBy=3FP/2FPll/2ABC∑mB=0FAy=-FP/2第一节单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力指定截面内力计算：沿欲求截面内力处假想截开暴露内力，选外力较少部分为隔离体，隔离体上已知力按实际方向示出，未知力设为正号方向，由平衡方程确定内力。FAyFAx∑X=0FNx=0∑Y=0FSk=FP/2FPll/2ABC∑mk=0Mk=-FPl/4FSkFNkMkk第一节单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力

微分关系隔离体2、内力与荷载之关系第一节单跨静定梁的计算1、截面法求截面内力微分关系的几何意义:剪力图某点切线斜率等于该点横向荷载集度，但符号相反；弯矩图某点切线斜率等于该点对应的剪力。2、内力与荷载之关系第一节单跨静定梁的计算梁上荷载剪力图弯矩图无荷载段均布荷载段集中力点集中力偶1、截面法求截面内力平轴直线斜直线斜直线抛物线有突变有突变无变化有折点微分关系的图形特征:2、内力与荷载之关系第一节单跨静定梁的计算一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有尖角(向下）

有突变(突变值=P)无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(P向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线

积分关系B

端剪力等于A端剪力减去该段荷载q图的面积，再减去集中力的和。B端弯矩等于A端弯矩加上该段剪力图的面积，再加上集中力偶的和。FQAFQBMAMB作内力图的一般步骤

(1)求支座反力。（有时可不用先求出来）(2)选择控制截面。(3)计算控制截面的内力值，(截面法)

根据梁段上荷载的情况把各相邻控制截面点联线即成相应的剪力图和弯矩图。控制截面是指荷载不连续的点。(5)内力图形状特征的校核。(4)分段绘制内力图。

例

用截面法求作简支梁的内力图。解：(1)求支座反力。(3)计算各控制截面的内力值。(2)将梁分段，A、C、D、E、G、B点为控制截面点。注意：

1）集中力作用的截面其左、右两侧的剪力是不同的，两侧相差的值就是该集中力的大小。

2）集中力矩作用截面的两侧弯矩值也是不同的，其差值就是集中力矩的大小。

3）各截面的剪力等于截面左边所有各力在垂直于杆轴方向投影的代数和。

计算各控制截面的弯矩，各截面的弯矩等于该截面左边所有各力对截面形心力矩的代数和。881361127230M图(kN·m)24kN36kN44kN+_DEBCAFS图（kN）H（4）作内力图。40(5)计算分布荷载作用梁段的弯矩最大值。

DE段梁的弯矩最大截面就在剪力为零处，剪力为零的截面H的位置可由比例求出，其值为xH

=1.6m

。最大弯矩MH

为：24kN36kN44kN+_DEBCAFS图H1、截面法求截面内力2、内力与荷载之关系3、分段叠加法作弯矩图分段叠加法的理论依据：构件足线弹性、小变形简支梁熟记弯矩图MqFP第一节单跨静定梁的计算应熟记常用单跨梁的弯矩图FP

aFPlabABBAFlabFablBAqlql2

8mBAablml

alm

blmml3、分段叠加法作弯矩图做法：先在梁端绘弯矩竖标过竖标顶点连直虚线以虚线为基础叠加相应简支梁弯矩图FPMBMAa.简支梁弯矩叠加法复杂的弯矩图是由几个简单的图形叠加合成的第一节单跨静定梁的计算qABBA=AqB+MAMBMAMBMAMB注意：①弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合；②要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩图；③利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯矩图；④利用叠加法可以少求控制截面的弯矩；⑤问题越复杂外力越多，叠加法的优越性越突出。3、分段叠加法作弯矩图a.简支梁弯矩叠加法FPFPl/4FPl/4l/2l/2MMMl/2l/2练习：绘制简支梁弯矩图第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图a.简支梁弯矩叠加法练习：绘制简支梁弯矩图ql2/8ql2/8qlql2/8ql2/8ql第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图a.简支梁弯矩叠加法FP两者内力相同？b.分段叠加法作弯矩图第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图ql/2l/2qM0FAyFByFAyM0FOy

例题：绘制图示梁的弯矩图第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图分析步骤

确定控制点分析各段内力图走势求控制截面内力绘控制截面间内力图确定弯矩最大点位置及最大值ql/2l/2qM0FAyFByFAyM0FOy

例题：绘制图示梁的弯矩图第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图

例题：绘制图示梁的弯矩图[分析]该简支梁弯矩控制截面为：D、F叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值第一节单跨静定梁的计算2m2m1m1m1m1mABCDEFG3、分段叠加法作弯矩图[解]（1）先计算支座反力（2）求控制截面弯矩值17kN7kNMD=26kNmMF=30kNm第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图[解]（1）先计算支座反力（2）求控制截面弯矩值（3）绘内力图第一节单跨静定梁的计算263023717179717kN7kNMD=26kNmMF=30kNmM图(kN·m)FS图(kN)3、分段叠加法作弯矩图练习：绘制图示梁内力图ql/2l/2l/2l/2l/2l/2q第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图练习：绘制图示梁内力图ql/2l/2l/2l/2l/2l/2qFP第一节单跨静定梁的计算

例题：绘制图示梁的弯矩图力偶不影响剪力1m1m4m1m1m2m不可简称K截面剪力斜率相等剪力等于零处弯矩为极值点相切x=17/846.062529171510FS图(kN)181128321720M图(kN·m)25kN29kN10kN12kN22kN.m18kN.m8kN/mK37/51

例题：绘制图示梁的弯矩图1m1m2m2m4m40kN160kN80kN.m40kN/m斜率相等不相FS图(kN)340130210280160M图(kN·m)310kN130kN3、分段叠加法作弯矩图判断梁内力图的正确性MM图FS图第一节单跨静定梁的计算FS图MFR1FR2FR2一定大于零；FR1可能大于零、等于零或小于零；FR1>0

时FR1=0

时FR1<0

时M图M图M图FS图FS图M图FS图FS图FR1<FP

时FR1FR2FPFS图FS图FR1=FP

时FR1>FP

时M图M图M图支反力FR1FR2一定大于零；第一节单跨静定梁的计算3、分段叠加法作弯矩图判断梁内力图的正确性M图FS图FR2一定大于零；FS图FR1>0

时FR1=0

时FR1<0

时FR1FR2FPMFR1可能大于零、等于零或小于零；M图FS图FS图M图M图M图Q图MR

可能大于零、等于零或小于零；FR1>0

时FR1可能大于零、等于零或小于零；FR1MRFS图M图M图M图M图M图M图FR1=0

时FS图FR1<0

时FS图M图M图M图第二节多跨静定梁的计算1.多跨静定梁的组成层次图第二节多跨静定梁的计算1.多跨静定梁的组成由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座与基础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系统中常用的一种结构形式。2.构造特点3.组成顺序基本部分附属部分层次图第二节多跨静定梁的计算1.多跨静定梁的组成2.构造特点3.组成顺序4.传力关系力作用在基本部分上时，仅在自身上产生内力和弹性变形，附属部分不受力，但可以有刚体位移力作用在附属部分上时，可使自身和基本部分上均产生内力和弹性变形力的传力顺序与组成顺序相反。第二节多跨静定梁的计算1.多跨静定梁的组成2.构造特点3.组成顺序4.传力关系由平衡条件可以求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，计算顺序应与传力顺序相同，即先计算附属部分后计算基本部分。5.计算原则第二节多跨静定梁的计算1.多跨静定梁的组成2.构造特点3.组成顺序4.传力关系5.计算原则6.计算步骤把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁，先计算附属部分；将附属部分的反力反向地加在基本部分上，作为基本部分上的外载，再计算基本部分；最后把各单跨静定梁的内力图连在一起即多跨静定梁的内力图。计算关键正确区分基本结构和附属结构，计算按先附后基次序；熟练掌握单跨静定梁的绘制方法

例题：绘制图示梁的内力图120kN40kN/m60kN60kN235kN145kN8m2m3m3m120kN40kN/mKABCD第二节多跨静定梁的计算120kN40kN/mKABCDM图(kN·m)263120180FS图(kN)1456060175练习：绘制图示梁内力图3m3m20kN2kN/m2m2m2m2m4m10kNABCDEF第二节多跨静定梁的计算练习：绘制图示梁内力图3m2m5kN/m2m2m2m2m5m10kN10kN20kN·m第二节多跨静定梁的计算第二节多跨静定梁的计算多跨度梁形式并列简支梁多跨静定梁超静定连续梁为何采用多跨静定梁这种结构型式?第二节多跨静定梁的计算考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰D处于什么位置时跨间的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等。ABCDqll-xxABCD58/51第二节多跨静定梁的计算考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰D处于什么位置时跨间的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等。qll-xxABCD令第二节多跨静定梁的计算考察静定多跨梁最大正弯矩和最大负弯矩，并确定铰D处于什么位置时跨间的最大正弯矩与支座B截面的负弯矩的绝对值相等。qll-xxABCDqABCM2M1伸臂梁产生的负弯矩削减了弯矩峰值，使梁内弯矩分布更均匀，从而节省材料。但构造相对复杂，且当基本部分破坏时附属部分随之失效第二节多跨静定梁的计算可利用叠加法直接作弯矩图（计算由附属部分开始）由弯矩图直接作剪力图（但由剪力图无法唯一确定弯矩图。除非补充条件）讨论：在已知结构和荷载的情况下1、弯矩图直线段通过微分关系计算该段剪力：由轴线向弯矩图旋转，如方向为顺时针则剪力为正，反之为负。2、弯矩图曲线段通过平衡关系叠加计算控制点剪力，再连直线即可。由剪力图确定支座反力第二节多跨静定梁的计算l/2l/2FPABC梁间铰的弯矩必为零，应保证满足，并充分利用之，以方便求解。1