固体物理学期末复习(二)

固体物理学复习（二）综合分析题密积比，最近邻原子间距和晶格常数

见习题1.1，1.2，1.7例：1）金刚石结构原子密排方向[111],最近邻原子间距：2R2Ra2）六角密积结构（hcp)六棱柱状晶胞内原子数：12×1/6+2×1/2+3=6

例1：求晶面交线的晶向:(111)与(100)，(111)与(110)。解：设两晶面交线的晶向为[uvw]，由于晶面上任一直线均与晶面法向正交，故有：因此，(111)与(100)交线的晶向为：见图a)；晶列、晶向、晶面

同理，(111)与(110)交线的晶向为：a)b)见图b)；例2：已知立方晶系晶体的晶格常数为a，请标出如下晶列和晶面：［010］，［101］，［121］；（010），（121），（123）。Oabc[010][101][121]ABCDE所求晶列如图：[010]—OB；[101]—OD；[121]—OE.

所求晶面如图：（010）—BDEF；（121）—AGC；（123）—AGH。Oabc(010)ABCDEFGH例3：如图为一立方晶胞，已知H[[1/3,0,0]],I[[0,1/2,0]]。请标出晶面OAGB、AGFE、CDEF、ABDF、CHI和ABC的面指数。OAGB—（001）AGEF—（100）CDEF—（001）ABDF—（110）CHI—（321）ABC—（111）OABCGEFDHI倒格子与布里渊区例：已知三维晶体之原胞基矢为：

试求：1）倒格子基矢及倒格子原胞体积；2）晶面（210）之面间距；画出以为基矢的二维格子的前三个布里渊区。解：1)由定义:

所以，倒格子基矢为：

倒格子原胞体积：2)晶面（210）之面间距：3）画第一、二、三布里渊区a)由倒格子基矢：周期性平移作出倒格子（倒点阵）如图；ijb1b2jib1b2b)作最近邻倒格点的中垂线，如图中红线；c)作次近邻倒格点的中垂线，如图中蓝线；ijb1b2d)取中垂线围成的封闭区域；ijb1b2第一布区第二布区第三布区e)按布区定义分别确定第一、第二和第三布区：倒格矢中垂线围成的最小区域为第一布区，跨越第一布区的边界所能到达的区域为第二布区，跨越第二布区的边界所能到达的区域为第三布区，各区面积之和等于倒格子原胞面积；如图。晶体衍射例：某立方晶系的Cu粉末衍射中，衍射角有：求衍射晶面的密勒指数(hkl)。问立方晶体属何种点阵？解：1)由布拉格公式：

∴衍射面指数分别为(111),(200),(220),(311),(222),(400),(331),(420)。2)立方晶体的结构因子分别为：SC：，不会产生结构消光bcc：当面指数之和为奇数时产生结构消光。fcc：fcc当h,k,l部分奇偶时，Fhkl=0，产生结构消光。由实验结果知，样品的衍射峰对应的面指数全为奇数或全为偶数，没有出现面指数为奇偶混杂晶面之衍射峰，因此，样品应为面心立方晶体。由XRD实验数据分析实际晶体的结构或进行物相分析，甚至定量分析，现已发展成一门独立的学科，即X射线固体学。例：晶体互作用能试求1)平衡间距r0；2)结合能W（单个原子）；3)若取m=2,n=10,r0=3A,W=4eV,求α和β。解：1)晶体互作作用能2)

若取m=2,n=10,r0=3A,W=4eV,求α和β。由最近邻平衡间及结合能表达式进行计算：Lennard-Jones势例：惰性元素晶体是最简单的分子晶体，原子间的相互作用能可以用Lennard-Jones势描写：1）说明式中参数σ和ε的物理意义。2）对fcc结构的惰性元素晶体，证明平衡时原子间的最近邻距离r0=1.09σ,每个原子的内聚能为u=-8.6ε.解：1）参数σ和ε的物理意义r<r0,u是排斥势，r>r0,u是吸引势，因此参数σ反映了排斥力的作用范围，而ε则反映了吸引作用的强弱。2）最近邻间距和结合能离子晶体互作用能

例：离子晶体互作用能中的排斥项C/Rn用指数形式Zλexp(-R/ρ)代替，问R0取什么值时两种排斥能给出的结合能是相等的。解：由两种表达式分别给出R0和U0为：即当时，两种形式给出的晶体结合能是相等的。例1：试求晶格常数为2a的一维布拉维格子晶格振动的色散关系及模式密度。解：1)色散关系对于一维情况，原子的运动方程为，设试解为：

晶格振动故，色散关系为：2）模式密度由色散关系，有又设例2：三维晶格光学振动在q=0附近的长波极限有求证：频率分布函数为：证明：当时无实数解例3：有N个相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限下比热正比于T2.解：二维布拉维格子有两支色散关系，即两支格波，设其传播速度相同，均为v，由德拜模型，其色散关系为：晶格振动能量：模式密度（频率分布函数）和截止频率：1)高温极限与经典的杜隆-珀替定律及实验测量结果一致。2)低温极限

高温下与经典的杜隆-珀替定律一致，高低温极限下均及实验测量结果一致。（积分与T无关）例1.根据状态简并微扰结果，求出与E+、E-对应的本征态波函数，说明它们都代表驻波。并比较两个电子云分布（即），说明能隙的来源，假设。解：设对应的零级波函数为，即它们分别满足零级近似方程

能带理论由简并波函数组成系统新的零级近似波函数：取代入波函数，得到B=-A,同理取得到A=B，因此有：两种情况下得到的都是驻波例2.电子周期场的势能函数为其中a=4b,为常数（1）试画出此势能曲线，并求其平均值（2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度。解:(1)势能曲线如下图所示，其中a=4b

V(x)xnana+bna-b(n+1)a(n-1)a(n+1)a-b(n+1)a+b(n-1)a-b(n-1)a+b势能的平均值势能的平均值（2）近自由电子近似中，势函数傅里叶展式第n项的系数令将代入上式得所以，第一个带隙宽度：第二个带隙宽度例3.

已知某一维晶格周期为a，晶体的势函数可表为：

试由近自由电子模型计算其第一和第二禁带的宽度。解：由近自由电子模型，各禁带的宽度，

而Vn是晶体势函数V(x)的傅利叶级数展式第n项的系数。其值：

两式比较，有：势函数：例：试由紧束缚模型的结果，导出简立方结构晶体S电子的能谱，并求：1）能带的宽度；2）k态电子的速度；3）能带底部及能带顶部附近电子的有效质量。解：由紧束缚的结果：

简立方每个原子有六个最近邻原子，其坐标为：将最近邻原子坐标代入能谱表达式1)能带宽度：

2）K态电子运动速度：

3)能带底部和能带顶部电子的有效质量。

由a)能带底部位于将能谱在底部附近展开，有：与自由电子能谱比较，有b)能带顶底部位于

令式中将其带入能谱表达式，并在带顶附近展开：均为小量，与自由电子能谱比较，有：例4.用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数。解：由紧束缚近似结果，s态电子的能谱：1）面心立方面心立方晶胞如图，任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，其坐标分别是：o将其代入能谱表达式的求和项，共有12项合并整理后有：2）体心立方晶胞如图，任取一个格点为原点，有8个最近格点，其坐标为：将其代入能谱表达式，化简后得到体心立方s态电子能谱：例4.证明面心立方晶体的s带紧束缚近似下的E(k)，在沿着布里渊区几个主对称轴方向，可以约化为以下的形式1）沿ΓΧ2）沿ΓL3）沿ΓK4）沿ΓWzxyΓXKL面心立方的简约布里渊区解：由紧束缚近似，面心立方S电子能谱为

1)将

代入上式得到

2)将

代入上式得到3)将

代入上式得到

4)将代入上式得到例：向铜中掺锌，一些铜原子将被锌原子所取代。采用自由电子模型，求锌原子与铜原子之比为什么值时，费米球与第一布里渊区边界相接触？（铜是面心立方晶格，单价，锌是二价）解：设晶体中有N个Cu原子，向其中掺入x个