《17.3勾股定理》期末复习自主提升训练 八年级数学上册

八年级数学上册《17.3勾股定理》期末复习自主提升训练（附答案）1．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为（）A．1 B．2 C． D．2．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（）A． B．13 C． D．253．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝3，S2＝10，则S3＝（）A．5 B．7 C．13 D．154．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．30，40，50 C．7，14，15 D．5，12，135．下列数组中，不能构成直角三角形的一组是（）A．3，4，5 B．1，， C．6、8、10 D．2、3、56．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝，b＝，c＝27．三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在6×6的网格图中，若△ABC为网格直角三角形，则满足条件的C点个数有（）A．6 B．7 C．13 D．158．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2 C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）29．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km．A．5 B．10 C．15 D．2510．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（）A． B． C．10 D．11．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝（用含n的代数式表示，其中n为正整数）12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a：b＝3：4，c＝20cm，则b＝．13．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．14．如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为．15．三角形的两边长分别为1cm和2cm，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是cm．16．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是．17．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m．18．如图，有互相垂直的两面墙OM，ON，梯子AB＝6m，两端点A，B分别在两面墙上滑动（AB长度不变），P为AB的中点，柱子CD＝4m，底端C到墙角O的距离为6m．在此滑动过程中，点D到点P的距离的最小值为m．19．有一块等腰三角形草地，测得腰CA＝CB，AB＝6m，腰比底边上的高多1米，求该草坪的面积？20．已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求△ABC的面积．21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法1号”每小时航行16nmile，“综合执法2号”每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．（1）求PQ，PR的长度；（2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪个方向航行吗？22．如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角，如图1，则有结论：a2+b2＝c2；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下a2+b2与c2的大小关系；（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．23．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10②5，，13③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．24．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：（1）图2中间小正方形的周长，大正方形的边长为．（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）①S＝；②S＝；（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式．（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：已知直角三角形的两条直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．

参考答案1．解：如图，设两直角边为a，b，∵大正方形的面积为5，∴a2+b2＝5，由题意4×ab+1＝5，∴2ab＝4，∴ab＝2，故选：B．2．解：设h为斜边上的高，∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，∴斜边为＝10，∵三角形的面积＝×6×8＝×10h，∴h＝．故选：C．3．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝10﹣3＝7，∴S3＝7，故选：B．4．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；B、302+402＝502，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；C、72+142≠152，不是勾股数，此选项符合题意；D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意．故选：C．5．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、62+82＝102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、22+32≠52，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．6．解：A、由题意知，a2+c2＝b2＝25，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、由题意知，∠A＝∠B＝62.5°，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；C、由题意知∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、由题意知，a2+c2＝b2＝7，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．7．解：由勾股定理得：AB＝，如图所示：故有13个，故选：C．8．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．故选：D．9．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15（km），所以，AE＝15km，故选：C．10．解：如图1所示，则AB＝＝2；如图2所示，AB＝＝10，故它运动的最短路程为10，故选：C．11．解：c＝2n2+2n+1，a＝2n+1∴b＝2n2+2n，故答案为：2n2+2n12．解：∵a：b＝3：4，∴设a＝3x，b＝4x，∵c＝20cm，由勾股定理可得（3x）2+（4x）2＝202，解得x＝4，∴b＝4×4＝16cm，故答案为16cm．13．解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，故答案为：4．14．解：∵由勾股定理得：AB＝＝，∴s△ABC＝×BC×3＝AB×CD，∵5×3＝×CD，∴CD＝故答案为：．15．解：∵三角形的两边长分别为1cm和2cm，∴可设第三边为xcm，∵此三角形是直角三角形，∴当x是斜边时，x2＝12+22，解得x＝；当x是直角边时，x2+12＝22，解得x＝．故答案为：或．16．解：在Rt△ABC中，AB为斜边，∴＝＝13米，少走的距离为AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米答：小明在标牌■填上的数字是4．故答案为：4．17．解：设秋千绳索AB的长度为xm，由题意可得AC＝AB＝xm，四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣3）2+62＝x2，解得x＝7.5，即AC的长度为7.5m，故答案为：7.5．18．解：∵木棍的中点为P，△AOB为直角三角形，∴OP＝AB＝3m，即点P到点O的距离为3m，∴点P的轨迹为以O为圆心，3m为半径的弧上，如图，连接OD交⊙O于P，则D到P的距离最小．在弧上任取一点P′，连接OP′，DP′，∵OP′+DP′＞OD＝OP+DP，OP＝OP′，∴DP′＞DP，∴DP为最小值，在Rt△OCD中，OC＝6，CD＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD＝OD﹣OP＝（2﹣3）（m），故答案为：（2﹣3）．19．解：过点C作CD⊥AB于点D，∵CA＝CB∴，设CD为xm，则AC＝（x+1）m，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2，即（x+1）2＝x2+33，解得：x＝4，∴CD＝4m，∴S△ABC＝，∴该草坪的面积为12m2．20．（1）证明：∵BC＝2cm，CD＝4cm，BD＝2cm，∴CD2＝16，BC2＝20，BD2＝4，∴CD2+BD2＝BC2，∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，∴CD⊥AB．（2）解：设AD＝x，则AB＝x+2，∵△ABC为等腰三角形，且AB＝AC，∴AC＝x+2，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴AB＝5，∴S△ABC＝×AB×CD＝×5×4＝10（cm²）．21．解：（1）由题意可得：RP＝12×1.5＝18（海里），PQ＝16×1.5＝24（海里）；（2）能，理由：∵RP＝12×1.5＝18海里，PQ＝16×1.5＝24海里，QR＝30海里，∵182+242＝302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“综合执法1号”沿北偏东61°方向航行，∴∠QPS＝61°，∴∠SPR＝90°﹣61°＝29°，∴“综合执法2号”沿北偏西29°方向航行方向航行．22．解：（1）猜想：若∠C为锐角时，a2+b2＞c2，若∠C为钝角时，a2+b2＜c2；（2）当∠C为锐角时，a2+b2＞c2，证明如下：如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，则BD＝a﹣x，在直角三角形ACD中，AD2＝b2﹣x2，在直角三角形ABD中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，即a2+b2＝c2+2ax，∵a＞0，x＞0，∴a2+b2＞c2，当∠C为钝角时，a2+b2＜c2，证明如下：如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，CM＝y，则BM＝a+y，在直角三角形ACM中，AM2＝b2﹣y2，在直角三角形ABM中，AM2＝c2﹣（a+y）2，∴b2﹣y2＝c2﹣（a+y）2，即a2+b2＝c2﹣2ay，∵a＞0，y＞0，∴a2+b2＜c2．23．解：（1）①6，8，10；②5.12，13；③8，15，17．故答案为：6，12，17；（2）证明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2，（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n