《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》同步练习

《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》同步练习A组基础巩固1．设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))则2x＋3y的最大值为()A．20B．35C．45D．55解析：根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值．作出不等式组对应的平面区域(如下图)，平移直线y＝－eq\f(2,3)x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55，故选D.答案：D2．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]解析：因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，则z＝2x＋3y，x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则点(x，y)的可行域如下图中阴影部分所示．当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3；当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3.答案：D3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0))所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)解析：已知的不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－eq\f(1,3).答案：C4．若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－my＋1≥0，))且x＋y的最大值为9，则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：如图首先根据目标函数有最大值，可知m>0(否则平面区域不封闭，则最值不存在)．即m>0时，可行域如图．结合图形当将直线x＋y＝0平移至点A时，目标函数z＝x＋y取得最大值9，因此点A可视为两直线x＋y＝9,2x－y－3＝0的交点，联立方程可得A(4,5)．又点A在直线x－my＋1＝0上，代入直线方程可得m＝1.答案：C5．在平面直角坐标系中，动点M(x，y)满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x＋y－2≤0，,y－1≥0，))动点Q在曲线(x－1)2＋y2＝eq\f(1,2)上，则|MQ|的最小值为()\r(2)\f(3\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)\r(5)－eq\f(1,2)解析：圆(x－1)2＋y2＝eq\f(1,2)的圆心坐标为(1,0)，半径r＝eq\f(\r(2),2)，则圆心到可行域的最小距离为到直线x－y＋2＝0的距离，即d＝eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴|MQ|的最小值为d－r＝eq\r(2)，故选A.答案：A6．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,8x－y－4≤0，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．解析：画出约束条件表示的规划区域，如图．当目标函数z＝abx＋y运动到A(1,4)时，目标函数z取得最大值，即8＝ab＋4，∴ab＝4.∵(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴a＋b－2eq\r(ab)≥0，即a＋b≥2eq\r(ab)＝4.答案：47．已知点P(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y≤25，,x－1≥0，))点A(2,0)，则|eq\o(OP,\s\up12(→))|·sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．解析：由于|eq\o(OP,\s\up12(→))|sin∠AOP＝|eq\o(OP,\s\up12(→))|×eq\f(yp,|\o(OP,\s\up12(→))|)＝yp，故将不等式组表示的可行域作出，如右图易知点P的纵坐标取得最大值，解得yp＝eq\f(22,5).答案：eq\f(22,5)8．已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤4，,－2≤x－y≤2.))若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围是________．解析：由变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2，在坐标系中画出可行域，如图中的阴影部分所示，为四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD＝1，kAB＝－1.目标函数z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率为－a的一族平行直线在y轴上的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB＝－1，即－a<－1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)9．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1,0≤y≤2,2y－x≥1))，求z的最大值和最小值．解：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1,0≤y≤2,2y－x≥1))的可行域(如右图所示)．令t＝2y－2x，则z＝t＋4.将t＝2y－2x变形得直线l：y＝x＋eq\f(t,2).则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大；当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x万元、y万元，盈利为z万元．根据题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,＋≤，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,3x＋y≤18，,x≥0，,y≥0，))目标函数为z＝x＋.作出可行域如下图阴影部分所示．令z＝0作直线l：x＋＝0.当直线l向上平移时，所对应的z＝x＋的函数值随之增大，所以当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x＋取得最大值．顶点M是直线x＋y＝10与直线3x＋y＝18的交点，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,3x＋y＝18，))可以求得顶点M的坐标为(4,6)，代入z＝x＋，得zmax＝4＋6×＝7.所以投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元、6万元，才能确保可能的资金亏损不超过万元，使可能的盈利最大．B组能力提升11．已知O为坐标原点，点M的坐标为(a,1)(a>0)，点N(x，y)的坐标x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y≤1.))若当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))时，eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))取得最大值，则a的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y≤1))所表示的可行域如下图，由目标函数eq\o(OM,\s\up12(→))·eq\o(ON,\s\up12(→))＝(a,1)·(x，y)＝ax＋y所表示的斜率为－a的平行直线系仅过点A(3,0)时，取得最大值可得－a<kAB＝－eq\f(1,2)，解得a>eq\f(1,2)，故选D.答案：D12．设实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1≥0，,4x－y－6≤0，,2x＋y－k－2≥0，))且4x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是________．解析：不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1≥0，,4x－y－6≤0，,2x＋y－k－2≥0))所表示的可行域如图，点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋3,4)，\f(k＋1,2)))，其满足4x2＋y2取得最小值，此时最小值为m＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋3,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋1,2)))2＝eq\f(k2＋4k＋5,2).由9≤m≤25，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋4k＋5≤50，,k2＋4k＋5≥18，))解得k∈[eq\r(17)－2,5]．答案：[eq\r(17)－2,5]13．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝eq\f(2y＋1,x＋1)的取值范围．解：(1)作出可行域如下图，计算得点A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．过点M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，故MN＝eq\f(|0－5＋2|,\r(1＋－12))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴MN2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(9,2)，∴z的最小值为eq\f(9,2).(2)z＝2·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),x－－1)表示可行域内点(x，y)与定点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))连线斜率的2倍．∵kQA＝eq\f(7,4)，kQB＝eq\f(3,8)，∴z的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,2))).14．某人民商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：资金每台空调或冰箱所需资金(百元)月资金供应数量(百元)空调冰箱成本3020300工人工资510110每台利润68问：该商场怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使总利润最大？解：设空调和冰箱月供应量分别为x台，y台，月总利润为z百元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋20y≤300,5x＋10y≤110,x，y∈N*))，z＝6x＋8y作可行域如下图，∵y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,8).其截距为eq\f(z,8)，斜率为k＝－eq\f(3,4).满足eq\b\lc\|\rc\|