第四章向量组的线性相关性

第四章

向量组的线性相关性§1向量组及其线性组合定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．当R(A)<

n时，齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向量组含有无穷多个向量．结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数

k1,k2,…,km

，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A

的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组

A

的线性表示．例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b

，必有n

阶单位矩阵En

的列向量叫做n

维单位坐标向量．结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量b能由向量组

A线性表示线性方程组Ax=b

有解P.83定理1的结论：定义：设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B

中的每个向量都能由向量组A

线性表示，则称向量组B

能由向量组A

线性表示．若向量组A

与向量组B

能互相线性表示，则称这两个向量组等价．口诀：左行右列定理：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在

A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在

A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.结论：若C=AB，那么矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A

在左边）矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B

在右边）A经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使AP1

P2…,Pl=B存在m

阶可逆矩阵

P，使得AP=B矩阵B

的列向量组与矩阵A

的列向量组等价矩阵B

的行向量组与矩阵A

的行向量组等价同理可得口诀：左行右列.把

P

看成是线性表示的系数矩阵向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示 存在矩阵K，使得AK=B

矩阵方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤R(A)（P.85定理3）推论：向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．证明：向量组A和B等价向量组B能由向量组A

线性表示向量组A能由向量组B

线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3

线性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

线性表示．行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．小结向量

b

能由向量组

A线性表示线性方程组

Ax=b

有解向量组

B

能由向量组

A线性表示矩阵方程组AX=B

有解向量组

A

与向量组

B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理§2向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)<

m备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.若向量组只包含一个向量：当

a

是零向量时，线性相关；当

a不是零向量时，线性无关．向量组A：a1,a2,…,am(m≥2)线性相关，也就是向量组A

中，至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示． 特别地，a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．a1,a2,a3

线性相关的几何意义是三个向量共面．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．例：试讨论n

维单位坐标向量组的线性相关性．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法1：转化为齐次线性方程组的问题．已知，记作B=AK．设Bx=0，则(AK)x=A(Kx)=0．因为向量组a1,a2,a3

线性无关，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，从而向量组b1,b2,b3线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量组a1,a2,a3

线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关．定理（P.89定理5）

若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关． 其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．m

个n

维向量组成的向量组，当维数n

小于向量个数m

时，一定线性相关． 特别地，n+1个n

维向量一定线性相关．设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．§3向量组的秩向量组的秩的概念定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A

的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．最大无关组所含向量个数r

称为向量组A

的秩，记作RA．矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b

有解当且仅当向量b

能否由向量组A

线性表示一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）今后，向量组a1,a2,…,am的秩也记作R(a1,a2,…,am)．若Dr

是矩阵A

的一个最高阶非零子式，则Dr所在的

r

列是A

的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的

r行是A

的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关，从而a1,a2

是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3

和a2,a3也是最大无关组．最大无关组的等价定义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；向量组A

中任意一个向量都能由向量组A0

线性表示；那么称向量组A0是向量组A

的一个最大无关组．矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b

有解当且仅当向量b

能否由向量组A

线性表示向量组与自己的最大无关组等价最大无关组的意义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 特别，当向量组A为无限向量组，就能用有限向量组来代表．凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去．例：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．例：设矩阵求矩阵A

的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．A0的3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个最大无关组．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合？思路1：利用P.83定理1的结论思路2：利用矩阵A

的行最简形矩阵．向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b

有解令A0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（续）：为把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合，把矩阵A

再变成行最简形矩阵于是Ax=0与Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩阵

A的列向量组与矩阵

B的列向量组有相同的线性关系.可以看出：

b3=−b1−b2 b5=4b1+3b2−3b4所以

a3=−

a1−

a2 a5=4a1+3a2−3a4§4线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0

有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<

n．包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)<

n时，方程组有无限多个解．引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系．备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．解向量的定义定义：设有齐次线性方程组Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1为该方程组的解，则称为方程组的解向量．齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，

x=x2

是齐次线性方程组Ax=0的解， 则x=x1+x2

还是Ax=0的解．证明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0的解，k为实数， 则x=kx

还是Ax=0的解．证明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．结论：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0的解.结论：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表示出来？把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S

的一个最大无关组S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示为x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．回顾：向量组的秩的概念定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足①向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；②向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关；②'

向量组A中任意一个向量都能由向量组A0线性表示；那么称向量组A0是向量组A的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．返回基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：x1,x2,...,xr如果满足①

x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．后n-r

列前r

列设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令xr+1,…,xn作自由变量，则令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则齐次线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）

n

−

r

列前

r

行后

n

−

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

−

r

，即x1,

x2,…,xn-r线性无关．（满足基础解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系．令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）

此即为Ax=0

的基础解系．通解为

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，则令定理：设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n

−r．基础解系的求解例：求齐次线性方程组的基础解系．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．即令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所以x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．方法2：先求出基础解系，再写出通解．即令合起来便得到基础解系，得还能找出其它基础解系吗？问题：是否可以把x1

选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．令x1=c1，x2=c2，得通解表达式即从而可得另一个基础解系：h1和h2．定理：设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n

−r．例：设Am×nBn×l=O（零矩阵），证明R(A)+R(B)≤n．例：证明R(ATA)=R(A)．例：设n

元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，证明R(A)=R(B)．非齐次线性方程组的解的性质性质3：若x=h1，

x=h2

是非齐次线性方程组Ax=b的解，则x=h1−h2

是对应的齐次线性方程组Ax=0

（导出组）的解．证明：A(h1−h2)=

Ah1−Ah2

=b−b=0．性质4：若x=h是非齐次线性方程组Ax=b的解，x=x是导出组Ax=0的解，则x=x+h

还是Ax=b

的解．证明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b．根据性质3和性质4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．设Ax=0

的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解为h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*例：求线性方程组的通解．解：容易看出是方程组的一个特解

．其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为于是，原方程组的通解为小结：关于线性方程组求解线性方程组（第三章，利用矩阵的初等行变换）线性方程组的几何意义（第四章，四种等价形式）齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造．基础解系是解集S

的最大无关组．解集S是基础解系的所有可能的线性组合．非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.§5向量空间封闭的概念定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集Z有理数集Q实数集R向量空间的概念定义：设V是n维向量的集合，如果①集合V非空，②集合V对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若a

∈

V，b

∈

V，则a+b

∈

V．（对加法封闭）若a

∈

V，l

∈

R，则l

a

∈

V．（对乘数封闭）那么就称集合V为向量空间．例：下列哪些向量组构成向量空间？

n

维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}非齐次线性方程组的解集S2={x|Ax=b}解：集合Rn，V1，S1是向量空间，集合V2，S2不是向量空间．定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.例：设a,b为两个已知的n维向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一个向量空间吗？解：设x1,x2∈L，k∈R，因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一个向量空间．定义：把集合L={la+mb|l,m∈R}称为由向量a,b所生成的向量空间．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}称为由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空间．例：设向量组a1

,a2

,...,am和b1

,b2

,...,bs等价，记L1={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}，L2={m1b1+m2b2+…+msbs|m1,m2,...,ms∈R}，试证L1=L2．结论：等价的向量组所生成的空间相等．alaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamba1a2L1={l1a1+l2a2|l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2|m1,m2∈R}则

L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3∈R}问题：L1=L2=L3?b1b2b3返回子空间的概念定义：如果向量空间V的非空子集合V1对于V中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称V1是V的子空间．例：

n

维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：V1是Rn

的子空间，V2不是Rn

的子空间．向量空间的基的概念定义：设有向量空间

V，如果在V中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足①a1,a2,…,ar线性无关；②V中任意一个向量都能由a1,a2,…,ar线性表示；那么称向量组a1,a2,…,ar

是向量空间V的一个基．r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间

．向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩

n

维向量的全体Rn解：En

的列向量组是Rn的一个基，故Rn

的维数等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：En

的后n－1个列向量是V1的一个基，故

V1的维数等于n－1

．

n

元齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}解：齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基，故

S1的维数等于n－R(A)．

n

维向量的全体Rn解：En

的列向量组是Rn的一个基，故Rn

的维数等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：En

的后n－1个列向量是V1的一个基，故

V1的维数等于n－1

．结论：若V1是V

的子空间，则V1的维数不超过V的维数．

n

元齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}解：齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基，故

S1的维数等于n－R(A)．由a1

,a2

,...,am所生成的向量空间L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}若a1

,a2

,...,am线性无关，则

a1

,a2

,...,am是向量空间L

的一个基．若a1

,a2

,...,am线性相关，则

向量组A：a1

,a2

,...,am等价于 向量组A的最大无关组A0：a1

,a2

,...,ar从而L=L1={l1a1+l2a2+…+lr

ar|l1,l2,...,lr∈R}故向量组A0就是L的一个基，A0中向量的个数就是L的维数.由a1

,a2

,...,am所生成的向量空间L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}解：

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}

向量组A：a1

,a2

,...,am等价