第十章行波法和分离变量法本征值问题

第十章行波法和分离变量法

本征值问题(P198)2/1/20231第十章简介本章是本课程的重要内容.本章讲授中应特别注意：体现思想,体现方法，培养学生对问题的整体把握能力；同时讲清分析问题解决问题过程中的关键环节，提高学生的逻辑推理能力.基本内容：重点内容:是掌握分离变数法的思想方法和主要步骤，加深对本征值问题的理解.本章难点:分离变数法及本征值问题.2/1/20232第十章§10.1一维无界区域的自由振动问题达朗贝尔公式

常微分方程的解法：通常先求方程的通解，再由定解条件确定通解中的常数；或者将方程和定解条件作为整体求解.

1行波法和达朗贝尔公式2解的物理解释2)定解问题作为整体，用分离变数法求解是基本方法(此外还有变分法、积分变换法、格林函数法).偏微分方程:1)先求通解，再由定解条件定出定解问题的解，此法有局限性，2/1/20233第十章1行波法和达朗贝尔公式作变量替换

∴2/1/20234第十章先对积分再对积分通解：代入初始条件：∴达朗贝尔公式，适用于一维无界区域的自由波动问题.—达朗贝尔公式2/1/20235第十章2解的物理解释

相对轴不动，而轴相对轴以速度沿正向运动2/1/20236第十章f1(x-at):是以初始波形f1(x)、速度a沿x轴正向传播的行波;类似f2(x+at):是以初始波形f2(x)、速度a沿x轴负向传播的行波.]激起的波初始位移分布一分为二二者迭加即为其解.、如，初始位移分布[即2/1/20237第十章§10.2一维半无界区域的自由振动问题

初始条件的延拓（P200）1齐次边界条件的效应2非齐次边界条件的情况3定解问题：从半无界区域到有界区域

一维无界是指振动未传播到端点时，振动已可以忽略，此系统可视为无界的，若振动传播到边界处时振动必须考虑，则此系统为有界的.半无界问题是初始波动距一端较近，即必须考虑该端点的反射情况，而另一端则较远，而不需考虑其反射的影响.2/1/20238第十章1.1x=0处为第一类齐次边界不能直接运用达朗贝尔公式,其次x=0端固定,若将其视为一维无界区域的自由振动,解u(x,t)一定是x的奇函数.这意味着可对定解问题进行奇延拓(详细论证见P201)真实存在的区域是所以下只考虑的情形即1齐次边界条件的效应2/1/20239第十章而，则半无界波动与一维无界波动在区域相同；与一维无界不同，固定端点x=0对x≠0处的影响需要经历的时间才能传播到.以、为例，向左传播的行波向右传播的行波

在端点x=0处反射波同入射波差一负号，即位相相反—这表明固定端反射波有半波损失.固定端为波节.在端点此波确切说是向左传播的波在端点反射的结果2/1/202310第十章2/1/202311第十章1.2在齐次边界条件情况—类似1.1，作偶延拓在自由端点反射时无半波损失，在端点出现波腹.2/1/202312第十章2非齐次边界条件的情况如据迭加原理：令和求解已如上述，的求解如下：2/1/202313第十章1)波动是由引起,故在解的形式只能是或2)就x点来说，时，端的扰动尚未到达此处仍处于平衡，3)∴的区域只有向右传播的波，故;2/1/202314第十章3定解问题：从半无界区域到有界区域无界区域，应用达朗贝尔公式.是不方便的，甚至是不可能的.半无界在x=0端为齐次边界条件时，反射波与入射波叠加形成波节或波腹，若有界区域两个端点都是齐次的，入射波与反射波迭加的结果使两端成为波动的波节或波腹，这表明在两端为齐次边界的有界区域内的波动将形成驻波，其形式为沿此思路求解有界区域定解问题→分离变量法.半无界区域有界区域无界区域上波动，再应用达朗贝尔公式，2/1/202315第十章思考与讨论题1.方程utt-a2uxx=0(-∞<x<∞)的通解为什么会有两个任意函数？它们各具有怎样的形式和怎样的物理意义？由什么确定它们的具体函数形式？1.d’Alembert公式可否直接用于求解一维半无界区域自由波动问题？这类问题如何求解？作业：p223：10.1，10.32/1/202316第十章§10.3一维有界区域自由振动问题的驻波解

分离变量法(P204)1分离变量法2分离变量法的几点说明和主要步骤2/1/202317第十章长为l两端固定弦的自由振动上节末的分析及物理知识告诉我们，该系统的稳定振动应是驻波，即可能的解是变量分离形式的.将方程(1)和齐边边界条件(2)的变数分离,(两边分别是独立变量t和x的函数，只能为同一个常数).（5）（4）(4)式代入(1)式：（6）1)分离变数，令(4)式代入(2)式：否则给出平庸解∴(6)、(7)不同于一般的常微分方程问题，在方程中带有待定常数λ,（7）1分离变量法称其为本征值问题.2/1/202318第十章a)若则X(x)=0平庸解u(x,t)=0，不可能等于零；则c1=c2=0X(x)=0u(x,t)=0平庸解，故不可能b)设所以c)

(否则给出平庸解),则

本征值：属于本征值的本征函数：

考虑到所有本征函数应是非零、彼此线性独立和方便，本征值和本征函数中的n=1,2,3,….（8）（9）2)解本征值问题：给出可能的非平庸解2/1/202319第十章将(8)代入(5),得(n=1,2,3,…)(9)、(10)代回(4)式，得本征解物理意义：波长为圆频率为的驻波，有n+1个节点(包括端点在内),n=1时称为基波，的称为n次谐波，un(x,t)(n=1,2,3,…)是该系统中可能存在的驻波模式，或是泛定方程(1)在齐次边界条件(2)下的所有可能解.其解

（10）(n=1,2,3,…)3)本征解2/1/202320第十章根据叠加原理∴注：a)上述解法称为分离变量法或驻波法b)本征函数族具有正交完备性(m=1,2,3,…)4)一般解定系数2/1/202321第十章2分离变量法的几点说明和主要步骤4)分离变数法中的几个要点：分离变量时注意变量的独立性，只考虑非平庸解；本征值问题：求出所有可能的非平庸且彼此线性独立的解；每一个本征解是一个可能解，所有本征解的迭加是系统的一般解；利用本征函数族的正交模平方关系推导一般解中的待定系数公式.1)分离变量法的总思路：将偏微分方程问题常微分方程问题求解.

直接分离变量法要求：方程和边界齐次，否则不能分离变量.2)本征值问题是分离变量法的核心和关键.3)分离变量法是求解偏微分方程的基本方法之一，不只适用于波动,也适用于输运问题和稳定场，不只适用于有界系统，也适用于无界系统.具体步骤已如1中所述不再重复.2/1/202322第十章[例1]长为l的均匀细杆，侧面是绝热的，杆的x=0端保持为零度，另一端(x=l)按牛顿自由冷却定律与外界进行热交换，设外界温度恒为零，已知杆的初始温度分布是f(x).求杆上的温度变化.其中(b是自由冷却系数，k是热传导系数),2)设(4)式代入(1)式：（5）(4)式代入(2)式，（7）（4）（6）解:1)u(x,t)为x点t时时刻的温度，定解问题为2/1/202323第十章3)本征值问题引入量纲为1的量:则(8)化为为超越方程，运用作图法，可给出其正值解本征值：相应的本征函数：(本征值给出平庸解，故不考虑).（8）

（9）（10）2/1/202324第十章(9)代入(5):→5)一般解并定系数可证：[其中用到了式（11）而

4)本征解：(11)代入(3):2/1/202325第十章[例2]边长为l1、l2的矩形薄板，两板面不透热，它的一边y=l2为绝热，其余三边保持为零度，设板的初始温度分布是f(x,y).求板内的温度变化.2)分离变量，设,x、y、t彼此独立，可令则(7)(6)不考虑平庸解（8）

（9）解:1)定解问题

（4）(5)(4)代入(1):

(4)代入(2):

2/1/202326第十章(6)与(8)本征值相应本征函数(7)与(9)本征值相应本征函数、代入(5)并解之，得∴4)本征解、一般解3)解本征值问题将(n=1,2,…；m=0,1,2,…)

2/1/202327第十章5)定系数∴(…；…).f(x,y)具体给定，由上式积分式可具体定出Cnm.∵2/1/202328第十章思考与讨论题1.分离变数法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表示为一元函数的乘积？2.分离变数法的主要步骤有哪些？你认为其中最关键的是哪一步？作业：p223：10.5，10.6，10.8，10.102/1/202329第十章§10.4非齐次边界条件的齐次化(P211)分离变数法求解有界区域上的定解问题，要求物理边界必须是齐次，对给定问题中的非齐次边界，首先要转化成相应的齐次边界定解问题，才可进一步用分离变数法求解.非齐次边界齐次化的基本思想：

选取满足非齐次边界条件的特解v(x,t)，并令

u=v(x,t)+w(x,t)将关于u的非齐次边界定解问题→关于w的齐次方程、齐次边界定解问题.注：该特解v(x,t)的选取是不唯一的.2/1/202330第十章解:1)定解问题2)选取特解使之满足可设∴[例1]长为l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题,杆的x=0端保持恒温

u0,另一端(x=l)有面积热流量为q0的定常热流进入,设杆的初始温度分布是u0.求杆上的温度变化.2/1/202331第十章3)令∴.2/1/202332第十章[例2]求半带形区域(0≤x≤a,y≥0)内的静电势，已知边界x=0和y=0上的电势都是零，而边界x=a上的电势保持为u0（常量）.2)选取特解使得显然可取解:1)定解问题2/1/202333第十章3)令所以分离变量法,可得单由y=0处边界，不足以定出两套系数，=有限值”的自然边界条件，有限值∴∴须同时考虑2/1/202334第十章[例3]求解长为的均匀其中A、ω都是常量.使之满足据上可取特解解得∴解:1)取特解细杆的纵振动问题2/1/202335第十章2)令则

需要特别指出，对于像书上选取令关于据此而认为：“保持方程齐次化的前提条件下，并不是任何非齐次边界条件都可以实现齐次化”的观点有待商榷.的齐次边界条件、非齐次泛定方程问题[P214（10.83)]，2/1/202336第十章§10.5本征函数法(P214)亦有的称其为广义傅立叶级数法或傅立叶级数法.2/1/202337第十章[例]1)方程(1)相应齐次泛定方程(即情况)在齐次边界(2),则可设该定解问题解的傅立叶级数展开式为（4）下的本征函数族为2/1/202338第十章2)将(4)式代入(1)式，得其中再将(4)式代入(3)式，得(6)其中

(5)(7)2/1/202339第十章比较(5)、(6)、(7)诸式两端的系数，有本征函数法：1)唯一要求，边界条件是齐次的.2)步骤：a)找出相应齐次泛定方程对应定解问题的本征函数族，用该本征函数族将定解问题待求的解展开成广义傅立叶级数；b)将解的傅立叶级数展开式代入非齐次泛定方程和除齐次边界外的其它定解条件→关于傅立叶级数展开式中待定系数函数的常微分方程问题；c)解出系数函数代回u(x,t)的傅里叶级数表达式.2/1/202340第十章[再如]据解的迭加原理，设，关于v的定解问题直接分离变数可求解，关于w的，当f=0时的本征函数族为故设代回w(x,t)的傅里叶级数，即得解.2/1/202341第十章思考与讨论题1.非齐次边界条件齐次化的核心思想是什么？非齐次边界条件齐次化的方法唯一吗？在非齐次边界条件齐次化的同时能否让方程也是齐次的？2.本征函数法的主要步骤有哪些？该法的关键步骤是什么？该法适用于求解什么样的定解问题？作业：p224：10.12，10.13，10.114，10.152/1/202342第十章§10.6施图姆-刘维尔型方程的

本征值问题(P217)1本征值问题一般提法2本征值问题的一般性质本征值问题是用分离变量法求解定解问题的核心，我们在物理上遇到的本征值问题都可归结为施图姆-刘维尔(简记为S-L)型方程对应的本征值问题，本节就来研究该类本征值问题的性质.2/1/202343第十章分离变量得到的二阶线性齐次常微分方程是待定常数，以函数乘上式两端后可化为施图姆-刘维尔型方程

其中构成本征值问题.为例，若，则称为权重函数.施图姆-刘维尔型方程同如下的边界条件下1)以端点1本征值问题一般提法2/1/202344第十章2)若即是的至少一阶零点，则在处有自然边界条件，证:若为方程的一个特解且满足则由P173（8.141）式，另一特解为显然这不符合物理的要求，故应有条件的限制.，则有自然周期条件，[例]∵∴常数，相应本征函数或本征值，相应本征函数S-L型方程与其齐次边界或自然周期或自然边界条件构成本征值问题.;，3)若其本征值2/1/202345第十章2本征值问题的一般性质2.1所有本征值是非负的，即证:设是属于本征值的本征函数，即有乘以后，积分显然边界(x=a、b)若是自然边界、自然周期、第一类齐次边界、第二类齐次边界时，边界(x=a、b)若是第三类齐次边界，即(其中)，则.证毕在物理问题中，S-L方程中的k、q、ρ都是非负的.2/1/202346第十章2.2本征函数的节点……，且除周期性边界条件外，属于的本征函数的节点数目（周期性边界条件是唯一存在简并的情况）.比属于的本征函数的节点数目多一个存在无限多个分离本征值2/1/202347第十章2.3带权重正交:属于不同本征值和的本征函数和在上带权重正交，即().（1）注意到是实数,得上式最后一步的证明类似于性质(1)的证明，边界为自然边界、自然周期、第一类齐次边界、或第二类齐次边界时，是显然的；证明:∵（2）=02/1/202348第十章边界为第三类齐次边界，

带权重正交模