第2章 逻辑代数和逻辑函数

第二章逻辑代数和逻辑函数2.1基本逻辑运算2.2逻辑函数的变换和化简2.3逻辑函数的卡诺图化简法本章要求：掌握逻辑代数的基本公式、运算定律、规则。熟悉逻辑函数的表示方法以及逻辑函数的公式法化简。掌握卡诺图及用卡诺图化简逻辑函数的方法。

2.1

基本逻辑运算数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。0和1表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。A

为原变量，为反变量

1.基本运算公式(0-1律，还原律)与（乘）或（加）非

2.基本运算定律结合律交换律分配律普通代数不适用!证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC

;分配律=A+A(B+C)+BC

;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC

;结合律=A•1+BC

;1+B+C=1=A+BC

;A•1=A=左边吸收律:吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。（1）原变量的吸收：证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A长中含短，留下短。（2）反变量的吸收：证明：长中含反，去掉反。想一想：?（3）混合变量的吸收：证明：1吸收正负相对，余全完。反演律（德•摩根(De•Morgan)定理）可以用列真值表的方法证明：

3.基本运算规则（1）运算顺序：先括号再乘法后加法。（2）代入规则：在任何一个包含变量A

的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A

的位置，则等式仍然成立。例：已知则得到（3）反演规则：将函数式F中所有的•++•变量与常数均取反（求反运算）互补运算2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F'显然：1.变换时，原函数运算的先后顺序不变例1：与或式注意括号注意括号例2：与或式反号不动反号不动（4）对偶规则：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对偶式：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式Y´，则Y´叫做Y的对偶式对偶式2.2逻辑函数的变换和化简四种表示方法逻辑代数式(逻辑表示式,逻辑函数式)11&&≥1ABY逻辑电路图:卡诺图n个输入变量种组合。真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。2.2.1逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换1、从真值表写出逻辑函数式不同表示方法之间的相互转换：一般方法：（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量取值的组合；（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1

的写入原变量，取值为0

的写入反变量；（3）将这些乘积项相加，即得输出的逻辑函数式。例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。例如：2、从逻辑函数式写出真值表3、从逻辑函数式画出逻辑图方法：图形符号代替式中的运算符号即可例：已知逻辑函数为画出对应的逻辑图&C1A≥1

1B&&≥1

Y逻辑代数式是把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。例：

一个逻辑函数可以表示为不同的表达式。对应的逻辑图也不同。实际应用中，电路越简单，可靠性越高，成本越低，故常需对函数式进行变换和化简。2.2.2逻辑函数的变换和化简与-或式：由几个乘积项相加组成的逻辑式。化简的目的：得到逻辑函数的最简形式。最简与-或式：逻辑式中包含的乘积项已经最少，而且每个乘积项里的因子最少。通常先化简成最简与-或式，再转换成其他形式2.2.2逻辑函数的变换和化简（公式法）反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以得到函数式的最简形式。例1：(1)吸收法:利用例2：反变量吸收提出AB=1，并项提出A

(2)并项法:例3：化简（3）配项法化简例4：化简（4）加项法例5：再看一例题例6：化简吸收吸收吸收吸收例6：化简利用公式法进行化简的问题：

复杂技巧性强是否最简尚不得而知

2.3逻辑函数的卡诺图化简法

2.3.1.最小项和最大项一、最小项1、定义：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。（1）n变量的最小项应为2n个；（2）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1;（3）全体最小项之和为1;（4）任意两个最小项的乘积为0;（5）相邻性：若两个最小项只有一个因子不同则这两个最小项具有相邻性。（6）具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子;2、特点：以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点最小项使最小项为1的变量取值对应的十进制数编号ABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7变量赋值为1时用该变量表示赋0时用该变量的反来表示。可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项。当输入变量的赋值使某一个最小项等于1时，其他的最小项均等于0。返回A

B

C

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

比如当三变量取值分别为1、0、1时，只有最小项为1之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项不能继续分解。A

B

C

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

相邻性：若两个最小项只有一个因子不同，则这两个最小项具有相邻性。逻辑相邻逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子二、最大项1、定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。2、特点：

（1）n变量的最大项应为2n个。（2）输入变量的每一组取值都使一个且仅有一个对应的最大项的值等于0。（3）全体最大项之积为0；（4）任意两个最大项的和为1；（5）相邻性：若两个最大项只有一个因子不同则这两个最大项具有相邻性。（6）具有相邻性的两个最大项之积可以合并成一项并消去一对因子;最大项使最大项为0的变量取值对应的十进制数编号ABC00000101001110010111011101234567M0M1M2M3M4M5M6M7三、最大项和最小项之间的关系例如2.3.2逻辑函数的两种标准形式可以把任何一个逻辑函数一般表达式化为最小项之和的标准形式利用1.最小项之和形式——标准的与或表达式例如给定逻辑函数则可化为例：将逻辑函数展开为最小项之和的形式2.最大项之积形式任何一个逻辑函数都可以化成最大项之积的标准形式若给定则例：将逻辑函数展开成最大项之积的形式解：已求得2.3.3卡诺图

卡诺图：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。m3m2m1m0AB0101m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD0001111000011110m6m7m5m4m2m3m1m00001111001ABC表示最小项的卡诺图两变量卡诺图四变量卡诺图三变量卡诺图说明：一格一个最小项相邻两格必须为逻辑相邻项m3m2m1m0AB0101m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD0001111000011110m6m7m5m4m2m3m1m00001111001ABC表示最小项的卡诺图两变量卡诺图四变量卡诺图三变量卡诺图说明：上下两行相邻左右两列相邻有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7单元取1，其它取0

ABC编号

00000011010201131004101511061117ABC0001111001ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元格的编号:从真值表到卡诺图：对应填写2.3.4逻辑函数的卡诺图表示

ABY001011101110AB01010111输出变量Y的值输入变量例1：二输入变量卡诺图逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111输入变量输出变量Y的值ABCY00000010010001101000101111011111例2：三输入变量卡诺图注意：00与10逻辑相邻。ABCD0001111000011110四变量卡诺图编号为0010单元对应于最小项：ABCD=0100时函数取值函数取0、1均可，称为无关项。例3：四输入变量卡诺图2.3.4逻辑函数的卡诺图表示把逻辑函数化为最小项之和的形式；（熟练可省）在卡诺图上与这些最小项对应的位置添1；在其余的位置上添入0；从函数式到卡诺图：例：用卡诺图表示逻辑函数解：先将逻辑函数化为最小项之和形式1101010000100000ABCD0001111000011110Y实际上我们一般不用把函数化为最小项填入卡诺图，而是把所有包含非最小项的的方格都填1。例：用卡诺图表示逻辑函数1101010000100000ABCD0001111000011110YABCDABDACD已知函数的卡诺图，写出该其逻辑式1000100000000101ABCD0001111000011110Y2.3.5逻辑函数的卡诺图化简1.合并最小项的规则：n=1，合并一对因子n=2，合并两对因子……个最小项相邻并排成一个矩形组，如果则它们可以合并为一项，并消去n对互反因子。个最小项相邻并排成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对互反因子。011010110001111001ABC0100111010110100ABCD0001111000011110Y合并两个相邻最小项1101111111111101ABCD0001111000011110Y合并四个相临最小项1001111111111001ABCD0001111000011110YB合并八个相邻最小项2.卡诺图化简的步骤将函数化为最小项之和的形式；画出表示该逻辑函数的卡诺图；找出可以合并的最小项；选取化简后的乘积项；合并圈的选取：圈儿宁大勿小；圈数宁少勿多；圈圈含新例1：化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A111010110001111001ABC解：例2：化简例3：化简解：1001000000101001ABCD0001111000011110F例4：化简逻辑函数解：由Y画出卡诺图，得出1111111011101111ABCD0001111000011110F想一想：能否圈0？3.具有无关项的逻辑函数及其化简举例说明：三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令。

A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止可能取值只有001，010，100当中的某一种，这种对输入变量取值所加的限制称为约束。而000，011，101，110，111