高考数学必考难点：圆锥曲线的知识点梳理

高考数学必考难点：圆锥曲线学问点梳理一、方程的曲线：一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，假设某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下这条曲线叫做方程的曲线。Cf(x,y)=0，P(x,yCf(x,y)=0P(x,yCf(x,y≠0。

0 0 0

0 0 0

0 0f(x,y

0 0)0两条曲线的交点假设曲线C的方程分别为f(x,y)=0,f(x,y)=0,则点P(x,y是C的交点{1 0 0

n1 2 1

0 0 0 1

f(x,y2 0

)0二、圆：个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集｜｜OM｜=rOr2、方程：(1c(a,br(x-a2+(y-b)2=r2rx2+y2=r2(2D+E2-4＞02+y2+Dx+Ey+F=0

(D,E)2 2

半径是 D2E24F2

x2+y+Dx+Ey+F=0

D 2)+(y+2

)=

D2E2-4F4D2+E-4F=0

D2,-

E2);D2+E-4＜0点与圆的位置关系圆心rM(x,y｜MC｜＜rMC｜MC｜=rM0 0(x -a)2(y00-b)2圆(x -a)2(y00-b)2AaBbCA2AaBbCA2B2②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d三、圆锥曲线的统肯定义：小关系来判定。三、圆锥曲线的统肯定义：

r四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义F,F的距离之和为1 22a(2a>|FF|)的点的轨迹12与定点和直线的距离之比为e四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义F,F的距离之和为1 22a(2a>|FF|)的点的轨迹12与定点和直线的距离之比为e〔0<e<1〕到两定点F,F1 2值为定值2a(0<2a<|FF|)的点的轨12迹与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.〔e>1〕轨迹.1

｜-｜MF｜.

｜MF｜Ml轨迹条件 1 2 1 2=2a,｜F

的距离}.12 22图形方标准 x2y2方

1(ab>0)

x2y2

1(a>0,b>0)

y22px方程 a2 b2 a2 b2程xacos参数 ybsin方程

xasecybtan

x2pt2y2pt (t范围 ─axa，─byb |x|a，yR x0中心 O〔0，0〕 (a,0), (─a,0), (0,b),顶点 (a,0), (─a,0)(0,─b)

(0,0)x轴，y轴； x轴，y轴;对称轴 x轴2a,短轴长2b 实轴长2a,虚轴长2b.焦点 F(─c,0) F(─c,0)

pF( ,0)F1 2 1 2 2a2x=±准 线 c

a2x=±c

px=-2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内 准线与焦点位于顶点两侧，且到侧. 顶点的距离相等.焦距 2c 〔c=a2b2〕 2c 〔c=a2b2〕离心率 (0e1)a

a2

e=1【备注1】双曲线：2⑶等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e .2

b2

a2

b2

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

b2

0.x2⑸共渐近线的双曲线系方程：

(0)

x2的渐近线方程为

x

y0

时，它的双曲a2 b2 a2 b2 a b线方程可设为

b2

(0).【备注2】抛物线：y2=2px(p>0)的焦点坐标是(

p

p2 ，开口向右；抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-

p2,0)，px=2

，开口向左；抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,p2

py=-2

，开口向上；p2

py=2

，开口向下.抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MFx 0

p；抛物线y2=-2px(p>0M(x0,y0)F2距离MF

px2 0设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为

p2，顶点到准线的距离

p2，焦点到准线的距离为p.y2=2px(p>0A、BABA(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长2p p2 pAB=x1

x+p2

AB

(αAByy12

p2，xx 12

,AFx4

(AF2

叫做焦半径).五、坐标的变换：五、坐标的变换：位置，曲线的外形、大小、位置都不转变，仅仅只转变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不转变，只转变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。MxOy9x,yx′O′y(x.xx”h x”xh或OxOy(h,k)，则或叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：

yy”k3

y”yk方方程焦 点焦 线对称轴(x-h)2+a2(y-k)2b2=1(±c+h,k)x=±a2c+hx=hy=k椭圆(x-h)2+b2(y-k)2a2=1(h,±c+k)y=±a2c+kx=hy=k(x-h)2-a2(y-k)2b2=1(±c+h,k)x=±a2c+kx=hy=k双曲线(y-k)2-a2(x-h)2b2=1(h,±c+h)y=±a2c+kx=hy=k(y-k)2=2p(x-h)p(2+h,k)px=-2+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)p(-2+h,k)px=2+hy=k抛物线(x-h)2=2p(y-k)p(h,2+k)py=-2+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)p(h,-2+k)py=2+kx=h六、椭圆的常用结论：PPT△PF1F2PPTPF1F2PPTH以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.P(xy在椭圆

x2 y2 1 P

xx yy0 0

1.0 0

a2 b2 0

a2 b2x2 y2

xx yyP(xy在椭圆

1P

作椭圆的两条切线切点为PP则切点弦PP的直线方程是0 0 1.0 0

a2 b2 0

1 2 12

a2 b2x2 y2椭圆 1

F

，则椭圆的焦点角形的面积a2 b2

1 2 1 2SFPF1 2

b2tan2.x2椭圆a2

y2b2

1〔a＞b＞0〕的焦半径公式

|MF1

|aex0

,|MF2

|aex0

(F(c,0)1

,F(c,0)M(x,y)).2 0 04MF⊥NF.FP、Q,AAAPAQM，APAQNMF⊥NF.

1 2 1 2 2 1x2 y2 b2 b2x11.

AB是椭圆 a2 b2

1的不平行于对称轴的弦，M(xy0 0

)为AB的中点，则k k OM AB a2

KAB

0。a2yx2 y2

0xx yy x2 y212.

假设P(xy

)在椭圆

1内，则被Po所平分的中点弦的方程是0 0 0

0 ；0 0

a2 b2

a2 b2

a2 b2

x2 y2

x2 y2 xx yy

x2 y21、假设P(xy

)在椭圆

1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

0 0

。椭圆

1〔a＞b0 0

a2 b2

a2 b2

a2 b2

a2 b2

A(a,0),A

(a,0)

x2PAPAP

y2

1.1 2x2y21

A(x,y)

1、2

11 22

a2 b22、过椭圆a2 b2

b＞0)上任一点

任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且0 0b2xk 0BC a2y0

〔常数〕.x2 y23P

1〔a＞b＞0〕上异于长轴端点的任一点,FF

,

PFF

，则a2 b2

1 2 1 2 21

tan

cot .ac 2 2x2 y24、设椭圆

,a2 b2

1 2 12 1 2

，则有

sin

ce.1 2 1 2

sinsin ax25、假设椭圆a2

y2b2

1〔a＞b＞0〕FFL0＜e≤1 2

1P，使2PF21

PdPF2

的比例中项.x26Pa2

y2b2

〔＞＞上任一点,F,FA1 2

2a|AF2

1

|2a|AF|,12

P三点共线时，等号成立.(xx)2 (yy)27、椭圆 0 0 1与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax

C)2.a2x2 y28

b2〔＞＞OQ

1OPOQ1

.〔1〕

0 01;1 11;a2 b2

OP|2 |2 a2 b2〔〕|OP|2+|OQ|2

4a2b2a2b2

OPQ

a2b2a2b2.5x2 y29

FM,NMNx

|PF|e.a2 b2

|MN| 2x210、椭圆a2

y2b2

1〔a＞b＞0〕,A、BABx

P(x0

,0)a2b2a

x 0

a2b2.ax2 y211P

1〔a＞b＞0〕上异于长轴端点的任一点,FF

，则(1)|PF

a2 b2| 2b2

.(2)S

1 2 1 2.2b2tan.21 2 1cos

PFF12x212A、Ba2

y2b2

1〔a＞b＞0〕的长轴两端点，P

PAB,

PBA

,BPA，c、e(1)|PA|

2ab2|cos|a2c2cos2

.(2)tantan1e2.(3)S

PAB

2a2b2b2a2

cot.x213、椭圆a2

y2b2

a＞b＞0〕l

E，过椭圆右焦点F

A、BC在右准线lBCxACEF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16e(离心率).〔注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.〕17e.七、双曲线的常用结论：18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、PPT△PFF12

P内角.2、PTPFF在点PPTH123PQ相交.4、以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P在右支；外切：P在左支〕1x2 y2

xx yy5P(xy在双曲线

P

的双曲线的切线方程是0 0 1.0 0 0

a2 b2

0 a2 b2

P(x,y

2x在双曲线x

y2

1〔a＞0,b＞0〕PoPPPP0 0 0

a2 b2

1 2 12x程是0

xy0y

1.a2 b2x27、双曲线

y2

1〔a＞0,b＞o〕的左右焦点分别为F，F，点P

，则双曲线的焦点角形a2S

b2 1 2 1 2b2cot2.1 26x28、双曲线a2

y2b2

1〔a＞0,b＞o〕的焦半径公式：(

F(c,0)1

2

〕当M(xy)0 0

在右支上时，|MF1

0

a,|MF2

0

aM(xy0 0

|MF1

|ex0

a,|MF2

|ex0

a。FP、QAAPAQFM、NMF⊥NF.FP、Q,AA，APAQM，APAQN，MF⊥NF.

x2 y2

1 2 1 2

2 1b2x11、AB是双曲线 a2 b2

1〔a＞0,b＞0〕的不平行于对称轴的弦，M(xy0 0

)为AB的中点，则K KOM AB

0，即a2y0b2xK 0。AB a2y0x2 y2

xx

y x2 y212、假设P(xy

)在双曲线

1〔a＞0,b＞0〕内，则被Po所平分的中点弦的方程是0 0

0 0 .0 0 0

a2 b2

a2 b2

a2 b2x2 y2

x2 y2 xx yy13、假设P(xy

)在双曲线

1〔a＞0,b＞0〕内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

0 0 .0 0 0

a2 b2

a2 b2 a2 b2x21、双曲线

y2

1〔a＞0,b＞0〕的两个顶点为

A(a,0),A

(a,0)

PAPAPa2 b2x2 y2点的轨迹方程是a2 b2

1 21.

1、2

11 22x22、过双曲线a2

y2b2

上任一点

A(x,y0

B,CBCkBC

b2xa2y0

〔常数〕.x2

y2

,

PFF

，a2 b2

1 2 1 2 21则

cot

〔或

tan

cot 〕.ca 2 2 ca 2 2x24

y2

〔＞0,＞0FF〔异于长轴端点PFF

,a2 b2

1 2 12 1 2

P

，则有

sin

ce.1 2 1 2x2y21

(sinsin) a2125、假设双曲线a2 b2

〔a＞0,b＞0〕的左、右焦点分别为FFL1＜e≤1 2

时，可在双曲线上求一点PPFPdPF1

的比例中项.x26、Pa2

y2b2

1〔a＞0,b＞0〕上任一点,F,F，A1 27

|AF2

|2a|PA||PF1

|,当2

PAF2

y

x2y2

1〔a＞0,b＞0〕AxByC0A2a2

B2b2

C2.a2 b2x28、双曲线a2

y2b2

1〔＞a＞，O、Q

OPOQ.1 1 1 1 4a2b2 a2b2〔1〕 OP|2 |2 a2 b2

〔〕|OP|2+|OQ|2的最小值为b2

a2

OPQ

的最小值是b2

a2.x29、过双曲线a2

y2b2

1〔a＞0,b＞0〕FM,NMNxP，则|PF|e|MN| 2.x210、双曲线a2

y2b2

1〔a＞0,b＞0〕,A、BABx

P(x0

,0)a2b2x0 a

或x0

a2b2.ax211P

y2

1〔a＞0,b＞0〕上异于实轴端点的任一点,FF

，则(1)|PF

||PF|

a2 b222b22

.(2)S

b2cot

1 2 1 21 2 1cos

PFF12.x2y21.

PAB

PBA

BPAABa2 b2

〔＞0,＞的长轴两端点P是双曲线上的一点， , , ，(1)

2ab2|cos||a2c2cos2|.(2)tantan1e2.(3)S

PAB

2a2b2b2a2

cot.x213、双曲线a2

y2b2

的直线与双曲线相交于A、B两点,C在右准线lBCxACEF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17e.八、抛物线的常用结论：18八、抛物线的常用结论：84acb2 b①ay2bycx顶点( ).4a 2aP2y22pxp0PFxP2

P2;x22py(p0)则焦点半径为PFy .P22p，这是过焦点的全部弦中最短的.x2pt2 x2pt④y22px〔或x22py〕的参数方程为 〔或 〔t为参数〕.y2pt y2pt2yy22pxy22pxx22pyx22pyyyyy图形xxxxOOOO焦点F(p,0)2F(p,0)2F(0,p)2F(0,p)2准线范围2x0,yRxp2x0,yRxp2xR,