江苏省2023年高考考前押题卷数学(文)试题(三)含答案

原创押题卷(三)参考公式样本数据1，2，…，n的方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(i－eq\x\to(x))2，其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i.棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．已知A＝{|＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝________.{－2，－1}[因为集合A＝{|＞－1}，所以∁RA＝{|≤－1}，则(∁RA)∩B＝{|≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．]2．若i(＋yi)＝3＋4i，，y∈R，则复数＋yi的模等于________．5[因为i(＋yi)＝3＋4i，所以＋yi＝eq\f(3＋4i,i)＝eq\f(3＋4i－i,i－i)＝4－3i，故|＋yi|＝|4－3i|＝eq\r(42＋－32)＝5.]3．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为________．【导学号：91632084】64[抽样比为eq\f(200,400＋320＋280)＝eq\f(1,5)，故应抽取高二学生320×eq\f(1,5)＝64(人)．]4．如图1所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．图11－eq\f(2,π)[设OA＝OB＝2，如图，由题意得S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝eq\f(S阴影,S扇形OAB)＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).]5．已知f()＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，若a＝f(lg5)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,5)))，则a，b满足的关系式为________．a＋b＝1[f()＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))))＝eq\f(1＋sin2x,2)，∴a＝eq\f(1,2)＋eq\f(sin2lg5,2)，b＝eq\f(1,2)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lg\f(1,5))),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(sin2lg5,2).因此，a＋b＝1.]6．如下是一个算法的伪代码，则输出的结果是________．eq\o(\a\al(i←1,S←1,WhileS≤24,i←i＋1,S←S×I,EndWhile,Printi))5[i＝1，S＝1时，i＝2，S＝1×2＝2；S＝2时，i＝3，S＝2×3＝6；S＝6时，i＝4，S＝6×4＝24；S＝24时，i＝5，S＝24×5＝120.结束循环，输出i＝5.]7．现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.16[设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，aeq\o\al(2,6)＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，即(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.]8．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，则cosβ的值为________．－eq\f(16,65)[由taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，则tanα＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(4,3)，又α∈(0，π)，从而sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，又sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，α，β∈(0，π)，从而cos(α＋β)＝－eq\f(12,13)，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(5,13)×eq\f(4,5)＝－eq\f(16,65).]9．已知实数，y满足不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,x＋y－4≥0，,x≤3，))则eq\f(2x3＋y3,x2y)的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(55,9)))[ω＝eq\f(2x3＋y3,x2y)＝eq\f(2x,y)＋eq\f(y2,x2).令t＝eq\f(y,x)，由图可知eq\f(1,3)≤t≤2，则ω＝t2＋eq\f(2,t)，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，令ω′＝2t－eq\f(2,t2)＝0，则t＝1.ω在t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))上为减函数，在t∈[1,2]上为增函数，t＝1时，ω有最小值3，t＝eq\f(1,3)时，ω有最大值eq\f(55,9)，故t的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(55,9))).]10．在平面直角坐标系Oy中，双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线E的离心率为________．2[如图，由题意得∠BAC＝90°，∠BAF＝∠FAC＝45°，从而AF＝BF.将＝c代入双曲线方程得yB＝eq\f(b2,a)，AF＝a＋c，从而eq\f(b2,a)＝a＋c，即b2＝a2＋ac，则c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，从而e＝2.]11．三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：图2①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是eq\f(1,2)a.其中正确结论的序号是________．①②③④[由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连结CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离eq\f(1,2)a，④正确．]12．在平面直角坐标系Oy中，圆C：2＋y2＝4分别交轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则eq\o(PM,\s\up12(→))·eq\o(PN,\s\up12(→))的最大值为________．4＋4eq\r(2)[根据题意，得M(2,0)，N(0,2)．设P(2cosθ，2sinθ)，则eq\o(PM,\s\up12(→))＝(2－2cosθ，－2sinθ)，eq\o(PN,\s\up12(→))＝(－2cosθ，2－2sinθ)，∴eq\o(PM,\s\up12(→))·eq\o(PN,\s\up12(→))＝－4cosθ＋4cos2θ－4sinθ＋4sin2θ＝4－4(sinθ＋cosθ)＝4－4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，∴4－4eq\r(2)≤eq\o(PM,\s\up12(→))·eq\o(PN,\s\up12(→))≤4＋4eq\r(2)，∴eq\o(PM,\s\up12(→))·eq\o(PN,\s\up12(→))的最大值为4＋4eq\r(2).]13．已知a，b为正实数，函数f()＝a3＋b＋2在[0,1]上的最大值为4，则f()在[－1,0]上的最小值为________．－eq\f(3,2)[由a，b为正实数，可得函数y＝a3＋b的导函数y′＝3a2＋b＞0，即可得函数y＝a3＋b在R上是增函数，由此可得函数f()＝a3＋b＋2在R上是增函数，又由函数f()＝a3＋b＋2在[0,1]上的最大值为f(1)＝a＋b＋2＝4，可得a＋b＝2，∴函数f()在[－1,0]上的最小值为f(－1)＝－a－b＋eq\f(1,2)＝－2＋eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2).]14．由正整数组成的一组数据1，2，3，4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【导学号：91632085】1,1,3,3[假设这组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3＋x4,4)＝2，,\f(x2＋x3,2)＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x4＝4，,x2＋x3＝4.))又s＝eq\r(\f(1,4)[x1－22＋x2－22＋x3－22＋x4－22])＝eq\f(1,2)eq\r(x1－22＋x2－22＋4－x2－22＋4－x1－22)＝eq\f(1,2)eq\r(2[x1－22＋x2－22])＝1，∴(1－2)2＋(2－2)2＝2.同理可求得(3－2)2＋(4－2)2＝2.由1，2，3，4均为正整数，且(1，2)，(3，4)均为圆(－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知1，2，3，4应为1,1,3,3.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解](1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋eq\f(10×9,2)d＝55，b4＝q3＝8，4分解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.6分(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4).12分两项值相等的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P＝eq\f(2,9).14分16．(本小题满分14分)已知函数f()＝－eq\r(2)sin2＋eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋6sincos－2cos2＋1，∈R.(1)求f()的最小正周期；(2)求f()在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．[解](1)f()＝－eq\r(2)sin2·coseq\f(π,4)－eq\r(2)cos2·sineq\f(π,4)＋3sin2－cos2＝2sin2－2cos2＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).4分所以f()的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.6分(2)因为f()在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,8)))上是增函数，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(π,2)))上是减函数，10分又f(0)＝－2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝2eq\r(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2，故函数f()在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为2eq\r(2)，最小值为－2.14分17．(本小题满分14分)如图3，四棱锥E­ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.图3(1)求证：AB⊥ED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出eq\f(EF,EA)的值；若不存在，说明理由．[解](1)证明：取AB中点O，连结EO，DO.∵EA＝EB，∴EO⊥AB.∵AB∥CD，AB＝2CD，∴BO∥CD，BO＝CD.4分又AB⊥BC，∴四边形OBCD为矩形，∴AB⊥DO.∵EO∩DO＝O，∴AB⊥平面EOD.∴AB⊥ED.6分(2)存在点F，当F满足eq\f(EF,EA)＝eq\f(1,2)，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE.理由如下：取EB中点G，连结CG，FG，DF.∵F为EA中点，∴FG∥AB，FG＝eq\f(1,2)AB.10分∵AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，∴FG∥CD，FG＝CD.∴四边形CDFG是平行四边形，∴DF∥CG.∵DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，∴DF∥平面BCE.14分18．(本小题满分16分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：g)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：图41234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48g的概率．[解](1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：Y51484542频数24635分所种作物的平均年收获量为eq\f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq\f(102＋192＋270＋126,15)＝eq\f(690,15)＝46.8分(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq\f(2,15)，P(Y＝48)＝eq\f(4,15).12分故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48g的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq\f(2,15)＋eq\f(4,15)＝eq\f(2,5).16分19．(本小题满分16分)已知函数f()＝eq\f(1,3)3－a＋1.(1)求＝1时，f()取得极值，求a的值；(2)求f()在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m∈R，直线y＝－＋m都不是曲线y＝f()的切线，求a的取值范围．[解](1)因为f′()＝2－a，2分当＝1时，f()取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.4分又当∈(－1,1)时，f′()＜0，∈(1，＋∞)时，f′()＞0，所以f()在＝1处取得极小值，即a＝1符合题意.6分(2)当a≤0时，f′()＞0对∈(0,1)成立，所以f()在[0,1]上单调递增，f()在＝0处取最小值f(0)＝1，8分当a＞0时，令f′()＝2－a＝0，1＝－eq\r(a)，2＝eq\r(a)，当0＜a＜1时，eq\r(a)＜1，∈(0，eq\r(a))时，f′()＜0，f()单调递减，∈(eq\r(a)，1)时，f′()＞0，f()单调递增，所以f()在＝eq\r(a)处取得最小值f(eq\r(a))＝1－eq\f(2a\r(a),3).当a≥1时，eq\r(a)≥1，∈[0,1]时，f′()＜0，f()单调递减，所以f()在＝1处取得最小值f(1)＝eq\f(4,3)－a.10分综上所述，当a≤0时，f()在＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f()在＝eq\r(a)处取得最小值f(eq\r(a))＝1－eq\f(2a\r(a),3)；当a≥1时，f()在＝1处取得最小值f(1)＝eq\f(4,3)－a.12分(3)因为∀m∈R，直线y＝－＋m都不是曲线y＝f()的切线，所以f′()＝2－a≠－1对∈R成立，只要f′()＝2－a的最小值大于－1即可，而f′()＝2－a的最小值为f(0)＝－a，14分所以－a＞－1，即a＜1.所以a的取值范围是(－∞，－1).16分20．(本小题满分16分)已知点P(4,4)，圆C：(－m)2＋y2＝5(m＜3)与椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2