矩阵位移法-第一讲

有限元简介人类思维的局限性难以把握越来越复杂的事物！离散化的思想把整个系统分割成独立的“成分”或者“单元”。然后把这些独立的“成分”重新组装还原为原系统，研究原系统的性质。这种普通的方法常常被工程师、科学家、甚至是经济学家使用。两种思维方式使用有限数量的定义明确的“成分”建立模型——离散化在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或者平衡条件——连续化（无穷小也可看成有限个单元）随着计算机的发展，离散化的处理问题可以比较容易的解答，即使单元的数量非常多。而连续化的问题仅仅适用于手算计算过度的简化实际情况工程师和数学家都在为能够解决现实中连续化的问题而努力工程师处理结构问题的一个标准方法是：计算每一个单元的力和位移的关系根据结构在“结点”或者“连接处”的局部平衡方程建立总体平衡方程测试函数变分法瑞雷法1870李兹法1909加权残数高斯1795伽辽金1909Biezeno-koch1923精确的连续测试函数柯朗1943有限差Richardson1910Liebman1918变分有限差Varga1962结构类比替代法Hrenikoff1941McHenry1943Newmark1949定向连续单元Argyris1949Turner1956现在的有限元方法第十章矩阵位移法力法和位移法都是传统的结构力学基本方法，适合于手算计算。电算的方法是“结构矩阵分析”，它更适合计算机编程。杆件结构的矩阵分析——杆有限元法把结构分解为有限个较小的单元，即进行所谓离散化。把各单元又集合成原来的结构，这就要各单元满足原结构的集合条件。——整体分析。分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩阵——单元分析。10.1概述10－2单元刚度矩阵写出力和位移的关系这称为单元的刚度方程需要将单元在局部坐标下的刚度距阵变换到整体坐标下的刚度距阵10－3单元刚度距阵的坐标变换杆端力的变换写成矩阵形式杆端位移局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：代入上面两个整体坐标和局部坐标下杆端力和位移的转换公式：两边同时左乘T-1由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。ijij10-4结构的原始刚度矩阵矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。为了很好的统计未知量并建立各个结点之间的联系关系，需要对单元和结点进行编号自顶向下，逐步求精。确定位移分量和力分量4个结点考虑结构各个结点处的平衡条件2结点处的平衡条件：矩阵形式求杆端力向量F根据结点处的变形协调代入F2得到以位移表示的结点2的平衡方程同理可得1、3、4结点处的平衡方程结点力和结点位移的关系总体刚度距阵如何得到总体刚度矩阵？对号入座10-5支承条件的引入F——已知结点荷载△——未知结点位移求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。或者10－6非结点荷载的处理结点固端力等效结点荷载将固端力反号，对号入座放到结点荷载列阵中去。叠加上原来作用在结点上的荷载。综合结点荷载最后的单元固端力是固端力与综合结点荷载作用下产生的杆端力之和整体坐标系下局部坐标系下10－7矩阵位移法的计算步骤及示例对结点和单元进行编号，选定整体坐标系和局部坐标系。计算各杆的单元刚度矩阵Ke形成结构的原始刚度矩阵。