圆锥曲线中的探索性问题1

第八章平面解析几何高考一轮数学复习课件（人教版）专题圆锥曲线中定点、定位、定值、最值、轨迹、存在性

圆锥曲线中的探索性问题路漫漫其修远兮吾将上下而求索返回［教你快速规范审题］

观察条件：椭圆定义及离心率公式【典例】（第九节例3）（2012福建高考满分13分）

(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。两点，且△ABF2的周长为8.如图，椭圆E：

(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B［圆过定点问题］

［教你快速规范审题］

观察所求结论：求椭圆方程【典例】（2012福建高考满分13分）·(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。两点，且△ABF2的周长为8.如图，椭圆E：

(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B［教你快速规范审题］

代入椭圆方程【典例】（2012福建高考满分13分）·(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。两点，且△ABF2的周长为8.如图，椭圆E：

(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B［教你快速规范审题流程汇总］观察条件：椭圆定义及离心率公式观察所求结论：求椭圆方程

代入椭圆方程［教你快速规范审题］

联立方程

消元【典例】（2012福建高考满分13分）·(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。两点，且△ABF2的周长为8.如图，椭圆E：

(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B［教你快速规范审题］

【典例】（2012福建高考满分13分）·(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。两点，且△ABF2的周长为8.如图，椭圆E：

(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B

［教你快速规范审题］

【典例】（2012福建高考满分13分）·(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。两点，且△ABF2的周长为8.如图，椭圆E：

(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B返回［教你快速规范审题流程汇总］联立方程

消元易忽视定义的应用………………4分………………2分返回［教你准确规范解题］解：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.

(*)

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

…………5分…………7分

返回对m、k恒成立理解不到位，得不出关于x1的方程………9分…………11分…………12分［教你准确规范解题］得Q(4,4k＋m)．

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，解得x1＝1.

故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.

………………10分…………13分忽视圆的对称性，判断不出M必在x轴上返回［教你一个万能模版］解决解析几何的探索问题，一般可分为以下步骤：第一步：假定结论成立。第二步：以假设为条件，进行推理求解。第三步：明确规范结论，若能推出合理结论，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设。第四步：回顾反思解题过程。直线过定点，如（第七节）训练2如（五十一）1,7圆过定点，如（仿真2）20

如（第九节）训练4椭圆过定点，如例2双曲线过定点抛物线过定点，如例1题型一

定点问题题型一

定点问题［抛物线过定点问题］

题型一

定点问题［椭圆过定点问题］

［直线过定点问题］

定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题．解题步骤①根据特殊情况确定出定点；②对确定出来的定点进行证明．适用情况根据特殊情况能找到定点的问题.方法1：特殊到一般法方法2：引进参数法解题步骤①引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．适用情况定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点即是定点.定点与动圆的位置关系如例1定直线与动圆的位置关系如（检测五十三）10（3）如（检测五十七）8（2）直线与抛物线的位置关系题型二

定位问题题型二

定位问题［定点与动圆位置关系问题］

［定直线与动圆位置关系问题］

定位问题一般是指运动变化中的点、直线与曲线的位置关系而不受曲线的变化影响的一类问题．解题步骤①根据特殊情况确定出位置关系；②对确定出来的位置关系进行证明．适用情况根据特殊情况能找到位置关系的问题.方法1：特殊到一般法方法2：引入参数法解题步骤①引进参数表示变化量（距离）；②研究变化量与参数何时没有关系，找到位置关系（内、外；相切、相离等）．适用情况位置关系是变化中的不变量，引入参数找出变量距离与参数没有关系的情况即是确定的位置关系.距离、距离之和、差、比定值，如例3、例6、（五十五）10、（第九节）训练5角的大小定值，如例5、周长定值，面积、面积之比定值，（第九节）例2参数和定值，如例1斜率、斜率之和、积定值，如例2、例4、例7、（第七节）训练6（2）、（第九节）例1题型三

定值问题题型三定值问题距离、距离之和、差最值，如例1、例2、例5-8，（五十四）7，（五十五）3、4面积、面积之和最值，例4，（第四节）训练4，（第七节）例2，（第九节）训练2（五十七）2参数、参数和最值，如例3题型四

最值问题解题步骤①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.题型四最值问题方法2：切线法解题步骤①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.方法3：参数法解题步骤①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值．适用情况可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.方法4：基本不等式法解题步骤①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．适用情况最值问题中的多数问题可用此法.【解析】如图，

||MP|－|FP||≤|MF|，

当M、P、F三点共线，且点P在MF的延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝(355－5)2＋(455)2＝2，故选A.

最值问题问题题型五参数范围问题参数范围问题由轨迹方程得轨迹，例1-例3，（第七节）例2，（第八节）例3，训练3,4由圆锥曲线定义得轨迹，（五十四）9，（第八节）例2，（五十一）10，

题型六轨迹（轨迹方程）问题题型六轨迹（轨迹方程）问题轨迹问题轨迹问题轨迹问题存在直线，（五十一）9、（五十五）8，例1-3存在点，（五十七）9、

题型七存在性问题[易错分析]

常因忽视判断直线2x－y－1＝0与双曲线是否相交致误．题型七存在性问题[警示]在研究直线与圆锥曲线位置关系问题时，经常使用代入消元化为一元二次方程，用根与系数的关系“整体处理”的方法求解，这时最容易出现的错误就是忘记判别式的限制，没有保证一定“相交”，故在解答这类问题时要牢记这一点．存在性问题

离心率问题，如例1-4，（五十三）5、6，（五十四）3、5，（五