初中数学等腰三角形的分类讨论901902ppt

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

——毕达哥拉斯

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

——毕达哥拉斯

知识的掌握只能受益一时,而思想的形成，方法的掌握却受益终生。

伊川县实验中学数学组

等腰三角形的分类讨论

分类讨论是分类思想应用的体现，就是将问题划分为若干个既不重复又不遗漏的几个小问题加以一一解决。

应用分类讨论可以起到两个作用，一是能使复杂，难于解决的问题简单化，二是当问题的条件不具体而模棱两可时，通过分类讨论可以确定准确答案,同时提高周密严谨的数学素养.

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要有分类意识，注意分类的标准。

回顾与复习：1.等腰三角形的三线合一指的是（）（）（）互相重合。2.等腰三角形的（）（）。

3.三角形按角可分为（）（）（）。4.()相同的三角形是相似三角形5.()的三角形是等腰三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形底边上的中线底边上的高顶角的角平分线两腰相等两底角相等形状两边相等或两角相等的基础篇

一.遇角需讨论

例1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为

（）

A.30° B.75°C.105° D.30°或75°

简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。

当75°是底角时，则顶角的度数180°-75°×2=30； 当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。

所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°注意：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。D

练习（09年山东省）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B’，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B’，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是

．解析：∠C为公共角，则△B’FC是等腰三角形，则∠C为底角。=⑴B’

F=B’C即⑵FB’=FC即

或2或2

二.遇边需讨论

例2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。

当5是等腰三角形的腰长时，底边长就是6，周长等于16；

当6是腰长时，底边长就是5，周长等于17。

所以，这个等腰三角形的周长等于16或17。注意：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。16或17练习：1.等腰三角形的边长是3和4，则周长是（）

2.等腰三角形的一边能是另一边的两倍吗？

10或11答：腰可以是底边的两倍，但底边不能是腰的两倍。因为腰和底要符合三角形的三边关系。

例3.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。

若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得

或

解得

或

即当腰长是6cm时，底边长是9cm；

当腰长是8cm时，底边长是5cm。

注意：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理三.根据形状来分类

例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

例5.为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

⑶如上图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，注意：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。解：在等腰ΔABC中，设AB=10，作CD⊥AB于D，可得CD=6。⑴如上图，当AB为底边时，AD=DB=5⑵如上图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。注意：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°－40°）=70°。如图2,当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三形，此时可求得∠BAC=140°，∠B=∠C=（180°-140°）=20°故这个等腰三角形的底角为70°或20°。70°或20°

综合篇例7.已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，第三边BC长为5。

K为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。解析：若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，BA=BC，CA=CB三种情形。方程可化为即

①显然

②当BA=BC或CA=CB时，5是方程的根。当时，代入原方程可得，解得，。当K=3时，三边长为4，5，5周长是14；当K=4时，三边长是5，6，5周长是16.BEFA8.如图，∠BAF=32°,动点C在直线EF上运动，要使△ABC为等腰三角形，则这样的点C有几个？在图中找出点C的位置。七、分类画图构造三角形如图，已知二次函数的图象经过点,与y轴交于点B，AB∥x

轴，且．（1）求二次函数的解析式；xyOABCD

（2）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左侧）．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．POC练习

解：设二次函数的解析式为把，A（-2,3）代入上式得，b=2,c=-3所以，二次函数解析式为y=+2x-3xyOAB-3CDP1PC=PO-3EP为顶角顶点xyOAB-3CDP2-3OC=OPO为顶角顶点xyOAB-3CDP3-3E3CP=COC为顶角顶点课堂小结：2.掌握分类方法和标准1.提高等腰三角形的分类意识3.掌握有关计算方法分类标准：

若给定一角，考虑顶角或底角；若给定一边，考虑底边或腰长；若给定