数值分析01-第一章

封建湖、车刚明、聂玉峰编著数值分析原理科学出版社主要教材：华长生制作2主要参考书：《数值分析与实验》韩旭里、万忠编著科学出版社华长生制作3第一章绪论1.3舍入误差分析及数值稳定性1.1数值分析的对象与任务1.2误差基础知识华长生制作4本章重点:1.绝对误差(限)和相对误差(限)2.有效数字位数及其与误差的关系华长生制作51.1数值分析的对象与任务实际问题的提出建立数学模型提出数值问题设计高效、可靠的数值方法程序设计上机实践计算结果科学与工程领域中的问题求解一般过程：华长生制作6数值问题：输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述即：输入与输出的都是数值的数学问题如求解线性方程组求解二次方程是数值问题一、数值问题华长生制作7求解微分方程不是数值问题将其变成数值问题，即将其“离散化”“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法华长生制作8二、数值方法数值方法:是指解数值问题的在计算机上可执行的系列计算公式在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()常见的在计算机上不能直接运行的计算有:开方、极限、超越函数、微分、积分等等要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价或近似等价运算华长生制作9应化为如求根公式应化为公式华长生制作10本课程的主要任务:1.针对所求解的数值问题寻找在计算机上可执行的且有效的数值方法2.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、矩阵特征值及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法华长生制作111.2误差基础知识一、误差的种类及来源模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差华长生制作12如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差Taylor展开截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.华长生制作13舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差过失误差由于模型错误或方法错误引起的误差.这类误差一般可以避免华长生制作14数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差的估计、传播和控制二、误差和误差限定义1.华长生制作15绝对误差限或误差限,显然或且华长生制作16哪个更精确呢?定义2.relativeerror华长生制作17绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限因此华长生制作18例1.解:华长生制作19例2.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位华长生制作20则称三、有效数字华长生制作21有4位有效数字有6位有效数字有8位有效数字华长生制作22例3.实际上只有1个华长生制作23华长生制作24例4.华长生制作25定理1．华长生制作26

例5

已知近似数的相对误差界为0.3%，问至少有几位有效数字？

解设有位有效数字，由于的第一个有效数没有具体给定，而我们知道一定是1，2，，9中的一个，由故由定理式知=2，即至少有2位有效数字。华长生制作27例6.解:则有定理1,相对误差满足即应取4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%.华长生制作28四、误差的传播与估计(用泰勒公式）即华长生制作29华长生制作30华长生制作31华长生制作32绝对误差增长因子相对误差增长因子思考:试分析相近数相减的误差传播规律华长生制作33特别地，对绝对误差限的传播关系有同样，可以得到华长生制作34解这里并且有于是有误差界相对误差界

例7

设有长为,宽为的某场地。现测得的近似值M,d的近似值=90M，并已知它们的误差界为试估计该场地面积的误差界和相对误差界。华长生制作35例8

设有三个近似数它们都有三位有效数字。试计算的误差界，并问的计算结果能有几位有效数字？

解于是有误差界

相对误差界因为所以能有两位有效数字。华长生制作36一、浮点数系及其运算的舍入误差(略)二、算法的数值稳定性1.3舍入误差分析及数值稳定性舍入误差在一定的条件下能够得到控制或舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则称该算法是数值稳定的，否则称其数值不稳定。华长生制作37例8.计算定积分解:华长生制作38误差放大

5千倍!但如果利用递推公式华长生制作39因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则1.四则运算中的稳定性问题(1)防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算误差会放大误差不会放大华长生制作40而如果将小数放在前面计算在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.华长生制作41(2)作减法时应避免相近数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失由于在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等华长生制作42例9.解方程解:由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式机器吃了因此在计算机上华长生