《2圆的基本性质》设计(垂径分弦)_第1页
《2圆的基本性质》设计(垂径分弦)_第2页
《2圆的基本性质》设计(垂径分弦)_第3页
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圆的基本性质第2课时垂径分弦1.理解并掌握垂径定理及其推论,并能应用其解决一些简单的计算和证明问题(重点,难点);2.认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用,会用添加辅助线的方法解决实际问题(难点).一、情境导入你知道赵州桥吗?它又名“安济桥”,位于河北省赵县,是我国现存的著名的古代石拱桥,距今已有1400多年了,是隋代大业年间(公元605~618年)由著名匠师李春建造的,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,全长米,桥宽约10米,跨度米,拱高米,是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥.你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗?二、合作探究探究点一:垂径定理及应用【类型一】利用垂径定理求线段长如图所示,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是()A.2eq\r(3)cmB.3eq\r(2)cmC.4eq\r(2)cmD.4eq\r(3)cm解析:∵直径AB⊥DC,CD=6cm,∴DP=3cm.连接OD,∵P是OB的中点,设OP为x,则OD为2x,在Rt△DOP中,根据勾股定理列方程32+x2=(2x)2,解得x=eq\r(3).∴OD=2eq\r(3)cm,∴AB=4eq\r(3)cm.故选D.方法总结:我们常常连接半径,利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形,然后应用勾股定理解决问题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】垂径定理的实际应用如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的eq\o(AB,\s\up8(︵))),点O是这段弧的圆心,C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是________m.解析:本题考查垂径定理的应用,∵OC⊥AB,AB=300m,∴AD=150m.设半径为R,在Rt△ADO中,根据勾股定理可列方程R2=(R-50)2+1502,解得R=250.故答案为250.方法总结:将实际问题转化为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】动点问题如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.解析:当点P处于弦AB的端点时,OP最长,此时OP为半径的长;当OP⊥AB时,OP最短,利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长.解:作直径MN⊥弦AB,交AB于点D,由垂径定理,得AD=DB=eq\f(1,2)AB=4cm.又∵⊙O的直径为10cm,连接OA,∴OA=5cm.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD=eq\r(OA2-AD2)=3cm.∵垂线段最短,半径最长,∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结:解题的关键是明确OP最长、最短时的情况,灵活利用垂径定理求解.容易出错的地方是不能确定最值时的情况.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二:垂径定理的推论的应用【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示,⊙O的弦AB、AC的夹角为50°,M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点,则∠MON的度数是()A.100°B.110°C.120°D.130°解析:已知M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点,由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC,所以∠AEO=∠AFO=90°,而∠BAC=50°,由四边形内角和定理得∠MON=360°-∠AEO-∠AFO-∠BAC=360°-90°-90°-50°=130°.故选D.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型二】利用垂径定理的推论求边如图,⊙O的直径CD过弦AB的中点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()A.9B.8C.6D.4解析:∵CE=2,DE=8,∴CD=10,∴OB=OC=5,OE=5-2=3.∵直径CD过弦AB的中点E,∴CD⊥AB,∴AE=BE.在Rt△OBE中,∵OE=3,OB=5,∴BE=eq\r(OB2-OE2)=4,∴AB=2BE=8.故选B.方法总结:垂径定理的推论虽是圆的知识,但也不是孤立的,它常和三角形等知识综合来解决问题,我们一定要把知识融会贯通,在解决问题时才能得心应手.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.2.垂径定理的推论平分弦(不

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