（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第二章函数及其应用2.4指数与指数函数

第四节指数与指数函数【教材·知识梳理】1.根式的性质(1)()n=a(n>1，且n∈N*).(2)2.分数指数幂(1)(a>0，m，n∈N*，且n>1).(2)(a>0，m，n∈N*，且n>1).3.有理数指数幂的运算性质(1)aras=____.(2)(ar)s=___.(3)(ab)r=____(a>0，b>0，r，s∈Q).ar+sarsarbr4.指数函数的图象和性质【常用结论】1.指数函数的图象与底数大小的比较在第一象限内，指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.2.指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)与()n都等于a(n∈N*). (

)(2)2a·2b=2ab. (

)(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. (

)(4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n. (

)提示:(1)×.=()n=a.(2)×.2a·2b=2a+b.(3)√.由指数函数的定义知应满足的条件:①系数为1,②指数为x.③底数a>0且a≠1.(4)×.当a>1时,由am<an,得m<n,当0<a<1时,由am<an,得m>n.【易错点索引】序号易错警示典题索引1注意有理数指数幂性质的条件考点一、T12忽略底数的取值范围考点二、T13忽略指数函数的值域考点二、T34忽略恒成立与存在使之成立的差异考点三、角度3【教材·基础自测】1.(必修1P90练习BT2改编)化简(x<0,y<0)得 (

)

A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y【解析】选D.因为x<0,y<0,所以

=16x8·y4=16·x8

·y4=2x2|y|=-2x2y.2.(必修1P94习题3-1AT4改编)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(

)A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<b<a【解析】选D.因为y=是减函数,所以

>>,即a>b>1,又c=<=1,所以c<b<a.3.(必修1P94习题3-1BT6改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(

)A.y=a(1+p%)x(0<x<m)B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)C.y=a(1+xp%)(0<x<m)D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)【解析】选B.第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,…,则第x年为y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).4.(必修1P93练习BT1改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点P,则f(-1)=________.

【解析】由题意知=a2,所以a=,所以f(x)=,所以f(-1)==.

答案:

思想方法分类讨论思想在指数函数中的应用

【典例】已知函数f(x)=+b(a,b是常数且a>0,a≠1)在区间上有最大值3和最小值,试求a,b的值.【解析】令t=x2+2x=(x+1)2-1,因为x∈,所以t∈[-1,0].(1)若a>1,则函数y=at在[-1,0]上为增函数,所以at∈,则b+∈依题意得解得

(2)若0<a<1,则函数y=at在[-1,0]上为减函数,所以at∈,则b+∈,依题意得解得综上,所求a,b的值为或

思想方法指导(1)指数函数的底数不确定时,应分a>1和0<a<1两种情况讨论.(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围.迁移应用已知a>0,且a≠1,函数f(x)=若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,求a的值.【解析】当1<x≤2时,f(x)=-x+a是减函数,f(x)min=f(2)=-2+a,f(x)<-1+a.当0≤x≤1时,①若a>1,则有1≤ax≤a,所以当x∈[0,2]时,f(x)max=a.(ⅰ)若1≤-2+a,即a≥3,则f(x)min=1.由于f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大,所以a-1=,解得a=.(ⅱ)若-2+a<1,即a