山东省淄博市博山区山头镇山头中学2021-2022学年高二数学理月考试卷含解析

山东省淄博市博山区山头镇山头中学2021-2022学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若命题甲：或；命题乙：，则甲是乙的(

)条件(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：B2.如图，矩形和矩形中，矩形可沿任意翻折，分别在上运动，当不共线，不与重合，且时，有（

）A．平面 B．与平面相交C．平面 D．与平面可能平行，也可能相交参考答案：A3.，已知，则

=(

)A、-3

B、-1

C、

0

D、2参考答案：A4.两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为（）A． B． C． D．与参考答案：D【考点】椭圆的简单性质；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】由两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，知a=5，b=±3，由此能求出曲线的方程，进而得到离心率．【解答】解：∵两个正数1、9的等差中项是a，等比中项是b，∴，∴a=5，b=±3，则当曲线方程为：时，离心率为e=当曲线方程为：时，离心率为e==．故选：D5.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有A．a3＋a9＜b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定参考答案：B6.若将函数f（x）=x6表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3等于（）A．20 B．15 C．﹣15 D．﹣20参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】把函数f（x）=x6=[﹣1+（1+x）]6按照二项式定理展开，结合已知条件，求得a3的值．【解答】解：∵函数f（x）=x6=[﹣1+（1+x）]6=1﹣?（1+x）+?（1+x）2﹣?（1+x）3+…+?（1+x）6，又f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…a6（1+x）6，其中a0，a1，a2，…，a6为实数，则a3=﹣=﹣20，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7.已知等比数列{an}中，，，则（

）A．±2 B．－2 C．2 D．4参考答案：C因为等比数列中，，，所以，，即，，因此，因为与同号，所以，故选C．8.已知函数为偶函数，则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.等比数列中，（ ）A．2

B． C．2或 D．－2或参考答案：C10.圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外切 B．相交 C．内切 D．外离参考答案：A【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程分别化为标准方程，找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，可得出d=R﹣r，可得出两圆内切．【解答】解：将圆x2+y2﹣6x+4y+12=0化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+2）2=1，又，（x﹣7）2+（y﹣1）2=36，∴圆心坐标分别为（3，﹣2）和（7，1），半径分别为r=1和R=6，∵两圆心距d==5，∴d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：A．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，圆与圆的位置关系可以由圆心距d与R及r的关系来判定，当d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知随机变量,．则的值为

．参考答案：112.已知M（﹣5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：①﹣=1；

②y2=4x；

③﹣=1；④+=1；

⑤x2+y2﹣x﹣3=0其中为“黄金曲线”的是．（写出所有“黄金曲线”的序号）参考答案：②⑤【考点】曲线与方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出所求双曲线的方程．再分别将双曲线与五条曲线联立，通过解方程判断是否有交点，由此可得答案．【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，则双曲线的方程为=1（x＞0），对于①，两方程联立，无解．则①错；对于②，联立y2=4x和=1（x＞0），解得x=成立，则②成立；对于③，联立﹣=1和=1（x＞0），无解，则③错；对于④，联立+=1和=1（x＞0），无解，则④错；对于⑤，联立x2+y2﹣x﹣3=0和=1（x＞0），化简得25x2﹣9x﹣171=0，由韦达定理可得两根之积小于0，必有一个正根，则⑤成立．∴为“黄金曲线”的是②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，考查联立曲线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．13.已知“对任意的，”，“存在，”,若均

为命题，而且“且”是真命题，则实数的取值范围是

.参考答案：或

略14.在离水平地面300m高的山顶上，测得水平地面上一竖直塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为 m.参考答案：200m15.有一系列椭圆…．所有这些椭圆都以为准线，离心率…．则这些椭圆长轴的和为_________．参考答案：略16.正方体的棱长为1，为线段的中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则所有正确的命题是_______.①当0<<时，为四边形；②当=时，为等腰梯形；③当=时，与的交点满足=；④当<<1时，为五边形；⑤当=1时，的面积为.参考答案：①②④17.已知向量.若与共线，则实数

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知复数，，其中（1）若复数为实数，求m的取值范围；（2）求的最小值。参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由复数为实数，则，即可求解的取值范围；（2）根据题意，求得，由模的计算公式得，即可求解，得到答案.【详解】（1）由复数为实数，则，解得，即复数为实数，求的取值范围为；（2）因为，所以，故的最小值为，此时【点睛】本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.(本小题满分16分)(文)⑴证明：当a＞1时，不等式成立.⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并说明理由；若不能，也请说明理由.⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明.参考答案：（1）证：∵,……………3分∵a＞1，∴＞0，

∴原不等式成立

………5分

（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a11恒成立，……7分

∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a11

………8分

（3）根据（1）（2）的证明，可推知：结论1:若a＞0且a11，n为正整数(或n>0),则

……………10分证:∵

………11分∵a-1与a2n-1同号对任何a＞0且a11恒成立∴(a-1)(a2n-1)>0∴

………12分结论2:若a＞0且a11，m＞n＞0，则

…………………11分证：左式-右式=………14分若a＞1，则由m＞n＞0Tam-n＞0,am+n＞0T不等式成立；若0＜a＜1，则由m＞n＞0T0＜am-n＜1,0＜am+n＜1T不等式成立∴

…16分【题文】(理)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a、b、c、dR)，且函数f(x)的图象关于原点对称，其图象x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在区间，使得函数f(x)的定义域和值域均为？若存在，求出这样的一个区间；若不存在，则说明理由；(3)若数列｛an｝满足：a1≥1，an+1≥，试比较＋＋＋…＋与1的大小关系，并说明理由.【答案】(理)

(1)∵f(x)的图像关于原点对称，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，

即2bx2＋2d≡0，∴b＝d＝0……2分又f(x)的图像在x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0，即y－6＝8(x－3)，∴f'(3)＝8，且f(3)＝6,而f(x)＝ax3＋cx，∴f'(x)＝3ax2＋c

……4分解得

故所求的解析式为f(x)＝x3－x

……………5分(2)解，得x＝0或x＝±

……6分又f'(x)＝x2－1，由f'(x)＝0得x＝±1，且当x∈[－，－1]或x∈[1，]时，f'(x)>0；当x∈[－1，1]时f'(x)<0∴f(x)在[－，－1]和[1，]上分别递增；在[—1,1]递减.∴f(x)在[－，]上的极大值和极小值分别为f(－1)＝，f(1)＝－

………8分而－<－<

<故存在这样的区间，其中一个区间为[－，]

……10分(3)由(2)知f'(x)＝x2－1，∴an+1≥(an＋1)2－1而函数y＝(x＋1)2—1＝x2＋2x在[1,+∞)单调递增，∴由al≥1，可知，a2≥(al＋1)2—1＝22—l；进而可得a3≥(a2＋1)2—1≥23—1；…由此猜想an≥2n—1.

…12分下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，al≥1＝21－1，结论成立②假设n＝k时有ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由f(x)＝x2＋2x在[1,+∞)上递增可知，ak+1≥(ak＋1)2－1≥(ak－1＋1)2－1＝2k+1－1，即n=k+1时结论成立

…14分∴对任意的n∈N+都有an≥2n—1，即1+an≥2n，

∴≤∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝＝1－（）n<l故＋＋＋…＋<l

……16分略20.（本小题满分12分）在△中，角的对边分别为，且，．（1）求角的大小；（2）若，，求边的长和△的面积.参考答案：（1）∵，由正弦定理得--------------------2分∴-------------------------------------------------------------------4分∵，，∴，----------------------------------------------5分∴．----------------------------------------------------------------------6分（2）∵，由余弦定理得：--------------------------------------------8分，--------------------------------------------------------9分∴.--------------------------------------------------------------------10分∴．-------------------------------------12分21.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是

。参考答案：14略22.（12分）已知函数，若时，有极值.处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为.（1）求函数的解析式。（2）