微专题13 含参数二次函数的最值问题（解析版）

微专题13含参数二次函数的最值问题一、多选题1．（福建省福州市第三中学2021-2022学年高一上学期开学评估考试数学试题）已知二次函数（为常数），当时，的最大值是，则的值是（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分、、三种情况讨论，分析二次函数在时的增减性，结合的最大值是可求得实数的值.【详解】二次函数图象的对称轴为直线.①当时，即当时，当时，随着的增大而减小，当时，取得最大值，即，解得，合乎题意；②当时，即当时，当时，取得最大值，即，即，解得或（舍）；③当时，即当时，当时，随着的增大而增大，当时，取得最大值，即，解得（舍）.综上所述，或.故选：AC.二、解答题2．（江苏省南通市海门实验学校2019-2020学年高一上学期学情调研一数学试题）已知二次函数.（1）若是偶函数，求m的值；（2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值；（3）若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）最大值为0；（3）或.【分析】（1）利用偶函数的定义直接求解；（2）根据对称轴与定义区间位置关系，分类求解最小值，按分段函数形式写的解析式，作出分段函数的解析式，数形结合求最值即可；（3）先转化：在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，再根据对称轴以及单调性列方程组，解得实数m的取值范围.【详解】（1）是偶函数，，即，解得：（2），二次函数对称轴为，开口向上①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值.②若，即，此时当时，函数最小，最小值.③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值.综上，作出分段函数的图像如下，由图可知，的最大值为0.（3）要使函数在上是单调增函数，则在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，或，即或，解得或.所以实数m的取值范围是：或.【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.3．（江西省高安中学2020-2021学年高一上学期第一次段考（B）数学试题）已知函数，．（1）当时，求的最小值；（2）若在区间上的最大值为14，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意，二次函数开口向上，且对称轴为，因此当时取得最小值，即得解；（2）开口向上的二次函数在离对称轴较远的端点取得最大值，因此分，两种情况讨论，即得解【详解】（1）当时，，，又因为二次函数开口向上，且对称轴为，所以当时，，（2）当时，当时，综上所述：4．（贵州省蟠龙高级中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题）已知函数（1）证明函数在区间上的单调性；（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）由二次函数的性质判断在区间上的单调性，根据单调性可求出和的值，即可求解.【详解】（1）函数在区间上单调递增；设任意的，且，则，因为，，所以，，所以，即，所以函数在区间上的单调递增；（2）函数对称轴为，开口向上，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增；所以，，，所以函数在区间上的最大值为，最小值为，所以.5．（浙江省宁波市咸祥中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题）已知二次函数的最小值为1，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上单调，求的取值范围；（3）若，试求的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）.【分析】（1）先由题意，结合二次函数的对称性，设，由已知函数值求出，即可得出解析式；（2）先由给定区间，得到；根据二次函数性质，讨论在给定区间上单调递增与单调递减两种情况，分别求解，即可得出结果；（3）讨论，，三种情况，结合二次函数的单调性，分别求解，即可得出结果.【详解】（1）由已知，.可得对称轴为设，由，得（2）由若在上单调递增，若在上单调递减，综上所述，或（3）若，在上单调递增，若，在上单调递减，若，综上所述，的最小值为6．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下考查数学（文）试题）已知函数.（1）若，求的最小值；（2）若，求证：.【答案】（1）4；（2）证明见解析.【分析】（1）计算得到，消元后利用二次函数的性质可求其最小值.（2）代入计算利用绝对值三角不等式计算得到证明.【详解】（1），因为，故，当时，有最小值4.（2），因为，故，所以.【点睛】本题考查了二次函数的性质、绝对值三角不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．（河北省张家口市涿鹿中学2020-2021学年高一上学期11月调研（期中）数学试题）已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.（1）当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；（2）当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；（3）当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).【答案】（1）最大值为11，最小值为3；（2）最大值为11，最小值为2；（3）.【分析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.（1）利用f(x)在[－2,0]上是减函数，代入求解即可；（2）利用f(x)在[－2,3]上先递减后递增，代入求解即可；（3）对称轴与区间端点值分三种情况进行讨论即可得解.【详解】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.（1）当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.（2）当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，所以f(x)的最大值为f(－2)＝11.（3）①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，综上得.【点睛】方法点睛：二次函数最值问题的类型及求解策略：类型：①对称轴，区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动；求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.8．（江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2018届新疆班）上学期期中数学试题）二次函数的图象顶点为，且图象过点（5，0）.（1）求函数的解析式；（2）令.①若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；②求函数在的最大值.【答案】（1）；（2）①或；②答案见解析．【分析】（1）设二次函数，代入可得的解析式；（2）①求得的表达式，利用在，上是单调函数，判断对称轴位置即可求实数的取值范围．②先求出函数的解析式，确定函数的对称轴，讨论对称轴位置再结合函数的定义域与单调性进行求解即可．【详解】（1）二次函数的图象顶点为，可设二次函数，代入上式可得解得函数的解析式为（2）①，，而在，上是单调函数，对称轴不在，内，或，②．对称轴为，若时，在区间，上为单调减函数，的最大值．时，在区间，上为单调递增函数，在，上为单调减函数，时，取得最大值，最大值（a）；时，在区间，上为单调增函数，时，取得最大值（2）．综上，时，最大值；时，最大值（a）；时，最大值（2）【点睛】二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.9．（江西省景德镇一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题）对于函数f（x），若存在，使得成立，则称为函数f（x）的不动点.已知二次函数有两个不动点－1和4.（1）求f（x）的表达式；（2）求函数f（x）在区间上的最小值g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，求不等式的解.【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）由不动点定义可得，代入表达式即可求解，进而得到表达式；（2）对参数进行分段讨论，分为三段，分别结合对称轴与函数在定区间的单调性求解即可；（3）由表达式分析可知，图象关于对称，则原不等式等价转化为，解绝对值不等式即可.【详解】（1）由题知得，解得，则；（2）由知对称轴为，当，即时，在上单减，；当时，在上单增，；当，即时，，综上所述，；（3）由（2）知，画出函数图象，如图：显然函数图象关于对称，则，即，解得或【点睛】关键点睛：（1）对于求解动区间上二次函数最值，需结合二次函数对称轴与参数值进行分段讨论；（2）对于存在对称轴的函数，解决题型，长转化为或进行求解.10．（江西省宜春一中2020-2021学年高一（上）第一次月考数学试题）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）设，若存在实数a，b使得f（a）＝g（b），求a的取值范围；（3）若对任意x1，x2∈[t，t+1]都有恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）﹣2＜t＜2.【分析】（1）设f（x）＝mx2+nx+c，然后结合已知利用待定系数可求m，n，c，进而可求函数解析式；（2），若存在实数a，b使得f（a）＝g（b），则，然后代入结合二次函数的性质可求；（3）由已知即可得，，然后结合二次函数闭区间上的最值问题可求．【详解】解：（1）设f（x）＝mx2+nx+c，由f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1，所以m（x+1）2+n（x+1）+c﹣mx2﹣nx﹣c＝2x，且c＝1，整理可得，2mx+m+n＝2x，所以2m＝2，m+n＝0，c＝1，故m＝1，n＝﹣1，c＝1，；（2）因为，若存在实数a，b使得f（a）＝g（b），则，即，解得，或，（3）对任意x1，x2∈[t，t+1]都有恒成立，则，又对称轴是，当即时，由于区间长度为1，，故，，此时，满足题意；当即时，函数在[t，t+1]上单调递减，则，由f（t）﹣f（t+1）＝﹣2t＜4可得t＞﹣2，即当时，函数在[t，t+1]上单调递增，则，由可得t＜2，即，综上，﹣2＜t＜2，【点睛】求函数解析式的常用方法：待定系数法，换元法，和方程组法.恒成立问题通常转化成最值问题，而研究二次函数在区间上的最值，通常分四种情况：（1）轴定区间定，（2）轴定区间动，（3）轴动区间定，（4）轴动区间动，这四种情况都需要先判定抛物线开口方向，再按照三个方向来研究最值，对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而利于单调性判断最值.11．（安徽省芜湖市普通高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题）已知二次函数的最小值为1，且.（1）求的解析式；（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）当时，的图象恒在的图象的上方，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，根据得，可得解；（2）由可解得结果；（3）转化为在区间上恒成立，根据二次函数求出最小值可得解.【详解】（1），故二次函数的图象关于直线对称，又由的最小值为1，故可设，由，得，故.（2）要使函数不单调，则有，解得.（3）由题意，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则只要的最小值大于0即可，而，则，得，即.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；12．（河南省南阳市六校2020-2021学年高一上学期第一次联考数学试题）设二次函数，的最小值为.（1）求的解析式；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据对称轴与区间的关系，进行分类讨论，求得函数的最小值，得到结果；（2）根据（1）的结果，对于分段函数的最小值，求出每一段上的最小值，找其中最小的那个就是要求的结果.【详解】（1），，①若，即时，时，；②若，即时，；③若，即时，.综上所述（2）由（1）知，①当时，；②当时，；③当时，.所以.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有二次函数在某个闭区间上的最小值，分段函数的最值，属于简单题目.13．（福建省厦门市外国语学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题）已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，当时，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得出二次函数的对称轴为直线，结合可得出该二次函数的顶点坐标为，可设，再由求出实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）求出函数的解析式，分析该二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，分析函数在区间上的单调性，求出和，然后解不等式，求出实数的取值范围，即可得出实数的最大值.【详解】（1）对一切实数，都有成立，则二次函数的对称轴为直线，又，则二次函数图象的顶点坐标为，设，则，因此，；（2），对称轴为直线，，则.当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，，则，得，此时；当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，，且，，则，整理得，解得，此时，.因此，，则实数的最大值为.【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，同时也考查了二次函数在定区间上最值的求法，当对称轴位置不确定时，需要分析对称轴与定义域的位置关系，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.14．（湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题）设二次函数满足两个条件：①当时，函数的最小值为；②函数图像与直线交于两点，且线段的长度等于（1）求的解析式.（2）设函数的最小值为，求的解析式，并求的解集.【答案】（1）；（2）；或.【分析】（1）由题意可知，解方程组求出的值即可；（2）由（1）得，然后分，和求得，再分，和解不等式即可【详解】（1）由题意知又函数图象与直线交于两点时则有∴（2）①当，即时，函数在上单调递减，则最小值②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则最小值③当即时，函数在上单调递增，则最小值，的解析式为当时，，得，当时，，得或不符题意当时，得，综上所述：不等式的解集为或.【点睛】此题考查利用待定系数法求二次函数的关系式，考查动轴定区间上求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题15．（江西省南昌市豫章中学2020-2021学年高一上学期10月第一次月考数学试题）已知二次函数满足，且．（1）求的解析式；（2）求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）将解析式写成顶点式，从而求出函数的对称轴、单调性，由此可求出函数的最值．【详解】解：（1）设，则，∵，∴，∴，解得，又∴，∴；（2）由（1）得，①当时，函数在上单调递减，∴；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴；∴．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的单调性与最值，考查数形结合思想，考查转化与化归思想，属于中档题．16．（河南省重点高中联考2020-2021学年高一年级阶段性测试（一）数学试题）已知函数为二次函数，它的最小值为1，且对任意，都有成立，又．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）在区间上．的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）求函数在区间上的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）利用对称轴的最小值，设，代入坐标计算可得；（Ⅱ）问题转化为对于任意恒成立，即对于任意恒成立，求出在时的最大值即可得；（Ⅲ）的对称轴是，按，，分类讨论可得．【详解】（Ⅰ）由条件知该二次函数图象的对称轴为，又因为函数的最小值为1，故可设，将点的坐标代入得，所以．（Ⅱ），由题意得对于任意恒成立，所以对于任意恒成立，图象的对称轴为，则，所以．（Ⅲ）当，即时，在上单调递减，．当，即时，．当时，在上单调递增．．所以【点睛】本题考查求二次函数的解析式．考查二次函数的图象与性质．二次函数的解析式有三种形式：一般式，顶点式，两根式，求解析式时可根据条件选择适当的形式求解．二次函数在某个区间上的最值问题，一般要分类讨论，常常根据对称轴与区间的关系分类求解．17．（江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题）求二次函数在区间上的最大值.【答案】且.【分析】化简二次函数，求得对称轴的方程，根据和分类讨论，即可求解.【详解】由题意，二次函数，可得对称轴为，①当时，因为区间的中点值为，（i）当时，即时，此时；（ii）当时，即时，此时；②当时，可得（i）当时，即时，此时；（ii）当时，即时，此时，综上所述，可得且【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力.18．（内蒙古北京八中乌兰察布分校2020—2021学年高一上学期第一次月考数学试题）已知二次函数，.（1）判断函数的奇偶性；（2）若函数的值域为，求的取值范围；（3）讨论函数在区间上的单调性，并求函数在此区间上的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）或；（3）答案见解析；【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，讨论、时的奇偶性；（2）根据二次函数的性质，的值域为只需要即可；（3）根据二次函数的开口、对称轴，分类