理论力学课堂教学软件

理论力学课堂教学软件（2）第一篇静力学理论力学

第2章力矩的概念和力系的等效与简化

第一篇

静力学2.2力偶与力偶系2.3力系的简化2.1力对点之矩与力对轴之矩

第2章力矩的概念和力系的等效与简化

ABABAD问题:如何用数学工具描述非共点力系对刚体的作用效应?根据牛顿第二定律有设：共点力系作用在质量为m的质点上。结论：力系中是力作用效应的度量之一。A

第2章力矩的概念和力系的等效与简化

2.1力对点之矩与力对轴之矩返回

第2章力矩的概念和力系的等效与简化

力对点之矩力对轴之矩

合力矩定理

分布荷载专题2.1力对点之矩与力对轴之矩zxyO力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。（1）矢量表示式rFdFr——矢径

O——矩心

力对点之矩zxyFFxFyFzrF＝Fxi+Fyj+Fzkr=xi+yj+zk（2）解析表示式力对点之矩（3）力矩矢量的方向

M=r

F按右手定则FrMO

由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢量的始端一定在矩心O处，是定位矢量。力对点之矩

矢量方向（右手定则）

矢量的模（大小）

矢量作用在O点,垂直于r和F所在的平面。

力对点之矩是一种矢量。注意：由于力对点之矩是矢量，做题目的时候既要求出大小又要求出方向。（4）力对点之矩的几点结论力对点之矩zxyOrFd结论：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零；(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。力对轴之矩：力使物体绕某一轴转动效应的量度。

zodF（1）概念FFFzFxFyOxyyx-FxFy力对轴之矩（2）力对轴之矩符号规定注意：力对轴之矩是标量（代数量），用正负号表示即可。

力矩正负确定方法：①从z轴正向向负向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。②按右手定则确定其正负号。zodF逆时针＋，顺时针－力对轴之矩力对轴之矩力对点之矩在各坐标轴上的投影结论：力对点之矩在过该点的某一轴上投影等于力对该轴之矩。（3）力对轴之矩与力对点之矩的关系<＝>力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影。力对轴之矩zxyOrFd则有：若作用在刚体上的力系存在合力合力矩定理

力对轴之矩：已知：支架受力F作用,

l1,l2,l3,

尺寸已知；求：MO(F)。例题12.1力对点之矩与力对轴之矩MO

(F)=Fd?2.1力对点之矩与力对轴之矩例题1

其中则，原式等于2.1力对点之矩与力对轴之矩解：根据“合力矩定理”例题1

试求力F对A点之矩及对x、y、z轴之矩。解：（1）力F对A点之矩2.1力对点之矩与力对轴之矩例题2例题2

（2）力F对x、y、z轴之矩力F对x、y、z轴之矩为：2.1力对点之矩与力对轴之矩法1：先求力对O点之矩法2：根据力对轴定义例题2

分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。分布荷载专题F1F2q

若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。解：已知：三角形分布载荷的q、梁长l。求：合力、合力作用线位置。设合力作用线距离A点距离为dyxMAdxl由合力矩定理，合力对A点之矩与分布力对A点之矩相等解得分布荷载专题合力大小：合力作用线位置：结论：

1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。1、均布荷载2、三角形荷载3、梯形荷载l/2l/2qFRFRqq2q1可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加线荷载合力及其合力作用线位置分布荷载专题2.2力偶与力偶系

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第2章力矩的概念和力系的等效与简化

力偶与力偶系力偶的性质

力偶系的合成

2.2力偶与力偶系力偶矩矢量力偶实例F1F2F1＝－F2力偶与力偶系

力偶（couple）：大小相等,方向相反,且不共线两个平行力所组成的力系。F2F1r1r2rBA

力偶也是一种最基本的力系。力偶与力偶系

力偶的作用面与力偶臂F1F2力偶臂：力偶的两力之间的垂直距离d。力偶作用面：力偶所在的平面。力偶与力偶系

ABFF’FABF’dM注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与矩心选取无关。力偶矩是自由矢量。O力偶矩矢量：力偶对刚体的转动效应的量度。其方向亦可由右手定则确定。力偶与力偶系

性质1力偶无合力。因此，力偶不能和一个力等效（平衡），但可以和力偶等效（平衡）。力偶的性质力偶的矢量和FR为零。F2F1r1r2rBA性质2

只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。FF′FF′FF′ABAB力偶的性质性质3

保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小（F，d

），其作用效果不变。2F2F′FF′AB力偶的性质

力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。下面符号都表示力偶。M为力偶的矩。力偶的性质力偶性质推论的应用限制

本章中关于力偶性质及其推论，在力系简化以及平衡问题研究中都是非常重要的。但是，这些推论仅适用于刚体，不适用于变形体。

弯曲力偶作用在自由端→全梁发生弯曲变形。弯曲力偶作用在中间→梁左端发生弯曲变形，右端不发生弯曲变形。扭转力偶作用在自由端→整个杆件发生扭转变形。扭转力偶作用在中间→杆左端发生扭转变形，杆右端不发生扭转变形。

力偶系：由两个或两个以上力偶组成的特殊力系。力偶系的合成M

任意个在空间分布的力偶，可以合成一个合力偶，合力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。即力偶系的合成思考题1

刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4力偶系的合成思考PORM思考题2

从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？

FO力偶系的合成思考2.3力系的简化

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第2章力矩的概念和力系的等效与简化

力向一点平移定理空间一般力系的简化

力系简化在固定端约束力分析中的应用2.3力系的简化空间力系简化的几种最后结果

力系等效定理rOdA在O点作用什么力系才能使二者等效?FAOdrF?力向一点平移定理

思考dOAr加减平衡力系(F',F''

)二者等效FdOrAFF'

F

''

OArF'

MO力向一点平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的矩。点O——简化中心。注意：力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。力向一点平移定理

——力系简化的基础力系：两个或两个以上的力和力偶所组成的系统，（F1，F2，…，Fn），又称力的集合。F1F4FnF3F2M1MnxAyz力系的简化：就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，变为一个力，或一个力偶，或者一个力和一个力偶的简单的、但是等效的情形。空间一般力系的简化

空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。FnF1F2yzxOF'1F'nF'2MnM2M1zyxOMOFROxyz＝＝空间一般力系的简化1、主矢：空间任意力系中各力的矢量和。MOFROzxy定义：2、主矩：空间任意力系中各力对任选简化中心

O

的力矩矢量和，称为该力系对简化中心

O的主矩。注意：主矢与简化中心的位置无关；而主矩与简化中心的位置有关。空间一般力系的简化怎样判断不同力系的运动效应是否相同？如何判断力系等效？MCFBFA力系1FCMEMD力系2

两个力系对刚体运动效应相等的条件是：

主矢相等和对同一点的主矩相等。力系等效定理力系等效定理例题3

由F1、F2组成的空间力系，已知：F1=F2=F。试求力系的主矢FR以及力系对O、A、E三点的主矩。

解：1、计算主矢

令i、j、k为x、y、z方向的单位矢量，则力系中的二力可写成

于是，力系的主矢为2.3力系的简化例题3

2、计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O、A、E三点的主矩分别为：

2.3力系的简化例题3

例题4

图示空间力系中，力偶作用在Oxy平面内，力偶矩M=24N·m。试求此力系向O点简化的结果。

解：首先，将已知的力和力偶都表示为矢量的形式

M=(0,0,-24)N•mF1F2F3同时将O点至各力的矢径也表示为矢量的形式

2.3力系的简化例题4

主矢：M=(0,0,-24)N•m主矩：2.3力系的简化例题4

力系简化在固定端约束力分析中的应用

力系简化在固定端约束力分析中的应用

AAA固定端约束：一个物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束。这时约束物体既限制了被约束物体的移动，又限制了被约束物体的转动。AMAFAyFAxFAMA固定端约束的约束力为作用在接触面上的复杂分布力系。力系简化在固定端约束力分析中的应用

空间约束类型力系简化在固定端约束力分析中的应用

几种特殊情形平衡力系还可以进一步简化合力偶合力（与简化中心的位置无关）（与简化中心的位置无关）（合力作用线过简化中心）空间力系简化的几种最后结果进一步简化

FR⊥

MO

FR∥

MO

FR既不平行也不垂直于MO空间力系简化的几种最后结果合力的作用线离简化中心O的距离为

◆FR≠

0，MO≠0，且FR⊥MOMOFROFRF'RFROO'dFROO'＝＝空间力系简化的几种最后结果◆F'R≠

0，MO≠0，且F'R∥MO此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。F'R与MO同方向时，称为右手螺旋；

F'R与MO反向时，称为左手螺旋。图示为一右手螺旋。＝MOF'ROOF'R空间力系简化的几种最后结果◆F'R≠

0，MO≠0，同时两者既不平行，又不垂直。此时可将MO分解为两个分力偶M"O和M'O，它们分别垂直于F'R和平行于F'R，