2015高数线代期末小助手

致、此次复习资料整理编著任务量较大，感谢学业辅导中心各位优秀的、414114341重要通19:30~21:30为学第十五周周四周五（12月17号、12月18号，地点C304）举办高数 内容，请大家点击仲英书院学业辅导，志会替预约，并告诉你，联系人：赵久霞仲英书院学业辅导中第三 一元函数积分学及其应第一节定积分的概念、存在条件与性题目中综合，而积分中值定理比较重要，考试可能会出大题.ξϵ[a,b]

𝑏𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥=𝑓(ξ)𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥∫01𝛼0

𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝛼𝑓(𝑥)𝑑𝑥 11 1 故原不等式等价于(1−

∫∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥≥ ∫ ∫∫利用积分中值定理，有(1−𝛼)𝛼𝑓(𝑥)𝑑𝑥=(1−𝛼)𝛼𝑓(𝜃1)，𝛼1𝑓(𝑥)𝑑𝑥=(1∫∫ 𝛼)𝛼𝑓(𝜃2),其中0<θ1<α,α<θ2<1f(x)单调减，所以𝑓(𝜃1)≥𝑓(𝜃2)，于第二节微积分基本公式与基

𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑏)−∫∫设f∈C[a,b]，则由（2.2）式所确定的函数ф：[a,b]→R在[a,b]上可导， ∫𝑑𝑥tgxdxlncosx

cos2

sec2xdxtgxctgxdxlnsinxsecxdxlnsecxtgx

sin2x

xdxctgxl1

secxtgxdxsecxcscxctgxdxcscxa2

lnx

axdxaxa2

ln ln1lnax a

chxdxshxx2aa2 arcsinxC ln(x x2aa2 nxdx

Insinxdx

xx2xx2x2x2a2dxxxxx2x2a2dx2

22

ln(xlnx

)x2x22 (

aa a

2

arcsinxa分析:本题乍看无从下手，其实只要把𝑒𝑥变成𝑒∙𝑒𝑥−1 解 2𝑥−1𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑒(2𝑒)𝑥−1𝑑𝑥=2𝑥−1𝑒𝑥+ 2.2.2】求∫𝑥√1−𝑥∫解：原式=𝑥(1−𝑥𝑑𝑥.令𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑡.取𝑡∫原式=𝑠𝑖𝑛𝑡(1−𝑠𝑖𝑛𝑡)∙𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡=𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡−𝑠𝑖𝑛2𝑡𝑑𝑡=−𝑐𝑜𝑠𝑡−1−𝑐𝑜𝑠2𝑡 =−𝑐𝑜𝑠𝑡−1(𝑡−1𝑠𝑖𝑛2𝑡)+ =−√1−𝑥2−1𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥√1−𝑥2+ 第三节两种基本积f[g(x)]g'(x)dxf(u)du(u

∫𝑥2+2𝑥+

解：原式=

=(1∫d𝑢

𝑥+1

1arctan𝑢+C

𝑥+1

1arctan𝑥+1+ f(x)dxf[g(t)]g'(t)dt(tg13【例3.1.2（1）求 (𝑎>3分析：分母简化，化为三角函数解：令𝑥=asin𝑡(t∈(-π/2,π/2))，d𝑥=acos𝑡𝑑𝑡

=1tan𝑡+又tan𝑡

+原式=+𝑎2

sin5+4cos

解：𝑡=tan𝑥 cos𝑥 2=1−𝑡2

2

2𝑠𝑖𝑛𝑥 2𝑥2

,𝑑𝑥=𝑑(2arctan𝑡)

d𝑡=1(∫ d𝑡−∫ 2=1[ln(1+𝑡2)−ln(9+𝑡2)]+C=1ln1+𝑡+4=−1ln(5+4cos𝑥)+4

【小结11d𝑥=𝑑𝑙𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=1

𝑑𝑥=𝑑𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥,等等，达到熟能生巧√𝑎2−𝑥2可变换𝑥=𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡(𝑥=2）√𝑎2+𝑥2可变换𝑥=3)√𝑥2−𝑎2可变换𝑥=4）n√𝑎𝑥𝑏,tn√𝑎𝑥三角函数无明显规律时使用万能代换法（普遍但非简便 af(x)dxαf 3.1.3】求π/2√cos𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥∫分析：这种题型一般难度不大，注意去绝对值符号时可能要分段 解：原式= cos𝑥|sin 0=∫π/2√cos𝑥sin𝑥d𝑥0

√cos𝑥sin𝑥 3 3 3=−3 +−3 3分部积分udvuvvdu∫ 3.2】求不定积分2e𝑥∫ 分析当发现选择dv=de𝑥无法算出时转换思路选择𝑢=𝑥2e𝑥,dv= d𝑥,解：原式𝑥2e𝑥d1)=−𝑥2e𝑥+𝑥2e𝑥+2𝑥𝑒𝑥d =−𝑥2e𝑥+∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥=−𝑥2e𝑥+𝑥𝑒𝑥−∫𝑒𝑥 =−𝑥2e𝑥+𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥+𝐶(C第四节定积分的面积4.1】求由抛物线𝑦=𝑥2−1和𝑦=7𝑥2分析：交点的横坐标为22.A非均匀连续分dQ，任意分割∆A≈[(7−𝑥2)−(𝑥2−dA=2(4−∫A=22(4−𝑥2)d𝑥=∫ 2ρ2=4𝑠𝑖𝑛2𝜃分析：考虑定义域，θϵ0,π]∪[π3π]

dA=12A=2A=2∫ 𝑑𝜃= 4sin2θ𝑑𝜃= 【4.2】一个平面图形由𝑥𝑦𝑎（𝑎0）与直线𝑥𝑎𝑥2𝑎及𝑥（1）𝑥轴（2）𝑦 分析：分割区间[𝑎2𝑎][𝑥𝑥+𝑑𝑥],过点𝑥𝑥+𝑑𝑥分别做垂直于𝑥轴A(𝑥)=

=𝜋(

dV=A(𝑥)d𝑥=

)2

V= 𝜋()2d𝑥 [𝑥𝑥𝑑𝑥]它绕y径为𝑥,外半径为𝑥+𝑑𝑥,高为𝑦=𝑎的圆柱

dV=2π𝑥𝑦𝑑𝑥=aV=∫2a2π𝑎d𝑥=a定积分在物理中的4.3l，电荷线密度为δq位于长为l的导线的中垂线上，与导线相距为𝑎，求x轴上区间𝑎,𝑎],则子区间上[𝑥𝑥𝑑𝑥]2d𝐹=

=𝑎2+ d𝐹𝑦=d𝐹cosθ=𝑘𝑎2+𝑥2√𝑎2+𝑥2=𝑘(𝑎2+

𝐹=𝐹𝑦=𝑘𝑞𝛿𝑎 (𝑎2+𝑥2)3/2=2𝑘𝑞𝛿𝑎√4𝑎2+ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥为f在无穷区间 𝑏→∞若极限 𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥存在，则称f在 𝑏→∞称f在 ）上的积分发散【注意】常用无穷积分敛散判断依据：当p>1时，收敛 1时发散【例5.1】求的解原式==arctanx=-定义：设函数f定义在（a,b]上，f在a附近（a为f的奇点对任∫ ∫

𝑓(𝑥)𝑑𝑥为函数f

𝜀→0+=

lim

f定义在[a,c)(c,b]上，cf的奇点.f在[a,b ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lim 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+lim 𝜀→0+ 𝛿→0+∫若lim 𝑓(𝑥)𝑑𝑥同时存在，则f在[a,b]上的积分收敛，∫𝜀→0+ 𝛿→0+dx(p>0,a<b),当p<1时，收敛；p1时发散5.3无穷积分的审敛准1,；（2）5.3.22f,g在[a,+）g(x)>0,设lim𝑥→+∞当>0时，和同时收敛或发当=0时，若收敛，则收当=+时，若发散，则发散【例5.3.1】判断的敛散性.解:设f(x)= 2因 lim𝑓(𝑥)= =𝑥→∞ 𝑥→∞ 收敛，所 收敛5.3.3绝对收敛准则设f 由于 ，而

5.4积分的审敛准1f，g在（a,b]上连续，a为他们的奇点，且在（a,b2f,g在（a,bag(x)>0,lim𝑓(𝑥)𝑥→𝑎+当=+时，和发散， 发散绝对收敛准则:设函数f在（a,b]上连续，a为奇点，若收敛， 解（1）由于|f(x)|=|, 由比较准则1知收敛，因此原积分绝对收敛（2）f(x)=,g(x)=, ，运用分离变量法求解得∫𝑑𝑦=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥+,所以y=就是所求得通将初值带入，得C=1,故 为所求特解一阶线性微分方程+P(x)y=Q(x)的通解【例6.2】求得通解和满足y|x=0=1的特解y看做自变量，x看做因变量.解方程改写为得到关于x的一阶非齐次线性微分方程. 𝑥=1𝑦3+2C=可用变量代换法求解的一阶微分方齐次微分方程𝑑𝑦= 【例6.3.1】求方程x的通解.x 代入上式分离变量得

√𝑈=ln|x|+C或将u=代入 Bernoulli形如( 的方程称为Bernoulli方程，做变量代换 ,原方程变为线性微分方程解此为Bernoulli方程，令u= ,原方程变

【例6.3.3】满足初值y|x=0= u=siny,du=cosydy,原方程化为， siny（1）对于形如𝑦(𝑛)=𝑓(𝑥)，𝑦′′=𝑓(𝑥,𝑦′)做变量代换 （2）对于形如𝑦′′=𝑓(𝑦,𝑦′)做变量代换𝑦′=p,𝑦′′==p6.3.4_1】求微分方程(1𝑥2)𝑦′′=2𝑥𝑦′y|x=0=1，y’|x=0=3解令𝑦′=p, (1+𝑥2)𝑑𝑝=分离变量 𝑑𝑝=2𝑥 两端积分 从 p=C1(解 y=C1(x+6.3.4_2𝑦𝑦′′−(𝑦′)2=0解：令𝑦′=p,𝑦′′=,代入方程得yp=0,即p(y-x轴的交点到该点的距离.若此曲线通过点（12，试求它的方程.y=y(x)，P(x,y)为曲线上的任意一点，PQ为求|PQ|的长度，先写切线方程：𝑌𝑦𝑦′(𝑋当𝑌=0时，得到Q点的横坐标是𝑋=𝑥−所 |PQ|=√(𝑥−𝑋)2+𝑦2=√(𝑦)2+|OP|=|PQ|得 √𝑥2+𝑦2=√(𝑦)2+化简得微分方 𝑦′=的方程为y=2x或y=2/x.第四 无穷级第一节常数项级𝑆𝑛=𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛=∑

(𝑛=1,2,⋯称为它的部分和.若部分和数列{𝑆𝑛}收敛，则称级数收敛，并S=lim𝑆𝑛=lim∑ 𝑎𝑛=𝑆；否则，称级数发散.级数的收敛于发散统称为收敛性.收敛级数的和与其部分和之差Rn=𝑆−𝑆𝑛=∑∞ 性质1.1设 𝑎𝑛= (𝑎𝑛1𝑛𝑎1 𝑏𝑛=S±𝑆

𝐶𝑎𝑛=𝐶 𝑎𝑛=𝐶𝑆，其中C∈R若𝑎𝑛≤𝑏𝑛

𝑛=1𝑎𝑛≤ 1.2任意删去、添加、或改变有限项不改变级数的敛散性∑𝑛=1（1）lim𝑎𝑛= （2）lim𝑅𝑛= 【1.1.1】

ln(ln

=𝑥→∞𝑥ln

0以lim𝑎𝑛=𝑒0=1≠0，所以级数发散（2）由于𝑎=ln )=ln(𝑛−1∙𝑛+1)=ln𝑛−1−ln𝑛.故𝑆=(ln1−ln2) (ln2ln3)+(ln𝑛−1ln𝑛)=ln1ln𝑛.lim𝑆𝑛=ln1. 2

∞∑

𝑛2+解：𝑎=𝑛2+2𝑛=1+1

1

𝑛=1 𝑛=1性质1.4若∑∞ 1.1（Cauchy收敛原理）

𝑛=1𝑎𝑛∀𝜖0，∃𝑁∈𝑁+，𝑠.𝑡.∀𝑝𝑁+，当𝑛𝑁时，恒有|∑𝑎𝑘|定理1.2正项级数 𝑎𝑛收敛的充分条件是它的部分和数列有上界 𝑎𝑛与 𝑏𝑛是两个正项级数并且∀𝑛∈𝑁+,𝑎𝑛 𝑏𝑛收敛，则 𝑎𝑛收敛；（2）若 𝑎𝑛发散，则

𝑛=1𝑎𝑛与 𝑏𝑛是两个正项级数并且∀n∈N+,𝑏𝑛lim𝑎𝑛=𝜆（有限或𝑛→∞若𝜆>0 （2）若𝜆=0，且 𝑏𝑛收敛，则 𝑎𝑛收 （3）若𝜆=+∞

𝑛=1𝑏𝑛发散，则 𝑎𝑛发散 ∞∞∑

𝑛=1(2𝑛2+ln𝑛+1) ≤1

𝑛

ln𝑛+1

𝑛=1收敛

𝑛2

+) 定理1.5（积分准则）设 𝑎𝑛为一正项级数，若存在一个单调减的非负连函数𝑓:[1,)→[0,，使𝑓(𝑛)=𝑎𝑛同时收敛或同时发散

𝑎𝑛与无穷积分 【例1.2.2】令𝑎=∫+∞𝑥2𝑘𝑒−𝑘𝑥2𝑑𝑥(𝑘=1,2,……)，讨论 𝑎的收敛性 𝑘=1

= 𝑥2𝑘𝑒−𝑘𝑥2𝑑𝑥= 𝑥2𝑘−1𝑑(− 𝑒−𝑘𝑥2

2𝑘− +∞ =−(2𝑘)2 )=(2𝑘−1)(2𝑘−3)∙⋯∙3∙ +∞

𝑘

𝐴，其中𝐴

.𝑎𝑘+1∫( ∫()

1 <1.由检比法推出原级数收敛

定理1.6（d’Alembert准则，检比法）设 𝑎𝑛为正项级数，𝑎𝑛>0，并

=𝜆（有限或正无穷（1）若𝜆<1若𝜆>1

𝑛→∞𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛发散定理1.7（Cauchy准则，检根法）

𝑛=1𝑎𝑛为正项级数，lim𝑛√𝑎𝑛（1）若𝜆<1（2）若𝜆>1

𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛发散1.31.（Leibniz准则设∀𝑛∈𝑁𝑎𝑛≥𝑎𝑛+1lim𝑎𝑛=0,并且其和𝑆≤𝑎1，部分和𝑆𝑛与和𝑆定 （绝对收敛准则|𝑆−𝑆𝑛|≤𝑎𝑛+1(∀𝑛∈定 （绝对收敛准则 若级数∑∞|𝑎𝑛|

𝑎𝑛绝对收敛 定理1.10如果级数 𝑎𝑛绝对收敛那么任意交换它的各项次序所得到的级∑∞∑

1.11

𝑛=1𝑎𝑛

𝑏𝑛都绝对收敛，它们的和分AB，那么它们的各项相乘得到的所有可能的成绩项𝑎𝑛𝑏𝑚按任何次序排列所得的级数∑∞∑

n2 2n1n2 (A)发散.(B)条件收敛 (D)敛散性与的值有关 解：因为a2k1ak，且正项级数an收敛，所以a2n1k k

n2n2

，2 n第二节函数项级∞∑𝑢𝑛(𝑥0)=𝑢1(𝑥0)+𝑢2(𝑥0)+⋯+𝑢𝑛(𝑥0)+级数的收敛域.对应地可以定义发散点与发散域.设𝐷为级数的收敛域，则∀𝑥𝐷，∞𝑆(𝑥)=∑𝑢𝑛(𝑥)，𝑥∈定义的函数𝑆：𝐷→𝑅为级数的和函数，简称为和若级数在𝐷上处处收敛，则𝑆(𝑥)=lim 𝑢𝑘(𝑥)=lim𝑆𝑛(𝑥)，并 ∞𝑅𝑛(𝑥)=𝑆(𝑥)−𝑆𝑛(𝑥)=∑为该级数的余项，并且lim𝑅𝑛=0(𝑥∈2.2（函数项级数的一致收敛性）若存在一个函数𝑆:𝐷→𝑅∀𝜖0,𝑁(𝜖)∈𝑁当𝑛>𝑁(𝜖)时，∀𝑥∈𝐷恒有|𝑆𝑛(𝑥𝑆(𝑥)|<2.1（Cauchy一致收敛原理）函数项级数在𝐷∀𝜖>0,𝑁(𝜖)∈𝑁𝑠𝑡𝑛𝑝∈𝑁当𝑛>𝑁(𝜖)|𝑆𝑛+𝑝(𝑥)−𝑆𝑛(𝑥)|=|∑𝑢𝑘(𝑥)|<2.（𝐷，恒有|𝑢𝑛(𝑥)|≤𝑀𝑛，那么级数在𝐷上一致收敛

𝑛=1𝑀𝑛∀𝑛∈𝑁+,以及∀𝑥定理2.3（和函数的连续性）设𝑢𝑛∈𝐶(𝐼)(𝑛∈𝑁+)一致收敛于𝑆:𝐼→𝑅，则和函数𝑆∈

𝑛=1𝑢𝑛在𝐼2.4（和函数的可积性）设𝑢𝑛∈𝐶[𝑎𝑏](𝑛∈𝑁+).

𝑛=1𝑢𝑛在[𝑎,𝑏]致收敛于𝑆:[𝑎𝑏]→𝑅，则和函数𝑆在[𝑎𝑏]上可积，且∀𝑥∈[𝑎 𝑥 ∫𝑆(𝑡)𝑑𝑡=∫(∑𝑢𝑛(𝑡))𝑑𝑡=∑∫ 𝑎 𝑛=12.5（和函数的可导性）设𝑢𝑛∈𝐶(1)(𝐼)(𝑛∈𝑁+).

𝑛=1𝑢𝑛在𝐼𝑛=1→∈𝑛=1 S′(𝑥)=(∑

=∑𝑢′(𝑥)= 第三节幂级3.1（Abel定理）

𝑛=0𝑎𝑛𝑥𝑛,下列命题成立（1）若它在点𝑥0≠0处收敛,则当|𝑥|<|𝑥0|时,该级数绝对收敛分析：Abel定理是研究幂级数收敛性的基础.幂级数∑∞ 3.2

𝑛=0𝑎𝑛𝑥𝑛的收敛性有且仅有三种可能（1）对于任何𝑥∈𝐑（2）仅在𝑥=0点收敛（3）R,当|𝑥|<𝑅时绝对收敛,当|𝑥|>𝑅时发散

𝑛=0𝑎𝑛𝑥𝑛在收敛区间(-R,R)内绝对收敛,在收敛区间外发散】𝑛=0解：因为幂级数收敛域关于原点x=0对称,且在收敛区间内必定是绝对收敛定理3.3设有幂级数 𝑎𝑛𝑥𝑛,若𝑎𝑛≠0,并且lim|𝑎𝑛|存在或为+∞,则它收敛半径为𝑅=lim|𝑎𝑛𝑛→∞

𝑛→∞散性的D’Alembert准则在𝑎𝑛≠0,(𝑛=1,2,即不缺项以及极限lim|𝑎𝑛+1|存在两个条件下才推导出的若缺项时可以直接使用 Alembert准则,或者变换为非缺项级数再使用公式

3𝑛+(−2)𝑛(𝑥+1)𝑛敛区间端点的性质解：记𝑎=3𝑛+(−2)𝑛.lim|

|=1,故收敛半径为R=1; 𝑛→∞ 为(−1−11+1即4

2当𝑥=−4时,幂级数为

3

(−1)𝑛

=

−1+(

+

3

𝑛=1

而对于级数

22 <1,故收敛2(𝑛=1 𝑛→∞2(3因此,当𝑥=−4时,级数 3𝑛+(−2)𝑛(𝑥+1)𝑛条件收敛

2当𝑥=−2时幂级数为

3

(1)𝑛=

1+

(−3 𝑛=1 由于上式右端第一个级数发散,第二个级数收敛,故原级数发散幂级数的运算性3.4

𝑛=0𝑎𝑛𝑥𝑛

𝑏𝑛𝑥𝑛的收敛半径分别是𝑅1与令𝑅=min{𝑅1𝑅2则在它们公共的收敛区间(−𝑅,𝑅内则有级数αα

𝑎𝑛𝑥𝑛+𝛽 𝑏𝑛𝑥𝑛,

𝑎𝑛𝑥𝑛+𝛽 𝑏𝑛𝑥𝑛

∑∞(𝛼𝑎𝑛𝛽𝑏𝑛)𝑥𝑛,(其中α，β∈

𝑛=0𝑎𝑛𝑥𝑛R,0<𝑅≤+∞则它在收敛区间(−𝑅𝑅)内任何的闭子区间[𝑎𝑏]上都是一致收敛的3.6

𝑛=0𝑎𝑛𝑥𝑛S(x),R,则下列命题成立（1）S(x)在收敛区间(−𝑅𝑅)内是连续的,S(x)∈C(−𝑅,∈(−𝑅, 𝑆，(𝑥)= 𝑎𝑛𝑥𝑛),=∑∞(𝑎𝑛𝑥𝑛), ∑∞∑

𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1,求导后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径（3）S(x)在收敛区间(−𝑅𝑅)内可积,并且可以逐项积分,即∀𝑥(−𝑅∫∫∫有𝑥𝑆(𝑡)𝑑𝑡 𝑎𝑛𝑡𝑛)𝑑𝑡= 𝑥𝑎𝑛𝑡𝑛𝑑𝑡= ∫∫∫ 𝑛=0 𝑛=0积分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径 𝑒𝑥=1+𝑥

2!+⋯

+⋯ 𝑥∈−∞,+∞sin𝑥=𝑥

3!

−⋯+(−1)𝑘(2𝑘𝑘1)!+⋯,𝑥∈(−∞, cos𝑥=1− + −⋯+ +⋯ 𝑥∈−∞,+∞

ln1+𝑥=𝑥−2+3−4+⋯+ 𝑛+⋯,𝑥∈(1+𝑥)𝛼=1+𝛼𝑥+𝛼(𝛼−1)𝑥2+⋯+𝛼(𝛼−1)…(𝛼−𝑛+1)𝑥𝑛+⋯,𝑥∈ 分析：将函数展开成幂级数应注意展开条件与展开式的唯一性.至于展开方法,flrlrf果f唯一性,从某些已知函数出发,利用对收敛幂级数的四则运算,逐项求导,.3.3】写出ln1+𝑥x的幂级数展开式 ln√1+𝑥=1[ln(1+𝑥)−ln(1−𝑥)]=1 (−1)𝑛−1(𝑥) ∑∞(−1)𝑛−1(−𝑥)𝑛]= ,𝑥∈−1,1. 𝑛=0【3.4】在𝑓(𝑥)=tan−1𝑥,

解：tan−1𝑥=

𝑑𝑡

∫

(−1)𝑛𝑡2𝑛)𝑑𝑡= 0

这里逐项积分的条件是满足的事实上当𝑡∈[0,𝑥]|𝑥|<时 (−1)𝑛𝑡2𝑛是一致收敛的,并且各项均连续.上述级数收区间为|𝑥|<1,当|𝑥|=1时,为交错级数,且满足莱布尼兹判别法x=1,

(−1)𝑛−1=tan−11= 𝑛=1 第四节Fourier级Fourier级数的一般形式为𝑓(𝑥)=𝑎0+ (𝑎𝑛cos𝑛𝜋𝑥+𝑏𝑛sin𝑛𝜋𝑥) 1𝑙1( 𝑎𝑛 ∫𝑓

(𝑛=0,1,2,…( 𝑏𝑛 ∫𝑓𝑥

(𝑛=1,2,… 𝑙 ∫f定义在有限区间[-ll]上,f作周期延拓.f定义在区间[0,l]上,常用偶延拓和奇延拓两种方法.若f为奇函数,则有𝑎𝑛=0𝑏𝑛=2𝑙𝑓(𝑥sin𝑛𝜋𝑥∫𝑙 ∫f为偶函数,则有𝑎𝑛=2𝑙𝑓(𝑥cos𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥,𝑏𝑛=∫𝑙 【4.1】在区间𝜋𝜋)上展开𝑓(𝑥)=𝑥cos2解：因为𝑓(𝑥)为奇函数,从而𝑎𝑛=0,(𝑛=0,1,2, 𝑏𝑛=4∫2𝑥cos𝑥sin2𝑛𝑥𝑑𝑥=2∫2𝑥[sin(2𝑛+1)𝑥+sin(2𝑛𝜋 𝜋1)𝑥]𝑑𝑥=2[−𝑥cos(2𝑛+1)𝑥+sin(2𝑛+1)𝑥−𝑥cos(2𝑛−1)𝑥

2]|2= (4𝑛则𝑥cos𝑥=

(−1)𝑛𝑛sin2𝑛𝑥,𝑥∈(−𝜋, 𝑛=1 2 0≤𝑥≤【例4.2】将函数𝑓(𝑥)={ 1<𝑥<2展开成傅里叶级数3−𝑥 2≤𝑥≤3）是偶函数,从而𝑏𝑛=0,∫𝑎0=2∫3𝑓(𝑥)𝑑𝑥=2∫1𝑥𝑑𝑥+2∫2𝑑𝑥+23(3−𝑥)𝑑𝑥=∫3 3 3 3 𝑎𝑛 ∫𝑥3

𝑑𝑥+3∫ 1 1 ∫(3−𝑥)3

𝑑𝑥=−3+

(−1)𝑛 3则𝑓(𝑥)=2+

[−1+

cos𝑛𝜋]cos2𝑛𝜋𝑥,𝑥∈ 第四 n维向量及其线性相关 点 点一、n维向量及其线性运定义 数域F上的n个有次序的数a1,a2,,an所组成的有序数组(a1,a2,,anF上的n维向量n个数称为该向量的n个分量i个数ai称为第i个分量向量常用小写希腊字母,, (a1,a2 ,ana1

a2aa,a)T称之为列向量 an，3n3时，nn3n维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组Fn{数域FnRn实数域上的n维向量的全体. a1n A例如，一个mnA

2na1j

amn每一列a2jj1,2,n组成的向量组,,,称为矩A的列向量组

amj Aiai1ai2,ain)(i1,2,m12,m1为矩阵A的行向量组 1根据上述讨论，矩阵A记为A,,,)或A

2 n定义1.2 两个n维向量(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的各对应分量之和组成的向量，称为向量与的和,记为，即(a1b1,a2b2,,anbn(1.3n维向量a1a2an的各个分量都乘以实数k所组成的向量，称为数k，记为k(ka1,ka2,,kan)(1)(2)()(o()1k(l)k()k(kl)k二、n为数Fn维向量空间，记作FnRnn维实向量空定义 给定向量组A:1,2,,s，对于任何一组实数k1,k2,,ks,表达k11k22注k1k2,ks

k1k2ks称为这个线性组合的系数3.2A:1,2,,s,若存在一组数k1k2ksk11k22kss(1)能由向量组1,2,,s唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组1x12x2sxs有唯一解 能由向量组1,2,,s1x12x2sxs有无穷多个解不能由向量组1,21x12x2sxs无解

线性表示的充分必要条件是线性方程组定义4.1设有两向量组A:1,2,,s B:1,2,,t,如果向量组A ,,,中每一个向量(i12,,tB12, 那么向量组,,,1,2,, 由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组1,2,,t可以经12,s12,s可以经向量组,, 那么向量组1,2,,t可以经向量组1,2,,p线性表出.对称性：如果向量组1,2,,s12,t等价，那么向量组12,与1,2,,s3）传递性：如果向量组1,2,,s12,t等价，12,t1,2,,p等价，那么向量组1,2,,s与1,2,,p,312(20, 由题设条件,有31222 则1(23)3(3,1,2,5/2)T3(2,4,1,1)T(6,5,1/2,1)T 2 2设11,0,2,1),23,0,4,11,0,0,3).问是否可由1,2线性表示.k11k22，可求得k12k21212,是1,2例31,1,5是向量11,2,3),20,1,4),32,3,6用1,2,3 先假定112233,其中1,2,3为待定常数，(1,1,5)1(1,2,3)2(0,1,4)3(2,3,6)(1,21,31)(0,2,42)(1,21,31)(0,2,42)12321233

12314263 3 可以表示为1,2,31224任何一个n维向量aa,aT都是n 解：因为a11a22an 解：因为o01020s.例6向量组1,2,,s中的任一向量j(1js)都是此向量组的线性组合. j011j0s.定义 给定向量组A:1,2,,s,如果存在不全为零的数k1,k2,,ks,k11k22kss

组不全为零的常数”使得k11k22kss0,A:1,2,,s线性相5.1向量组12，23，34，41111所以12，23，34，41线性相关.线性无关的定义若向量组1,2 ,s不线性相关即没有不全为零的数k1,k2 ,ksP使k11k22 kss0则称1,2 ,s为线性无关的等价定义：一个向量组1,2, ,s，若k11k22kss0，只有k1k2 ks0时成立，则称1,2, ,s为线性无关的．等价定义：一个向量组1,2 ,s，对于任意一组不全为零的数k1,k2 ,ksP，k11k22kss0,等价定义：一个向量组1,2 ,s，存在一组常数k1,k2 ,ksP使k11k22 kss0，可求得k1k2 ks0，则称1,2 ,s为线性无关例

找不到一组不全为零的k1k2k1k20，所以向量组，线性或者，若存在一组常数k1k2使得k1k20，则可求得k1k20，所以，向量组，线性无关.5.3若向量组kk，则向量组，线性相关k,有k0，即存在k,1不全为零的数使得k0，所以向量组，线性相关5.4向量组11,0,,0)T,20,1,0,,0)T,,n0,0,,0,1)T注:给定向量A:1,2,,s,如果存在数k1k2ks,k11k22kss ①当且仅当k1k2ks0时，(11,2,,s 0的充分必要条件是0的充分必要条件是定理6.1 向量组1,2,,s(s2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余s1个向量线性表示.证明：必要 设向量组1,2 ,s线性相关，即存在不全为零的数k1,k2,,ks,kk

k

0，则有

-k2

k3

ks1 2 s

3k3k 不妨设1可由2,3,,s线性表示，即1l22l33lss,于是有1l22l33lss0,成立.因为1,l2,l3,ls不全为零，故向量1,2 ,s线性相关定理6.1’向量组1,2,,s(s2)线性无关的充分必要条件是向量组中任一向量不能由其余s1个向量线性表示.6.1n11,0,,0)T,20,1,0,,0)T

(证：设一组常数k1k2,kn,使k11k22knn0,k1k2kn06.2如果向量组1,2,,m中有一部向量线性相关，则整个向量组1,2,,m线性相关.证：不妨设1,2,,j(jm线性相关，由线性相关的存在不全为零的数k1k2kj,使k11k22kjj从而有不全为零的数k1k2,kj使得k11k22kjj0j10m故，1,2,,m该题的逆否命题是：如果向量组1,2,,m则该向量组中一部向量组1,2,,j(jm线性无关结论：向量组1,2,,m1,2,,m线性相关.向量组1,2,,m整体线性无关，该向量组部分向量线性无关.a1j 定理 设列向量组 ,(j1,2,,r),则向量组,,,线性相关的充 2

nj AX a1r x1 A,,,

a2r

x2X2

anr

xr x11x22xrr a11 a12 a1r xa21xa22xa2r即1 2 r

a 0n1 n2 nr 向量组1,2,,r线性相关，就必有不全x1x2, AX0有非零解 AX0有非零解，也就是有不全为零的x1x2,xr使（3.2）成立，则向量组1,2,,r线性相关该定理的等价命题：向量组1,2 线性无关的充要条件是齐次线性方程AX0只有零n1n维向量都是线性相关的定理6.3若向量组1,2,,r线性无关,1,2,,r可由1,2,,r线性表示，且表示法唯一证：因,1,2,,r线性相关，则存在不全为零的数kk1k2,krkk11k22krr0,其中k0（如果k0，则由1,2线性无关，又使得k,k1,k2,,kr,必须全为零，这与k,k1,k2,,kr,不全为

k2

kr于是可由

在证表示法唯一，设有两种表示l11l22lrrh11h22hrr于是(l1h1)1l2h2)2lrhr)r因为向量组1,2,,r线性无关，所以必有lihi0,即lihi,i1,2,可由1,2,,r线性表示，且表示法唯一推论6.4Fnn1,2,,nFn中的任意向量可由1,2,,n线行表示，且表示法唯一6.13

1

22

4 不难验证21230,因此1,2,333

,0,

e2, 10 1 1,2,使1e12e20,也就是120, 2 2于是1

20,这同1,2不全为零的假定 的.因此e1,e2是线性无关的二个6.3n

1(1,0,,0)T,2(0,1,0)T,,n称为n n维单位坐标向量组构成的矩E(,

0 ) 01

1是n阶单位矩阵.齐次线性方程组EX0E10,EX0只有零解 例 已知a11,a2 a34,试讨论向量组a1,a2,a3及a1,a2的线性相关性157 157 由定理6.2A(a1,a2,a3) 求齐次线性方程组AX0的解，由高斯消元法，对矩阵A(a1,a2,a3)施行初等行变换成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵A102rr

0

2 2

r1(1,2,3,)124 22202157r3r105 00 AX0有非零故向量组1,2,3,同样，B(1,2)有BX 只有零解，故向量组a1,a2线性无关6.5证明：若向量组,线性无关,则向量组, 设有一组数k1,k2,k3,k1()k2)k3)0 成立，整理得(k1k3k1k2k2k30由,k1k3k1k2 kk

110

020故方程组（2）仅有零解.即只有k1k2k30时（1）1因而向量组,,例 设向量组a1,a2,a3线性相关,向量组a2,a3,a4线性无关,证a1a2a3线性表示a4不能由a1a2a3线性表示 线性无关，故2,3线性无关，而1,2,3线性相关，从而1能由（2）用反证法.假设4能由1,2,3线性表示，而由（1）知1能由2,3线性表示，因此4能由2,3表示，这与2,3, 方法1将向量 排成矩阵(列向量组时) (行向量组时 并求的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵中找非零的阶子式 个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.方法2将列(或行)向量组 排成矩阵如(*)式并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或 )，则(或 是(或 列)的第1个非零元素所在的列(或行).方法3当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为再取一个与的对应分量不成比例的向量作为又取一个不能由量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等.例1求向量组 的秩与一个极大无关组.解法；又中位于故无关组

例2求向量 解 时 ，故向量组的秩为3， 是一个极大无 时 ，故向量组的秩为3， 是一个极大无关组 ，此时向量组的秩为2， 是一个极 例3设向量 的秩为.又 的秩解法1由 的秩为法2 即可逆从而 例4设向量组(Ⅰ)： 的秩分别为和，而 的秩为.证明： 证若和中至少有一个为零，显然 ，结论成立.若和都不为零， 八、线性方程组的解的结齐次线性方程组的矩阵形式为 x1 Xx2 A其

)mn

xnX1X2是齐次线性方程组(1)X1X2也是它的解.证：因为X1,X2是齐次线性方程组(1)的两个解，因此有：AX10,AX2A(X1X2AX1AX200X1X2也是齐次线性方程组(1)的解如果X0是齐次线性方程组(1) CX0也是它的解.（C是常数）证：已知X0是齐次线性方程组(1)的解，所以有AX00从 A(CX0)C(AX0)C0即CX0也是齐次线性方程组(1)的解.如果X1X2,Xs(1)C1X1C2X2CsXs也是它的解.其中C1C2,Cs都是任意常数定义1：如果1,2,,s是齐次线性方程组(1)的解向量组的一个极大线性无关组，则称1,2,,s是齐次线性方程组(1)的一个基础解系.1：如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵A的秩rA)rn，则齐次线性方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中恰恰含有nr个解.2x14x25x33x43x6x4x2x44x8x217x311x4例1：求齐次线性方程组

3

3

A 2 1 344解

11

11 5 0 因为rA)24，所以齐次线性方程组有无穷多解.x2x4x12x2x3x4组与方程组

0同解x2 对自由未知量分别取x4= ，代入上式得到齐次线性方程组的一个基础解系为 271 0 5 7 1XC11 （C1,C2为任意常数x1x22x3x42xxxx 例2：求齐次线性方程组

0A 1 1 1

3

2

4

4rA34，所以齐次线性方程组有无穷多解.x4 x1x3x3xx 方程组

x3x 4 3,3,3取自由未知量4=1，代入上式得齐次线性方程组的一个基础解系为 2x1x2x3x44x12x22x3x4例3：求齐次线性方程组

x4

1 A 1 0解

因为rA24，所以齐次线性方程组有无穷多解.x2x32x1x2x3x4组与方程组 x4 x, 对自由未知量为 3分别取和，代入上式得到方程组的一个基础解系为 1

2

如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解.证：由已知得A A所以有A(AA0b即是非齐次线性方Axb的解如果1,2是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则12是其导出组AX=0的解.证：由A1b, A2b得：A(12)A1A2bb0即12是其导出组AX=0的解0C11C22其中0是非齐次线性方程组的一个特解，1,2,,nr是导出组的一个基础解系2x1x2x3x44x12x22x3x4例4：求非齐次线性方程组

x4

A 2

1

0解

2x1x2x3x4原方程组与方程组 x4 1200x2 0x0 0取自由未知量3 ，代入上式得非齐次方程组的一个特解为 2x1x2x3x4再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组,1,x, 0

x4 对自由未知量为 3分别取1 1 2 2

，代入上式得到其导出组的一个基础解系为： 1 01 ,2 0 1 0 0XC11C22 （C1,C2为任意常数x13x23x32x4x5 x

3x43x2xxx 例5：求非齐次线性方程组3x19x24x35x4x55

3

3A 2 解 5 3 0 00 0rA)r(A)25x13x23x32x4x5x,x,

x

5，原方程组与方程组0

x,x, 0

0

5

5

取自由未知量 5为，得原方程组的一个特解 x13x23x32x4x5再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组

2x5 x,x,

00对自由未知量 5分别取 ，代入上式得到其导出组的一个基础解00 7 1 1

5

500 1,2 5 500

01为 2x3yzx2y4z3x8y2z 4 A 5 433解

13

13

14

0 02 0

20 0 14 0 0r(A)r(A23z为自由未知量得特解： X0k6：已知1,2,3是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，证明1,121,12,123都是AX＝01,12,123线性无关即可设存在数k1k2k3k11k2(12)k3(123)(k1k2k3)1(k2k3)2k33 已知1,2,3是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，即得1,2,3线性无关，则由k1k2k3 k2k3 k 得

k3所以1,12,123线性无关.即1,12,123＝0的一个基础解系a ,Bbij7A＝ij是齐次方程组AX=0的解

按列分块 是矩阵B的第i列向 BB1,B2,,按列分块 是矩阵B的第i列向 零矩阵也按列分块OmsO1O2,OsABAB1AB2ABs必要性：AB＝0ABiOi (i1,2,s)，即Bi是齐次方程组AX=0的解ABiOi (i1,2,,ABAB1AB2,ABsO1O2,Os，即证例8：设1,2,3AX＝bA的秩为 1, 4T ，求AX＝b的通解由线性方程组解的性质得：23212131是AX＝02.则解得AX＝0的一个非零解为： .

5.由此可得AX＝b的通解为：

4T 判断1,2 ,s是Ax0的基础解系的条件1,2 ,s线性无1,2 ③snr(A每个解向量中自由变量的个数要点总结,零向量与任何同维实向量正交③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（接长，即增加每个向⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关⑥向量组1,2,,n中任一向量i(1in都是此向量组的线性组合⑦向量组1,2,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表向量组1,2,,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n1个向量线性⑧m维列向量组1,2,,n线性相关r(A)nm维列向量组1,2,,n线性无关r(A)n⑨r(A)0A1,2,,n线性无关，而1,2,,n线性相关,可由1,2,,n线性表示,⑪矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.⑫向量组等 1,2,,n和1,2,,n可以相互线性表示 记作矩阵等价A经过有限次初等变换化为B 记作：A⑬AB等价rAr(BAB作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一等价矩阵

A与

作为向量组等价

r(1,2,n,r)1(2,n⑭12,s可由向量组1,2,,n线性表示r(1,2,n,1,2,,s)r(1,2,,n)r(1,2,,s)≤r(1,2,,n)⑮12,s可由向量组1,2,,n线性表示,sn12,s线性相向量12,s线性无关,且可由1,2,,n线性表示,则sn⑯12,s可由向量组1,2,,n线性表示,且r(12,sr(1,2,,n),则两向量组等价⑰任一向量组和它的极大无关组等价⑱⑲若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等⑳A是mn矩阵,则rA)minmn,rA)mA若rA)nA的列向量线性无关,1,2,,n线性无关基本

第五 线性空间和欧式空1）；2）(；在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素； V中每一个元素V中的元素，使得0（称为的5）16）k(l)(kl)

1(kl)kl；数的分配k(kk.元的分配𝐹𝑛，𝑅𝑛，𝐶𝑛F,R,C构成数域F上一个线性空间，记为𝐹𝑛×𝑛数的乘法，构成一个实线性空间，记为C[a,b].∣∈F，I,n∈𝑁∗}{𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2+…+𝑘𝑚𝛼𝑚∣（1）𝛼1，𝛼2,…,𝛼𝑚线性无（2）∀α∈V，α可由𝛼1，𝛼2,…,𝛼𝑚线性α=𝛼2记为（𝑥1𝑥2𝑥𝑚）九．NAx=0的基础解系就是他的解空间的基，基础解系所含的向量个数n-r(A)就是解空间的维数.十．设𝛼1，𝛼2,…,𝛼𝑛和𝛽1，𝛽2,…,𝛽𝑛nV2𝛽2,…,𝛽𝑛]=[𝛼1，𝛼2,…,𝛼𝑛]A,则称矩阵 为基𝛼1，𝛼2,…,𝛼𝑛到𝛽2,…,𝛽𝑛的过渡矩（Ⅰ）𝛼1,…,𝛼𝑛（Ⅱ）1，2,…,𝑛且由基(Ⅰ)到基（Ⅱ）的过渡矩阵为A，设V中的向量α在基（Ⅰ）的坐标为

,…,

y=（𝑦,

,…,

y=𝑨−𝟏x，

𝑛）,在基（Ⅱ）的坐标 𝑛）,则的向量，设α=𝑥1𝛼1+𝑥2𝛼2+…+𝑥𝑛𝛼𝑛，β=𝑥1𝛽1+𝑥2𝛽2+…+𝑥𝑛𝛽𝑛,则:（1）𝑥𝑖=<α,α𝑖>;(2)<α,∣α∣=√(𝑥1−𝑦1)2+(𝑥2−𝑦2)2+⋯+(𝑥𝑛−十四.设𝛼1𝛼2𝛼3是n为欧式空间V的一个基，若在令𝛽1α1β=α-<α2,β1>β,……,β

-<α𝑛,β1>β-<α𝑛,β2>

−⋯−<α𝑛,β𝑛−1>

,则𝛽

𝛽2,…,𝛽𝑛就是空间V的一个正交基；若再令𝑒𝑖𝛽𝑖,就得到了V的标准正交基𝑒1,𝑒2,…,十五.正交矩阵：若A满足𝑨𝑻A=A𝑨𝑻=I,则A十六.A为正交矩阵⟺A的列（行）𝑥1,（1<P[][][]【例1】在𝐹2×2中，求A=[ 𝟎]在基𝐴1= 𝟏，𝐴2= 𝟏，𝐴3= 𝟎[][][][𝐴 [

解：𝟐𝟎x=(𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑𝒙𝟒)𝑻A=𝒙𝟏𝐴1+𝒙𝟐𝐴2+

]=−𝒙𝟏+ 𝒙𝟏+ ∴𝒙𝟏=−𝟏，𝒙𝟐=𝟏，𝒙𝟑=−𝟏，𝒙𝟒=x=(−𝟏,𝟏,−𝟏,【例2】设多项式𝑓1=𝑥2+x,𝑓2=𝑥2-x,𝑓3=x+1,证明𝑓1，𝑓2，𝑓3是𝐹[𝑥]2的一个 由于 1]可逆，故𝑓1，𝑓2，𝑓3可作为是𝐹[𝑥]2的一个基 （Ⅰ（Ⅱ）解：若α属于𝑉1𝑉2，则α=𝒙𝟏𝛼1+𝒙𝟐𝛼2𝒙𝟑𝛽1-∴𝒙𝟏𝛼1+𝒙𝟐𝛼2−𝒙𝟑𝛽1- 即

−3𝑥3]=0,解得ξ=（1,4,3− 故

[𝑥 而𝑉1∩𝑉2中元素可表示为𝒙𝟏𝛼1+𝒙𝟐𝛼2=𝒌𝛼1+−𝟒𝐤𝛼2=k(5,2,3,若β∈𝑉1𝑉2，则β=𝜃1+𝜃2，𝜃1∈𝑉1，𝜃2∴𝑉1+𝑉2=span{𝛼1,𝛼2,𝛽1,计算得𝛼1𝛼2𝛽1为𝑉1𝑉2的一个基，dim(𝑉1【例4】𝑅2×2中所有二阶实对称矩阵所组成的集合构成一个子空间W[𝐴1=[ −2𝐴2 1],𝐴3=[ [ 112233[[]解：𝑘𝐴+𝑘𝐴+𝑘𝐴=𝑘1+2𝑘2+ −2𝑘1+𝑘2−𝑘3]= 112233[[]−2𝑘1+𝑘2− 𝑘1+3𝑘2− 𝑘1+2𝑘2+4𝑘3=∴{−2𝑘1+𝑘2−𝑘3=−2𝑘1+𝑘2−𝑘3= −𝟏]→𝟕]→ 第六章特征值与特征向量一、基本知识点1、特征值与特征向设A=(𝑎𝑖𝑗)𝑛∗𝑛是一个n阶矩阵，如果有一个复数λ及一个nx=（𝑥,𝑥,… 𝑛）则称λAxA的对应于（或属于）特征条件，得det(λI-A)=0.2、特征方程，特征多项式与特征子空n次多项式f(λ)=det(λI-A)为A的特征多项式；若λ为A的特征值，则称齐次 3、几何重数与代数重 齐次线性方程组(λI-A)x=0λ 4、性质anA=(𝑎𝑖𝑗)𝑛∗𝑛的全部特征值为𝜆1，𝜆2…𝜆𝑛（1）𝜆1𝜆2…𝜆𝑛=（2）𝜆1+𝜆2+…+𝜆𝑛=𝑎11+…+c、设λ为矩阵A的一个特征值，则m，𝜆𝑚为矩阵𝐴𝑚对任何多项式𝑓(𝑥)=𝑎𝑚𝑥𝑚+𝑎𝑚−1𝑥𝑚−1+…+𝑎1𝑥+𝑎0,𝑓(λ)𝑓(𝐴)=𝑎𝑚𝐴𝑚+𝑎𝑚−1𝐴𝑚−1+…+𝑎1𝐴+𝑎0𝐼征值，det(A)/λ为A的伴随矩阵𝐴∗的一个特征值，对应的特征向量相同；量，则𝑥1𝑥2𝑥𝑚设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，则λ也是AT【方法】求n阶矩阵A特征值和特征向量的一det(λI-A)=0𝜆1，𝜆2𝜆𝑚，则𝜆1，𝜆2𝜆𝑚AiA𝜆i，求出齐次线性方程组的基础解系𝜉𝑖1，𝜉𝑖2𝜉𝑖𝑘A的属于特征值𝜆i的全部特征向量为𝒙=c1𝜉𝑖1+c2𝜉𝑖2+⋯+cki𝜉𝑖𝑘，其中c1,c2,...,ck是不全为零的任意常数.i5、相似矩阵ABnnP，使得𝑃−1AP=B，AB，A～BAB=𝑃−1AP为一个相似变换（𝑃−1相当于做行变换，p相当于做列变换）AA化，简称为A可对角化.对称性：若A～B，B～A；6、矩阵可对角化的条（1：n（2：A互不相同（即A得特征值都是单特征值）.判断𝐀𝐧∗𝐧矩阵是否可以对角化的一般步骤若有m（＜n）个特征向量，则判断k重特征值是否对应k个线性无关的对n阶矩阵A，求其对角矩阵D和可逆矩阵P使得𝑷−𝟏AP=D的一般步骤当A可对角化时，求出对应于每个特征值的线性无关特征向量，从而得到An个标准正交特征向量𝝃𝟏，𝝃𝟐，…,𝝃𝒏𝝃𝒊是对应于特征值𝜆i的特征向量，然后，以𝝃𝟏，𝝃𝟐𝝃𝒏P=[𝝃𝟏𝝃𝟐…𝝃𝒏],7、实对称矩阵——必可对角化的一类应的特征向量，则𝑥1和𝑥2正交设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得𝑃−1AP=PTAP=diag（𝜆1，𝜆2…𝜆𝑚）对实对称矩阵𝐀𝐧∗𝐧，求一个正交矩阵P，使得𝑷−𝟏AP=𝐏𝐓AP成为对角矩阵的A𝜆1，𝜆2A的n𝑒1,𝑒2,...,𝑒n:𝑃1PT1【例1】.求矩阵的特征值与特征向量1=2=-22E-x1- 量空间的维数特征根的重数.)对于特征值3=4，方程 (4E-x3=2A3=4xk33(k3a1 a2

1;(2)

3;(3)

a, 0) 4

6

n解 (1)

A

12

4

(2)(A的特征值为12,23②当12时,解方程A2E)x0 A2E) 2~ 0P11 所以k1P1k10)是对应于12的全部特征向量．当23时,解方程A3E)x0,由

1(A3E)

~

得基础解系P 2 1

1所以k2P2k20)是对应于331 2③[P,P]PTP 2 2 1 1

1

AE

1 6

(1)(A的特征值为10,21,39②当10Ax0 A 3~ 1P1

6 0

1 故k1P1k10)是对应于10当21时,解方程AE)x0 AE 3~ 1P21

7

0

0 故k2P2k20)是对应于21的全部特征值向量；当39时，解方程A9E)x0，由231123~1 P32

1A9E 2 0

1故k3P3k30)是对应于39

[P,P]PTP(1,1,1)1 0 0 12[P,P]PTP(1,1,0)102 2

112[P,P]PT

2 1 a2 a 1a a2 a

AE 2 2 a a2n =nn1(a2a2a2 n1(a2a2a2 a2a2a

a2, na2AEn

nin

a2a2

a2a2a

a2 a a a2a2a n n a1

n1初等行 a2 0 0

an100xn为自由未知量xnan，设x1a1x2a2xn1an1a1aP2 an当23n0a

a aa 1 1nA0E

a a2an a na初等行变换

a2

0a2 an a1

P ,P ,,P 1

00 00

a 1a11

anP,P,,

a1

0 2与 0相似，求x,y0 1 0解A与A与AE

1

x

1

5 0

y0

04xy54AB都是nA0ABBA证

0则A可逆A1(AB)A(A1A)(BA) 则ABBA

0,311

2 P12 2

P1A2 解根据特征向量的性质知(P1P2P3 (PPP1A(PP

)

3

1 A(P1P2P3

(P1,P2,P3

A

3

022 022 3 x3 x1x2x3解A

xA161

xx

x2x4x5 6 故利用①可推出

x3

~11 x4 x4 x

则存在实的ab使得(1,1,1)ax2x43,x5成立(1,1,1)b(x,x,x

由①②解得x2x31,x1x4x64,x51．得A 1141 141 0 022(1)1;(2)2542

5

AE 0

1

2(1)(4)(故得特征值为12,21,3 0x1 x1 1 当12时，由 2x20解得

13 2

3 3 2 2 0x1 x1 2 当21时,由 2x20解得x2k21

x 3 3 单位特征向量可取:

133 3 0x1 x1 2 当34时,由 2x2 解得x2k32 4x x 1 323

3 单位特征向量可取:P3213 1 2 得正交阵(P1,P2,P3)P3 2， AP 1

4 2 2(2)A

5 4(1)2( 5故得特征值为121,3

2x1 2 2 12 时，x1

解得 4x 3 xx2k1x

k2 3 21 4 5P1 1P21 514550 0 0 1 P52P4 31 2x1 x1 当310时,由 4x20解得x2k3 x 2 3 3

11 2:得正交阵(PP

55)

132 3

32 2 P1AP 0 0

011

23 381)A

，求AA105A9

3

(2)A22

2,求A)11

6A5A 3解：(1)A 3 1

2P1AP

2 22 2APP1AkPkP

因此AA105A9P10P15P9P 0 0

510

510

1 1 01 22 1 22(2)(1)66 6666

121121131 P

使得 AP

0,A2610 2610 3 3 (A)A106A95A8A8(A26A5E)A8(AE)(A 2 P8P1 2 22 2

0

4 4 第七章二次曲面与二次型第一 曲面与空间曲𝐹=(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥=𝑥(u,

{𝑦=𝑦(u,z=z(u,

(u,v)∈【例】写出以点Ρ0(𝑥0𝑦0𝑧0)为球心，以𝑅为半径的球面Σ的方程解：1.标准方程：(𝑥𝑥0)2+(𝑦𝑦0)2+(z𝑥=𝑥0+𝑅sin𝜃cos2.参数方程：{𝑦𝑦0𝑅sin𝜃sin𝜑(0𝜃≤𝜋,0𝜑𝑧=z0+𝑅cos曲线