一元二次方程复习

学习目标复习一元二次方程及其有关概念。会解一元二次方程。会利用根与系数的关系解题。自学指导细致思索课本第52页“小结”内容，留意：1.弄清本章“学问结构图”。2.回答“回顾与思索”中的1~3个问题。自学过程中如有不懂的地方，可查看课本相关章节活小声请教同桌。5分钟后，比谁能做对检测题。一元二次方程根的判别式两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判别式的状况根的状况定理与逆定理两个不相等实根

两个相等实根

无实根(无解)一、例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）解：（1）=

判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号状况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的状况例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；解：△=(1).当△>0，方程有两个不相等的实根,8k+9>0,即

(2).当△=0，方程有两个相等的实根,8k+9=0,即

(3).当△<0，方程有没有实数根,8k+9<0,即

2、依据方程的根的状况确定方程的待定系数的取值范围说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的状况确定△的状况。从而求出待定系数的取值范围K＜例3、已知m为非负整数，且关于x的方程：有两个实数根，求m的值。

解：∵方程有两个实数根∴解得：∵m为非负数∴m=0或m=1说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要留意二次项系数不能为0，还要留意题目中待定字母的取值范围.例4、求证：关于x的方程：有两个不相等的实根。证明：所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。无论m取任何实数都有：即：△>03、证明方程根的状况说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，假如不能干脆推断△状况，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，依据完全平方的非负性，推断△的状况，从而证明出方程根的状况二、一元二次方程根与系数的关系以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

设x1、x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表

x1·

x2

x1+x2一元二次方程56解：设方程的另一个根为x1，那么例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程

两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1x2，那么例3

已知方程x2-5x-2=0，作一个新方程，使它的根分别是已知方程各根平方的倒数解：设x1、x2为方程x2-5x-2=0的两根，则x1+x2=5x1x2=-2设所求方程两根为y1、y2则：例6.已知方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值．解：设x1、x2为方程的两根∵方程有两个实数根，解得m≤0．依题意，得

∵m≤0，

∴m＝－1．(x12+x22)-x1x2=21例7.试确定m的值，使关于x的方程8x2－(2m2＋m－6)x＋2m－1＝0的两根互为相反数．解：设此方程的两个根为x1、x2,要使方程的两个根互为相反数,必需满足条件:Δx1＋x2＝0,x1x2≤0．0,得2m2＋m－6＝0∴当m＝－2时，原方程的两根互为相反数．三、二次三项式的因式分解中的因式千万不能忽视。2.在分解二次三项式的因式时，可先用求根公式求出方程的两个根x1,x2然后,写成a例题讲解例1把分解因式此步的目的是去掉括号内的分母例2本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数归纳一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）补充规律：两根均为负的条件：X1+X2

且X1X2。

两根均为正的条件：X1+X2

且X1X2。

两根一正一负的条件：X1+X2且X1X2。当然，以上还必需满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0二、一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数，一般实行干脆设法，有的要间接设；（3）找寻数量关系，列出方程，要留意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；（4）选择合适的方法解方程；（5）检验。因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，确定要进行检验．（6）写出答语。三、常见实际问题运用举例：（一）变更率的题目方法提示：增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为＿＿＿，二次增长后的值为＿＿＿＿．

降低率问题：若基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为＿＿＿＿＿＿＿，二次降低后的值为＿＿＿＿＿＿＿．巩固练习1、政府近几年下大力气降低药品价格,希望使广袤人民群众看得起病吃得起药,某种针剂的单价由100元经过两次降价,降至64元,设平均每次下降的百分率为x，则可列方程（）.2、某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%,该商厦赶快改进经营措施,销售额起先稳步上升,五月份销售额达到了135.2万元,设四、五月份的平均增长率为x，则可列方程（）.拓展提高：某超市1月份的营业额为200万元，第一季度营业额为1000万元，若平均每月增长率相同，求该增长率。（二）几何问题方法提示：1)主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系；假如图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;2)与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程。巩固练习：如图，一块长方形铁板，长是宽的2倍，假如在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm，求铁板的长和宽。设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=

___

X1X2=____，X12+X22=

；(X1-X2)2

=

；

基础练习例题回顾：例1：假如是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.例2：已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0满足：两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.《根与系数的关系》练习一、填空：1、已知方程的两根是,则

，=

。2、已知方程的一个根是1，则另一个根是

，k的值是

..3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______;若两根互为倒数，则q=_____．

4、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是–1、3，则b=

，c=

.二、选择1、若方程中有一个根为零，另一个根非零，则的值为()ABCD

2、两根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+2x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0