期权定价培训课件

第九章期权定价2023/1/309.1期权价格的特性

一、期权价格的构成期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。

１，内在价值内在价值是指期权持有者立即行使该期权合约所赋予的权利时所能获得的总收益。看涨期权的内在价值为max{S-X,0}看跌期权的内在价值为max{X-S,0}2023/1/30

按照有无内在价值，期权可呈现三种状态：实值期权、虚值期权和平价期权。把Ｓ>Ｘ（S<X）时的看涨(跌)期权称为实值期权；把Ｓ＝Ｘ的看涨（跌）期权称为平价期权；把S<X（Ｓ>Ｘ）时的看涨(跌)期权称为虚值期权；2023/1/302，期权的时间价值

期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。X时间价值图9.1看涨期权时间价值与|S-X|的关系Ｓ到期日时间价值5432102023/1/303,期权价格与内在价值和时间价值间的关系

期权合约的价值是由期权价格决定的，即由内在价值和时间价值所决定。三者之间的关系如图9-2所示。2023/1/30ATM期权费变动曲线OTMITMXIVTVTVTV0标的资产市价S期权费图9.2看涨期权的期权费、内在价值、时间价值的关系2023/1/30二、期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格对于看涨期权而言，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。对于看跌期权而言，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。2023/1/30

（二）期权的有效期

对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。

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但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（MarginalTimeValue）为正值。

我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。

2023/1/30（三）标的资产价格的波动率

标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。

在定价时，波动性只能通过人们对未来的价格波动程度的估计求得，主要有两种方法：历史波动法和隐含波动法。2023/1/30（四）无风险险利率从比较静态的的角度看。无无风险利率越越高，看跌期期权的价值越越低；而看涨涨期权的价值值则越高。从动态的角度度看，当无风风险利率提高高时，看涨期期权价格下降降，而看跌期期权的价格却却上升。2023/1/6（五）标的资资产的收益由于标的资产产分红付息等等将减少标的的资产的价格格，而协议价价格并未进行行相应调整，，因此在期权权有效期内标标的资产产生生收益将使看看涨期权价格格下降，而使使看跌期权价价格上升。2023/1/6期权价格的影影响因素

变量欧式看涨欧式看跌美式看涨美式看跌标的资产的市价＋－＋－期权协议价格－＋－＋期权的有效期？？＋＋波动率＋＋＋＋无风险利率？？？？标的资产的收益－＋－＋注：＋：互补补关系：－：：抵消关系；；？：关系不不明确。2023/1/6我们们首首先先将将本本章章后后面面所所用用到到的的符符号号及及其其含含义义开开列列如如下下：：X：期期权权的的执执行行价价格格；；T：期期权权的的到到期期时时刻刻；；t：现现在在的的时时刻刻；；S：标标的的资资产产在在t时的的市市场场价价格格；；ST：标标的的资资产产在在T时的的市市场场价价格格；；C：美美式式看看涨涨期期权权的的价价格格；；c：欧欧式式看看涨涨期期权权的的价价格格；；P：美美式式看看跌跌期期权权的的价价格格；；p：欧欧式式看看跌跌期期权权的的价价格格；；r：t到T期间间的的市市场场无无风风险险利利率率（（连连续续复复利利））；；三、、期期权权价价格格的的上上下下限限:标的的股股票票价价格格的的波波动动率率，，一一般般用用标标的的股股票票连连续续复复利利收收益益率率的的年年标标准准差差表表示示。。2023/1/6（一）期期权价格格的上限限1,看涨期权权价格的的上限对于美式式和欧式式看涨期期权来说说，标的的资产价价格就是是看涨期期权价格格的上限限：其中，c代表欧式式看涨期期权价格格，C代表美式式看涨期期权价格格，S代表标的的资产价价格。（下同））（9.1）2023/1/62,看跌期权权价格的的上限美式看跌跌期权价价格（P）的上限为为X：其中，r代表T时刻到期期的无风风险利率率，t代表现在在时刻。。（9.2）欧式看跌跌期权的的上限为为：（9.3）2023/1/6（二））期权权价格格的下下限1,欧式看看涨期期权价价格的的下限限（1））无收收益资资产欧欧式看看涨期期权价格格的下下限我们考考虑如如下两两个组组合：：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的的资产2023/1/6由于期权的的价值一定定为正，因因此无收益益资产欧式式看涨期权权价格下限限为：在T时刻，组合合A的价值为：：

由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:

或组合B的价值为ST。（9.4）2023/1/6例题考虑一个不不付红利股股票的欧式式看涨期权权，此时股股票价格为为20元，执行价价格为18元，期权价价格为3元，距离到到期日还有有1年，无风险险年利率10%。问此时市市场存在套套利机会吗吗？如果存存在，该如如何套利？？（2）有收收益资产欧欧式看涨期期权价格的的下限（9.5）

我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：2023/1/62,欧式看跌跌期权价价格的下下限（1）无无收益资资产欧式式看跌期期权价格格的下限限考虑以下下两种组组合：组合C：一份欧式式看跌期期权加上上一单位位标的资资产在T时刻，组组合C的价值为为：max（（ST，X），，组合D的价值为为X。组合D：金额为的现金

2023/1/6由于组合C的价值在T时刻大于等于于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于于等于组合D，即：由于期权价值值一定为正，，因此无收益益资产欧式看看跌期权价格格下限为：（9.6）2023/1/6（2））有收收益资资产欧欧式看看跌期期权价价格的的下限限（9.7）

我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：

2023/1/6四、提提前执执行美美式期期权的的合理理性（一））提前前执行行无收收益资资产美美式期期权的的合理理性1,看涨期期权由于现现金会会产生生收益益，而而提前前执行行看涨涨期权权得到到的标标的资资产无无收益益，再再加上上美式式期权权的时时间价价值总总是为为正的的，因因此我我们可可以直直观地地判断断提前前执行行无收收益资资产的的美式式看涨涨期权权是不不明智智的。。因此，，C=c（9.8）2023/1/6根据据（（9.4），，我我们们可可以以得得到到无无收收益益资资产产美美式式看看涨涨期期权权价价格格的的下下限限：：（9.9）2023/1/6是否否提提前前执执行行无无收收益益资资产产的的美美式式看看跌跌期期权权，，主主要要取取决决于于期期权权的的实实值值额额（（X-S））、、无风风险险利利率率水水平平等等因因素素。。一一般般来来说说，，只只有有当当S相对对于于X来说说较较低低，，或或者者r较高高时时，，提提前前执执行行无无收收益益资资产产美美式式看看跌跌期期权权才才可可能能是是有有利利的的。。美式式看跌跌期权权的下限限为：：2,看跌跌期期权权2023/1/6（二）提提前执行行有收益益资产美美式期权权的合理理性1,看涨期权权由于提前前执行有收收益资产产的美式式期权可可较早获获得标的的资产，，从而获获得现金金收益，，而现金金收益可可以派生生利息，，因此在在一定条条件下，，提前执执行有收收益资产产的美式式看涨期期权有可可能是合合理的。。由于存在在提前执执行更有有利的可可能性，，有收益益资产的的美式看看涨期权权价值大大于等于于欧式看看涨期权权，其下下限为：：2023/1/62,看跌期权由于提前执行行有收益资产产的美式看跌期权意味着自自己放弃收益益权，因此收收益使美式看看跌期权提前前执行的可能能性变小，但但还不能排除除提前执行的的可能性。由于美式看跌跌期权有提前前执行的可能能性，因此其其下限为：2023/1/6所谓看涨期期权与看跌跌期权之间间的平价关关系是指看看涨期权的的价格与看看跌期权的的价格，必必须维持在在无套利机机会的均衡衡水平的价价格关系上上。如果这这一关系被被打破，则则在这两种种价格之间间，就存在在无风险的的套利机会会，而套利利者的套利利行为又必必将这种不不正常的价价格关系拉拉回到正常常水平。下下面我们仍仍然用无套套利均衡分分析法来推推导这一关关系。五、看涨期期权与看跌跌期权之间间的平价关关系2023/1/6（一一））欧欧式式看看涨涨期期权权与与看看跌跌期期权权之之间间的的平平价价关关系系1，，无无收收益益资资产产的的欧欧式式期期权权考虑虑如如下下两两个个组组合合：：组合合B：：一份份有有效效期期和和协协议议价价格格与与看看涨涨期期权权相相同同的的欧欧式式看看跌跌期期权权加加上上一一单单位位标标的的资资产产组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金2023/1/6在期权到期时时，两个组合合的价值均为为max(ST,X)。由于欧式期权权不能提前执执行，因此两两组合在时刻刻t必须具有相等等的价值，即即：这就是无收益益资产欧式看看涨期权与看看跌期权之间间的平价关系系（Parity）。如果式（9.10）不成立，则则存在无风险险套利机会。。套利活动将将最终促使式式（9.10）成立。（9.10）2023/1/6套利机会市场情况：某投资者刚刚刚获得如下下股票欧式期期权的报价，，股票市场价价格为31美美元，3个月月期无风险年年利率为10％，看涨期期权和看跌期期权的执行价价格都是30美元，3个个月后到期。。3个月期欧欧式看涨期权权和欧式看跌跌期权的价格格分别为3美美元和2.25美元。策略：1，购买看涨涨期权；2，，出售看跌期期权；3，卖卖空一股股票票。2023/1/6结果：：这个策策略给给出的的初始始现金金流为为：31.00－3.00＋＋2.25＝30.25美元元。将将这笔笔资金金按无无风险险利率率投资资3个个月，，3个个月末末本息息和为为30.25e0.1*0.25=31.02美元。。在3个月月末，，有如如下两两种可可能：：1，如如果股股票价价格大大于30美美元，，该投投资者者执行行看涨涨期权权。即即按照照30美元元价格格购买买一份份股票票，将将空头头平仓仓，则则可获获利＝＝31.02－－30＝1.02美美元。。2，如果股股票价价格小小于30美美元，，该投投资者者的对对手执执行看看跌期期权。。即按按照30美美元价价格购购买一一份股股票，，将空空头平平仓，，则可可获利利＝31.02－30＝＝1.02美元元。2023/1/6练习：若同样的的市场条条件，但但3个月月期欧式式看涨期期权和欧欧式看跌跌期权的的价格分分别为3美元和和1美元元。问是是否有套套利的机机会？若若有，如如何构筑筑套利策策略？并并分析套套利结果果。2023/1/62.有收收益资产产欧式期期权（9.11）

在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：2023/1/6（二）美式式看涨期权权和看跌期期权之间的的关系1.无收益益资产情形形2.有收益益资产情形形2023/1/69.2期权的定价价原理一，Black-Scholes期权定价公公式（一）Black-Scholes模型的假设设条件(1)期权的标的的资产是股股票，其现现行价格为为S。这种资产可可以被自由由买卖；(2)期权是欧式式看涨期权权，在期权权有效期内内其标的资资产不存在在现金股利利的支付。。其协定价价格为X，期权期限为为T（以年表示））；2023/1/6(3)市场场不不存存在在交交易易成成本本和和税税收收，，所所有有证证券券均均完完全全可可以以分分割割；；(4)市场场不不存存在在无无风风险险的的套套利利机机会会；；(5)市场场提提供供了了连连续续交交易易的的机机会会;(6)存在在着着一一个个固固定定的的、、无无风风险险的的利利率率，，投投资资者者可可以以以以此此利利率率无无限限制制地地借借入入或或贷贷出出；；(7)期权权的的标标的的股股票票的的价价格格遵遵循循几几何何布布朗朗运运动动，，呈呈对对数数正正态态分分布布。。2023/1/6这就是著名的的Black-Scholes微分分程，它它适用于其价价格取决于标标的证券价格格S的所有衍生证证券的定价。。2023/1/6（二）Black-Scholes欧式看涨期权权定价公式2023/1/6由欧式看看涨期权权与看跌跌期权的的平价关关系，我我们很容容易推算算出具有有相同标标的资产产、相同同到期日日和相同同执行价价格的欧欧式看跌跌期权的的价格。。2023/1/6例9.1

考虑一种期权，有效期为6个月，股票价格为42美元，期权的执行价格为40美元，无风险年利率为10％，波动率为每年20％。即S=42，X＝40，2023/1/6并且因此，若该期期权为欧式看看涨期权，它它的价格为：：又因为N（0.7693）＝0.7791，N（0.6278）=0.7349所以c=4.762023/1/6二、波动率的的确定方法例9.2假设一只股票票当前的价格格为30元，，6个月期国国债的年利率率为3％，一一投资者购买买一份执行价价格为35元元的6个月后后到期的看涨涨期权，假设设在6个月内内股票不派发发红利。问问题：他要要支付多少期期权费？由题设知：S=30，X＝35，但还需要知道一个无法直接得到的变量：波动率2023/1/6解题步骤：：（1）波动率的计算方法一：从股票的历史交易数据中计算波动率。假设在过去去n周里的第t周股票收盘盘价为St，第t-1周的收盘价价为St－1，则第t周的股票复复利收益率率为那么，周收收益率的标标准差可用用下面的公公式计算其中：表示这n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的标准差作为周波动率的估计值。由历史的股价数据，设计算得到此股票的周波动率为0.045。2023/1/6我们们取取n＝＝50周，，即即1年年的的交交易易周周数数，，可可得得年年波波动动率率或：方法法二二：：把把实实际际的的市市场场期期权权价价格格代代入入B－－S公式式而而计计算算出出的的波波动动率率即即隐隐含含波波动动率率。。交交易易员员通通常常从从交交易易活活跃跃的的期期权权中中计计算算隐隐含含波波动动率率，，然然后后利利用用计计算算出出的的隐隐含含波波动动率率来来估估算算基基于于同同样样股股票票的的不不太太活活跃跃的的期期权权的的价价格格。。更更常常见见的的是是，，可可以以同同时时得得到到基基于于同同样样股股票票的的几几种种不不同同期期权权的的几几个个隐隐含含波波动动率率，，然然后后对对这这些些隐隐含含波波动动率率进进行行恰恰当当的的加加权权平平均均就就可可以以计计算算出出该该股股票票的的综综合合隐隐含含波波动动率率。。2023/1/6投资资者者可可以以通通过过对对比比当当前前市市场场的的波波动动率率与与期期权权的的隐隐含含波波动动率率的的大大小小来来进进行行期期权权交交易易。。如如果果认认为为实实际际的的市市场场波波动动率率高高于于隐隐含含波波动动率率，，那那么么当当前前的的期期权权价价格格被被低低估估了了，，可可以以买买进进期期权权。。反反之之可可以以卖卖出出期期权权。。（2））计计算算N（（d1）和N(d2)先计计算算：：2023/1/6然后查正正态分布布累积概概率表，，得到和（3）计计算期权权价格C2023/1/6三、B-S公式的基基本推广广（一）有有收益资资产欧式式期权的的定价公公式（9.6）式是针针对无收收益资产产欧式期期权的，，对于标标的资产产在期权权到期日日之前产产生收益益的情况况，我们们下面分分两种情情况给予予简单分分析。2023/1/61，标的的资产产产生生已知知收益益的情情况假设标的资产将在时刻产生已知现值为I的收益，且。这时，标的资产的价值可分解为两个部分：发生在时刻的已知收益的现值部分和产生收益后到T时刻时标的资产的价值的现值部分。其中后一部分是有风险的，记为于是我们可以直接利用（9.6）式来定价了，只要用来代替S即可，

2023/1/62，标的资资产产产生已已知收收益率率的情情况我们假定在任何时间段dt，标的资产都产生收益qSdt，这等价于在每一刻都将剩余股票价值的比例为qdt的部分分走。以连续复利计算，意味着在期权到期日，还剩下原来资产价值的。所以，在现在时刻t，标的资产的价值由两部分组成：比例为的部分作为收益在到期日T之前发放，剩下比例为的部分是一单位标的资产在到期日T的价值的现值。2023/1/6我们可用来代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2023/1/6（二）期货货看涨期权权的定价公公式如果标的资资产为各种种期货合约约的话，上上述期权定定价公式必必须做相应应修正，因因为现货期期权与期货货期权有着着不同的交交易规则。。为此，我们们设F为期货价格格，表示示期货价格格的波动率率，其他符符号与上述述相同，则则只要期货货价格和标标的资产价价格一样遵遵循几何布布朗运动的的话，就有有2023/1/6（三）美美式期权权价格的的近似解解假定标的的资产在在时刻t1有收益，，这里t＜t1＜T。美式看看涨期权权的多头头要么在在临近时时刻t1执行期权权，要么么在到期期日时刻刻T执行期权权。因此此，这个个美式看看涨期权权的价值值可以近近似地看看作两个个欧式看看涨期权权中较大大的那一一个。这这两个欧欧式看涨涨期权是是1）时刻t1到期的欧欧式看涨涨期权，，标的资资产无收收益；2）时刻T到期的欧欧式看涨涨期权，，标的资资产在时时刻t1产生现值值为I的收益2023/1/69.3期权定价价的数值值方法——二叉树定定价法在很多情情形中，，我们无无法得到到期权价价格的解解析解，，这时，，人们经经常采用用数值方方法为期期权定价价，其中中包括二二叉树方方法、蒙蒙特卡罗罗模拟和和有限差差分方法法。蒙特特卡罗方方法的实实质是模模拟标的的资产价价格在风风险中性性世界中中的随机机运动，，预测期期权的平平均回报报，并由由此得到到期权价价格的一一个概率率解。有有限差分分方法将将标的变变量满足足的偏微微分方程程转化成成差分方方程来求求解，具具体的方方法包括括隐性有有限差分分法、显显性有限限差分法法等。2023/1/6一、单步步二叉树树定价法法（一）一一个简单单案例例9.3假设某只只股票当当前的市市场价格格为20元。投资资者预期期3个月后股股价有可可能是22元，也有有可能是是18元。再假假设该股股票不分分红利且且无风险险利率为为10%。投资者者打算对对3个月后以以21元执行价价格买入入股票的的欧式看看涨期权权进行估估值。我们知道道，若到到期时股股票价格格为22元，期权权的价值值为1元；若股股票价格格为18元，期权权的价值值将是0。如图9.3所示2023/1/6图9.3股票价格与期期权价格变动动示意图182022C10在无套利假设设下，二叉树树期权定价法法的基本思路路是：首先，，以某种方式式构造一个只只包含股票和和期权的无风风险证券组合合；其次，根根据到期日的的股票和期权权价格得出组组合的价值；；再次，利用用无风险组合合的收益率只只能是无风险险收益率，得得出构造该组组合的初始成成本，于是得得出该期权的的价格。2023/1/6我们们首首先先假假设设无无风风险险证证券券组组合合里里包包含含一一个个股股股股票票多多头头头头寸寸和和一一单单位位看看涨涨期期权权的的空空头头头头寸寸。。根据据假假设设，，3个月月后后市市场场只只会会出出现现两两种种可可能能结结果果：：股股票票价价格格要要么么上上升升到到22元要要么么下下降降到到18元。。如如果果股股票票价价格格上上升升到到22元，，期期权权的的价价值值为为1元，，则则组组合合的的总总价价值值为为；；如如果果股股票票价价格格下下降降到到18元，，期期权权的的价价值值为为0，则则组组合合的的总总价价值值为为。。因因为为组组合合为为无无风风险险证证券券组组合合，，到到期期日日的的价价值值是是确确定定的的。。这这意意味味着着即2023/1/6因此此，，0.25股股股票票多多头头和和一一单单位位看看涨涨期期权权空空头头就就组组成成一一个个无无风风险险的的证证券券组组合合。。在在期期权权到到期期日日，，组组合合的的价价值值总总是是=4.5元。。根根据据无无套套利利均均衡衡原原理理，，由于于当当前前的的股股价价已已知知为为20元，，假假设设期期权权的的价价格格为为，，则则该该组组合合当当前前的的价价值值为为2023/1/6（二二））一一般般结结论论设看看涨涨期期权权的的标标的的资资产产的的现现行行价价格格为为S，，在期期权权到到期期日日，，标标的的资资产产的的价价格格要要么么上上涨涨至至现现价价的的u倍，，要要么么下下跌跌至至现现价价的的d倍。。这这里里u>1、、d<1，，如图图9.4所示示。。

再设当前欧式看涨期权的价值为C、执行价格为X，在标的资产价格的上述两种变化下，其价值分别为、。如图9.5所示。2023/1/6SuSdS图9.4标的资产价格变动

C图9.5

单期看涨期权的价值变动

显然2023/1/6为确定唯一一的未知量量C，我们构造如如下的一个个投资组合合：（a）以价格C卖出一份看看涨期权；；（b）买入h份标的资产产。其中h为套期保值值比率，其其大小是要要保证该投投资组合成成为一个无无风险的投投资组合。。也就是说说，不管市市场如何变变化，该投投资组合在在到期日是是的价值是是确定的。。建立组合的初始成本是购买股票的成本hS减去卖出期权收到的期权费Ｃ，即。而标的资产价格上涨时，该投资组合的最终价值为；当价格下跌时，该投资组合的最终价值为。2023/1/6因为该投资资组合为无无风险投资资组合。从从而有：即（（9.12）如果期权的有效期限里的无风险利率为r，则以该组合的当前价值进行无风险投资到期权到期日的收益应和该投资组合的最终价值相等，即有

2023/1/6从而再将h代入，得（（9.13）其中（（9.14）在市场无套利机会存在的前提下，一定有d<1+r<u，从而。另外，还可以看出，只与标的资产价格的上涨或下跌幅度有关，而与某一时刻标的资产价格的大小无关。

2023/1/6例9.4接着例9.3（如图9.3所示），，已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd=0。由（9.14）式，我我们得出出由（9.13）式，我我们得出出2023/1/6（三）风险险中性概率率如果我们将将（9.14）式中的p解释为标的的资产价格格上升的概概率，于是是1-p就是标的资资产价格下下降的概率率，则标的的资产在T时刻的预期期值由下式式给出再将（9.14）式中的p代入上式，，化简得2023/1/6（9.14）式式的的p就是是的的风风险险中中性性概概率率，，而而（（9.13）式式可可以以表表述述为为：：在在风风险险中中性性世世界界里里，，期期权权的的价价值值就就是是其其未未来来预预期期值值按按无无风风险险利利率率贴贴现现的的值值。。根根据据风风险险中中性性假假设设，，风风险险中中性性世世界界里里的的无无套套利利均均衡衡价价格格也也是是真真实实世世界界里里的的均均衡衡价价格格。。因因而而，，上上述述的的二二叉叉树树定定价价法法就就等等价价于于风风险险中中性性定定价价法法。。在二二叉叉树树定定价价中中也也没没有有用用到到标标的的资资产产价价格格上上升升和和下下降降的的概概率率。。当当然然，，这这并并不不意意味味期期权权定定价价与与标标的的资资产产价价格格上上升升和和下下降降的的概概率率无无关关，，事事实实上上，，标标的的资资产产价价格格未未来来上上升升和和下下降降的的概概率率已已经经包包含含在在标标的的资资产产价价格格中中了了。。2023/1/6我们可以以把一年年分成4个3个月、或或者12个1个月，或或者365天……每一个时时点上都都对应一一个单步步二叉树树，然后后做和单单步二叉叉树定价价法相同同的工作作：建立立不同的的无风险险资产组组合或利利用风险险中性定定价法求求不同状状态下期期权的收收益，再再从最终终的结点点一步一一步逆推推，最后后计算出出初始状状态下期期权的价价格。二、多步步二叉树树定价法法2023/1/6我们先将将二叉树树从单步步推广到到两步，，然后再再推广到到多步情情形。设标的资资产的现现价为S，每一期间间均可能能上涨至至原来的的u倍，或下下跌至原原来的d倍。这样样，在期期权的有有效期限限内，看看涨期限限的价值值及其变变动如图图9.6所示：（一）两两步二叉叉树定价价法2023/1/6SuSdSu2SudSd2S图9.6两步二叉树中的标的资产价格与期权价格变动

C2023/1/6由图很很容易易得到到：我们将将期权权到期期时标标的资资产价价格的的三种种可能能价位位与看看涨期期权的的三种种可能能价值值对应应起来来，由由前面面同样样的方方法，，可以以求出出：2023/1/6在求出出Cu和Cd之后，，我们们可用用相同同的方方法求求出C，即（9.15）这就是是两步步二叉叉树定定价公公式。。例9.5假设一一只不不分红红股票票，其其当前前的市市场价价格为为20元，在在二叉叉树中中的任任一步步之间间，股股价要要么上上涨10%要么下下跌10%。我们们假设设二叉叉树中中每一一步的的时间间长度度为3个月，，市场场的无无风险险利率率为10%。现在在我们们对执执行价价格为为21元的欧欧式看看涨期期权估估值。。2023/1/6图9.7标的股票价价格与期权权价格变动动示意图20221824.219.816.2C3.20.00.02023/1/6由题题设设知知，，u=1.1，d=0.9，r=0.1，由（（9.14）式式，，我我们们得得出出将上上述述所所有有参参数数代代入入（（9.15）式式，，可可得得执执行行价价格格为为21元的的欧欧式式看看涨涨期期权权的的价价值值为为2023/1/6按同同样样的的方方法法，，我我们们可可以以把把两两期期的的二二叉叉树树模模型型扩扩展展到到多多期期的的情情况况。。随随着着期期数数的的增增加加，，股股价价变变化化的的可可能能范范围围越越来来越越大大，，越越来来越越接接近近于于实实际际情情况况，，所所以以二二叉叉树树模模型型的的准准确确性性也也越越来来越越高高。。若若将将期期权权的的到到期期期期限限分分割割成成n个小小期期间间，，则则结结果果为为（二二））多多步步二二叉叉树树定定价价法法（9.16）2023/1/6根据据中中心心极极限限定定理理，，当当n趋向向于于无无穷穷大大时时，，二二项项式式分分布布将将逼逼近近正正态态分分布布。。因因此此，，只只要要u、、d及p选择择得得当当，，则则二二项项式式（（二二叉叉树树））定定价价模模型型与与Black-Scholes定价价模模型型的的结结果果就就趋趋向向于于一一致致了了。。，且k、n-k分别为n个期间标的资产价格上涨、下跌的次数，其他符号同上。这就是完整的二叉树定价公式。式中，

2023/1/6二叉树定价法法的优点在于于比较直观，，而且它具有有很大的灵活活性，不管标标的资产价格格服从何种分分布，它都能能适用。在实际应用二二叉树定价法法时，还有两两个需要注意意的问题：首先，时间步步的选择。一一般将时间区区间分成30步就可以得到到较为理想的的结果。其次，参数的的确定。一般般采用的u、d及p值使得二叉树树模型近似于于实际中价格格的对数正态态分布。三、二叉树定定价法在实际际中的运用2023/1/6如果我我们定定义为为单步步时间间长度度，为为标标的资资产价价格的的波动动率，，通过过简单单计算算可以以得到到（9.17）（9.18）（9.19）2023/1/6例9.6假设设一一只只不不分分红红股股票票，，其其当当前前的的市市场场价价格格为为20元，，波波动动率率为为每每年年40%，市市场场的的无无风风险险利利率率为为10%。该该股股票票2个月月期期的的欧欧式式看看涨涨期期权权的的执执行行价价格格均均为为21元，，求求其其价价值值。。为了了构构造造二二叉叉树树，，我我们们把把期期权权有有效效期期分分为为两两段段，，每每段段一一个个月月（（等等于于0.0833年））。。根根据据（（9.17）～～（（9.19）式式，，可可以以算算出出2023/1/6据此此可可以以画画出出该该股股票票和和看看涨涨期期权权在在期期权权有有效效期期内内的的二二叉叉树树图图，，如如图图9.8所示示2022.2517.8224.9715.88C3.970.00.0图9.8标的的股股票票价价格格与与看看涨涨期期权权价价格格变变动动示示意意图图2023/1/6此时时，，，，则则由由（（5.15）式式，，可可得得欧欧式式看看跌跌期期权权的的价价值值为为2023/1/6如果其他他条件不不变，但但该期权权为看跌跌期权，，我们也也可以画画出看跌跌期权在在期权有有效期内内的二叉叉树图，，如图9.9所示C0.001.005.12图9.9看跌期权权价格变变动示意意图2023/1/6此时，，，，则则由（（9.15）式，可得得欧式看跌跌期权的价价值为本题只用到到两步二叉叉树定价法法，不论看看涨期权还还是看跌期期权的计算算价格与实实际值都有有一定的误误差。如果果把期权的的有效期限限分成更多多的时间区区间，步数数就会增多多，计算会会更复杂，，但得出的的期权价值值会更精确确。2023/1/6谢谢1月月-2301:28:5201:2801:281月月-231月月-2301:2801:2801:28:521月-231月-2301:28:522023/1/61:28:529、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。01: