一波函数沿x方向传播的平面波波动方程为18-7波函数薛定谔方程

一.波函数沿x方向传播的平面波波动方程为§18-7波函数薛定谔方程上式为下面复数形式的实数部分为区分一般的波，奥地利物理学家薛定谔提出用物质波波函数描述微观粒子的运动状态

对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数为自由粒子在三维空间运动时有

二.波函数的物理意义

*

----的共轭复数与光波类比，波函数的强度为由玻恩的概率波概念，粒子出现在体积元dV内的概率为

----概率密度

在整个空间总能找到粒子，应有----波函数的归一化条件三.波函数的标准条件单值:某时刻粒子出现在某点的概率唯一有限:粒子出现的概率应有限连续:不应出现突变(可导)

说明：经典波描写实在物理量在空间中的传播过程概率波不代表实在物理量的传播过程，波函数本身没有干脆的物理意义

四.薛定谔方程1.一般薛定谔方程自由粒子：设自由粒子沿x方向运动波函数

----一维运动自由粒子的含时薛定谔方程

在势场U(x,t)中：粒子的总能量为即又----势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间----拉普拉斯算符

----一般的薛定谔方程引入能量算符----哈密顿算符则有

说明：薛定谔方程是量子力学中，态随时间变更的方程，其正确性是由方程的解与试验结果相符而得到证明1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖只要找到体系的经典能量公式，则可写出薛定谔方程并求解，可得概率密度2

2.定态方程定态：势能函数与时间无关，即令两边同除以得两边等于同一常数时上式才能成立(1)(2)(1)的解为E具有能量量纲(2)为----定态薛定谔方程粒子波函数为即讨论：定态时，概率密度不随时间变化定态时，解得的某些能量确定值E称为本征值，相应的波函数称为本征函数

五.求解波函数的方法及解决的几个问题1.求波函数的步骤：由体系的势能写出薛定谔方程解方程得一般解依据标准条件和归一化条件确定有关常数项

2.求粒子出现概率极大、微小的位置求概率密度函数

推断令

，解出

x=xm

3.求粒子在某区域内出现的概率计算求概率密度函数

[例7]一质量为m的粒子在自由空间绕确定点作圆周运动，圆半径为r。求粒子的波函数并确定其可能的能量值和角动量值。解：定态薛定谔方程粒子在xy平面内作圆周运动r、θ(=π/2)均为常数又或解为其中是的单值、有限、连续函数或即由归一化条件于是定态波函数为粒子的波函数为——能量量子化由能量动量关系——角动量量子化设粒子作一维运动，势能函数为§18-8一维无限深势阱阱外须有阱内令其通解为C和为待定常数依据波函数的连续、单值的条件有由归一化条件可得波函数为----能量量子化n：粒子能量量子数探讨：n0：因为n=0则n0，无意义n=1：----基态能

，能量间隙不均匀，并随n的增大而增大

除端点(x=0,x=a)外，阱内n=0称为节点。基态无节点，第一激发态有一个节点，第n

激发态有(n-1)个节点[例8]设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：粒子在0xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的状况算出概率值。在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？解：已知粒子出现在0xa/4区间中的几率为时时处最大时有

一.一维势垒隧道效应粒子在x方向运动，势能分布为§18-9一维势垒谐振子经典物理的观点：时：粒子可越过势垒到达3区时：粒子被势垒反弹回去量子力学：薛定谔方程为2区1区3区

令则正向传播

可得：时：k2为虚数

可得：时：k2为实数负向传播因3区无反射波，故C’=0由标准条件可求得其它5个系数2区：透射波+反射波3区：透射波1区：入射波+反射波即

在粒子总能量低于势垒壁高时，粒子有确定的概率穿过势垒----隧道效应贯穿势垒的概率(贯穿系数)为:势垒加宽(a增大)或增高(U0增大)，则T减小蒲松龄:《聊斋志异》崂上道士穿墙而过！

二.谐振子一维谐振子的势能为其中薛定谔方程为

可解得最小能量(零点能)为(1/2)h讨论：线性谐振子的能量是量子化的能级均匀分布，能隙为h或诺贝尔奖颁奖现场癌细胞表面图像硅表面图像扫描隧道显微镜(STM)

一.氢原子的薛定谔方程氢原子中，电子的势能函数为§18-10氢原子的量子力学处理方法薛定谔方程为：

转换到球极坐标系中得极坐标形式为：设可得：(1)(2)(3)

二.量子化条件和量子数1.能量量子化和主量子数与玻尔所得结果完全一样----主量子数由(3)可得氢原子能量为

2.角动量量子化和角量子数对确定的n值,l有n个可能取值由(1)(2)可得电子绕核运动的角动量量子化条件----角量子数

3.角动量空间量子化和磁量子数对确定的l值，ml有(2l+1)个可能取值由(1)(2)可得ml应满足----磁量子数ml确定电子绕核运动角动量在空间的取向Lz，有

一.施特恩-格拉赫试验§18-11电子的自旋1921年施特恩和格拉赫为验证电子角动量空间量子化而进行的试验无磁场有磁场原子源

试验发觉：不加磁场时底板上呈现一条正对狭缝的原子沉积；加磁场时底板上呈现上下两条原子沉积冲突：角量子数为l时，角动量在空间的取向有(2l+1)种可能

二.电子的自旋为说明上述试验结果，1925年乌伦贝克和古兹密特提出电子自旋假说:电子除轨道运动外，还存在自旋运动。电子自旋角动量S在空间任一方向上的投影Sz只能取两个值----自旋磁量子数----与电子轨道角动量相像由量子力学可得，自旋角动量为----自旋量子数s只能取一个值即

三.四个量子数原子中电子的状态由四个量子数确定主量子数n（n=1,2,）大体上确定电子的能量角量子数l（l=0,1,2,,n-1）确定电子的轨道角动量的大小磁量子数ml（ml=0,1,2,,l）确定电子轨道角动量在外磁场中的取向。自旋磁量子数ms（ms=1/2）确定电子自旋角动量在外磁场中的取向

对多电子原子，其内部电子的分布由下面两条原理确定：§18-12原子的壳层结构泡利不相容原理：在一个原子中不能有两个或两个以上的电子处在完全相同的量子态，即不能具有相同的四个量子数能量最小原理：原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级

依据泡利不相容原理，原子中具有相同主量子数n的电子数最多为1916年柯塞耳提出原子壳层结构：n相同的电子组成一个壳层，对应n=1,2,3,的壳层分别用K,L,M,N,O,P,来表示

l相同的电子组成支壳层，对应l=0,1,2,的支壳层分别用s,p,d,f,g,h,