双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第=page1515页，共=sectionpages1515页3.2.2双曲线的简单几何性质(2)一、单选题1.已知斜率为1的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若，则直线l的方程为

(

)A. B. C. D.2.已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.3.设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为

A.3 B. C. D.54.已知，是双曲线C：的两个焦点，，离心率为，是双曲线C上的一点，若，则的取值范围是(

)A. B. C. D.5.若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(

)A. B. C. D.6.已知双曲线方程为，过的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有(

)A.4条 B.3条 C.2条 D.1条7.已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N都在以为圆心的圆上，则m的取值范围是(

)A. B.

C. D.二、多选题8.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，若，则双曲线C的离心率可能为(

)A. B. C. D.9.已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，O为坐标原点．点P为双曲线上任意一点异于实轴端点，过点作的平分线的垂线，垂足为Q，连接则下列结论正确的有.(

)A. B.

C. D.三、填空题10.若直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，则m的值为__________.11.直线与双曲线相交于不同的两点若点分别在双曲线的左、右两支上，则实数k的取值范围为__________；若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则实数k的值为__________.12.已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，若，则满足条件的l的条数为__________.13.已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则__________.四、解答题14.设A，B分别为双曲线的左，右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为求双曲线的方程；已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标.15.如图，平面上，P、Q两地间距离为4，O为PO中点，M处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得，且O、M间距离为，现一机器人N正在运行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大、O、M、N及电波直线均共面，请建立适当的平面直角坐标系.求出机器人N运行的轨迹方程；为了使机器人N免受M处发射的电波的影响即机器人接触不到过点M的直线，求出电波所在直线斜率k的取值范围.16.已知双曲线E：的两条渐近线方程为，且点为E上一点．求E的标准方程；设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：面积为定值．17.已知双曲线的离心率为2，过点且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点.且求双曲线C的标准方程.设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析1.【答案】B

解：设直线l的方程为，，

由得，

则，，

又因为，且A、B是直线l与双曲线右支的交点，

所以，且，

即，且，

解得，且，

所以，

所以直线l的方程为

故选

2.【答案】B

解：由题意，圆心到直线的距离，，

圆的一条切线与双曲线没有公共点，

与其中一条渐近线斜率比较即可，

，，

双曲线C的离心率的取值范围是

故答案选：

3.【答案】D

解：由已知得

设，

由，得，

所以，

代入，解得

所以，

故选

4.【答案】A

解：由题意，，，，

双曲线方程为

，

，

，

，

，

故选：

5.【答案】B

解：双曲线的渐近线方程为，

由双曲线与直线有交点，

则有，

即有，

则双曲线的离心率的取值范围为

故选：

6.【答案】B

解：由题意可得：双曲线的渐近线方程为：，

点是双曲线的右顶点，故直线与双曲线只有一个公共点；

过点平行于渐近线时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条，

所以，过的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条.

故选

7.【答案】A

解：设，，

由，

则①，

且，，

设MN的中点为，则，，

，N在以A为圆心的圆上，，

为MN的中点，

，

，②，

由①②得或，

故选8.【答案】BC

解：由题意得直线l垂直于渐近线，则，

由双曲线性质得，，

由，得或

当时，如图：

在中，，

由双曲线渐近线性质得，，

因此有

，化简得，

故离心率；

当时，如图：

在中，，在中，，

因为，利用二倍角公式，得，

化简得，故离心率

综上所述，离心率e的值为或

故选

9.【答案】ABD

解：如图所示：

A选项，延长交于点C，

因为PQ为的平分线，，

故Q为的中点，，

又因为，即O为的中点，

故OQ为的中位线，

所以，，

又因为P、、C共线，

故，故A正确；

B选项，由定义可知，

因为，而，

故，而，

故，故B正确；

C选项，若，

则，

则，题中无说明，故不成立，故C错误；

D选项，因为，，

当轴时，，故D正确.

故选：

10.【答案】

解：设A，B两点的坐标分别为，，线段AB的中点为

由得，

则，

，

点在圆上，

，

故答案为

11.【答案】解：由直线与双曲线，得，因为A，

B在双曲线的左右两支上，所以，解得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设，，则，即，，即，，整理得，符合条件，

故答案为；

12.【答案】3

解：，，，则，若A、B都在右支上，当AB垂直于x轴时，将代入得，则，满足，若A、B分别在两支上，，两顶点的距离为，满足的直线有2条，且关于x轴对称，综上满足条件的l的条数为故答案为：13.【答案】4

解：离心率为，即，，

，，可得MN的方程为，

设，，，

可得，

由表示原点O与P的距离的平方，

显然OP垂直于MN时，最小，

由OP：，即，联立直线，

可得，即，

当P与N重合时，可得最大，

可得，

即有

故答案为：

14.【答案】解：双曲线的渐近方程为，焦点为，

焦点到渐近线的距离为，

又，

，

双曲线的方程为

设点，

由得：

，

，

，，

有，

又点在双曲线上，

，

解得，点D在双曲线的右支上，

，

，此时点

15.【答案】解：如图所示，以点O为坐标原点，以PQ所在的直线为x轴建立直角坐标系，

则，设点，则，所以动点N是以点为焦点的双曲线的右支，由题得，所以，所以动点N的轨迹方程为由题得点M的坐标为，设直线的方程为，即：，联立直线和，

消去y得当时，若，此时直线就是双曲线的渐近线，符合题意；

当，此时直线与双曲线右支一定有交点，不符合题意；当时，由得，所以，所以综合得所以电波所在直线斜率k的取值范围

16.【答案】解：当时，E的标准方程为，代入，解得

故E的标准方程为

直线斜率显然存在，设直线方程为，与联立得：

由题意，且，化简得：

设，

将与联立，解得；与联立，解得

由，，故面积为定值

17.【答案】解：设双曲线C的焦距为2c，由