2023届高考数学专项练习导数解密36专题m专题13 导数中对数单身狗指数找基友的应用含答案_第1页
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2023届高考数学专项练习导数解密36专题．解析(1)f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>0时，若x>a，则f′(x)>0，函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增；若0<x<a，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，a)上单调递减．(2)由(1)知，当a>0时，f(x)min＝f(a)＝lna＋1．要证f(x)≥eq\f(2a－1,a)，只需证lna＋1≥eq\f(2a－1,a)，即证lna＋eq\f(1,a)－1≥0．令函数g(a)＝lna＋eq\f(1,a)－1，则g′(a)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a2)＝eq\f(a－1,a2)(a>0)，当0<a<1时，g′(a)<0，当a>1时，g′(a)>0，所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g(1)＝0．所以lna＋eq\f(1,a)－1≥0恒成立，所以f(x)≥eq\f(2a－1,a)．2．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝x－1．(1)求F(x)＝g(x)－f(x)的单调区间和最值；(2)证明：对大于1的任意自然数n，都有eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)＜lnn．2．解析(1)由F(x)＝x－1－xlnx，x>0，则F′(x)＝－lnx，所以当x＞1时，F′(x)＝－lnx＜0，当0＜x＜1时，F′(x)＝－lnx＞0，所以当x＝1时，F(x)取最大值F(1)＝0.即当x≠1时，F(x)＜0，当x＝1时，F(x)＝0，所以F(x)在(0，1)上是单调增函数，在(1，＋∞)上是单调减函数，当x＝1时，F(x)取最大值F(1)＝0，无最小值．(2)由(1)可知，xlnx＞x－1对任意x＞0且x≠1恒成立．故1－eq\f(1,x)＜lnx，取x＝eq\f(n,n－1)(n＞1且n∈N)得，1－eq\f(n－1,n)＜lneq\f(n,n－1)⇒eq\f(1,n)＜lnn－ln(n－1)，所以eq\i\su(i＝2,n,)eq\f(1,i)＜eq\i\su(i＝2,n,[)lni－ln(i－1)]，即eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)＜lnn，综上，对大于1的任意自然数n

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