2022年四川省自贡市中考数学试卷

第17页（共17页）2022年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数是（A）A．30° B．40° C．60° D．150°2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人数180000用科学记数法表示为（C）A．1.8×104 B．18×104 C．1.8×105 D．1.8×1063．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是（A）A． B． C． D．4．（4分）下列运算正确的是（B）A．（﹣1）2＝﹣2 B．（+）（﹣）＝1 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣）0＝05．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（B）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（D）A． B． C． D．7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（C）A．90° B．100° C．110° D．120°【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是（D）A．平均数是14 B．中位数是14.5 C．方差是3 D．众数是149．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（B）A．30° B．40° C．50° D．60°10．（4分）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（A）A．5 B．5 C．8 D．9【解答】解：方法一：如图，∵PT与⊙O相切于点T，∴∠OTP＝90°，又∵OP＝10，∠OPT＝30°，∴OT＝OP＝×10＝5，∴PT＝＝＝5．故选：A．方法二：在Rt△OPT中，∵cosP＝，∴PT＝OP•cos30°＝10×＝5．故选：A．11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（C）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：当∠BAC＝90°时，菜园最大面积＝×4×4＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C．12．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（D）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；令y＝0，则ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根据顶点坐标公式，＝﹣2，∴＝﹣8，即＝8，∴CD2＝×8＝，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴＝42＝16，解得a＝，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2|＝2．14．（4分）分解因式：m2+m＝m（m+1）．15．（4分）化简：•+＝．16．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池．（填甲或乙）17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为26厘米．【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），设镜面半径为x厘米，由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴镜面半径为26厘米，故答案为：26．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为3．【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值为3．故答案为：3．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，∴在数轴上表示不等式组的解集为：20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACE＝120°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠D＝∠E．21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，由题意可得：﹣2＝，解得x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，答：张老师骑车的速度是15千米/小时．22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．解：（1）n＝＝100，∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），条形统计图补充如下：（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，∴所求概率＝＝．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，∴其函数解析式为y＝﹣；∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，∴﹣m＝﹣2，∴m＝2，∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，∴AD＝3，D（2，2），∵DC＝2DA，∴DC＝6，∵点C是直线l上一动点，∴C（2，8）或（2，﹣4）．24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝CD，EF＝AD；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案为：CD，AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴，∴＝，∴EG＝64，∴EF与BC之间的距离为64cm．25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，∴∠POC＝∠GON；（2）由题意可得，KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，∵tan∠POQ＝，∴tan60°＝，解得PQ＝5，∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），即树高PH为10.2米；（3）由题意可得，O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，由图可得，tanβ＝，tanα＝，∴O2D＝，O1D＝，∵O1O2＝O2D﹣O1D，∴m＝﹣，∴PD＝，∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．26．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4），当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；（2）如图，当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，∴x1＝0，x2＝﹣2，由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，∵一元二次方程ax2+bx+c