任意角的三角函数

数学辅导讲义年级：高一授课类型 任意角的三角函数教学内容初中锐角的三角函数是如何定义的?在Rt初中锐角的三角函数是如何定义的?在RtNABC中，设A对边为aB对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为sinA=角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。1.三角函数定义在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(羽y)，它与原点的距离为r(r=Jx|2+|y|2=个x2+y2>0),那么TOC\o"1-5"\h\zy . .y(1)比值乙叫做a的正弦，记作sina，即sina=一；r r\o"CurrentDocument"x x(2)比值一叫做a的余弦，记作cosa，即cosa=—；r r\o"CurrentDocument"y y(3)比值二叫做a的正切，记作tana，即tana=二；x xx x(4)比值一叫做a的余切，记作cota，即cota=一；y yr r(5)比值一叫做a的正割，记作seca，即seca=—；x xr r\o"CurrentDocument"(6)比值一叫做a的余割，记作csca，即csca=-.y y说明：①a的始边与x轴的非负半轴重合，a的终边没有表明a一定是正角或负角，以及a的大小，只表明与a的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角a，六个比值不以点P(x,y)在a的终边上的位置的改变而改变大小；兀 y r③当a=-+k兀(keZ)时，a的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tana=2与seca=—2 x xx r\o"CurrentDocument"无意乂；同理，当a=碗(keZ)时，coya=一与csca=一无意乂；y yy x y x r r,._④除以上两种情况外，对于确定的值a，比值口、一、->—、一、一分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、r r x y x y正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。.三角函数的定义域、值域函数定义域值域y=sinaR[-1,1]y=cosaR[-1,1]y=tana一 兀，，一{a|a中—+kK,keZ}R例1：已知角a的终边经过点P(2,-3),求sina、cosa、tana。3^例2：求下列各角的三个三角函数值：(1)0；(2)冗；(3)—.三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：y①正弦值上对于第一、二象限为正(y>0,r>0)，对于第三、四象限为负(y<0,r>0)；rx 一一 一一②余弦值一对于第一、四象限为正(x>0,r>0)，对于第二、三象限为负(x<0,r>0)；r…一，八y③正切值上对于第一、三象限为正(x,y同号)，对于第二、四象限为负(x,y异号).xsina，cosa,tana在各个象限的符号如下：4.同角三角函数基本关系式:(1)平方关系：sin2(1)平方关系：sin2a+cos2a=1一 sina（（2）商数关系：tana= 'cosa例3：确定下列三角函数值的符号： 兀例3：确定下列三角函数值的符号： 兀（1）cos250°；（2）sin（一）；（3）4tan(-672°)；(4)11九tan——3强化练习1.已知角1.已知角a的终边上一点P（-\；3,m）求cosa,sina的值。2.已知sin2.已知sina<0且tana>0，a（1）求角a的集合；（2）求角不终边所在的象限；（3）试判断tana,sinacosa的符号。

2 2 2"-2sin10ocos10o3.化简 .sin10o-V1-sin210o当角的终边上一点P(羽y)的坐标满足、:x2+w=1时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示一一三角函数线。.单位圆：圆心在圆点。，半径等于单位长的圆叫做单位圆。.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。.三角函数线的定义：设任意角a的顶点在原点0,始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y),过P作X轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角a的终边或其反向延长线交与点T. '(W)(III)(W)(III)xcosa=—r由四个图看出：当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段0M=x,MPxcosa=—r.yy*…

sina=—==y=MP,

r1ytana=一xytana=一xMP

0M——=AT.0A我们就分别称有向线段MP,0M,AT为正弦线、余弦线、正切线。说明：①三条有向线段的位置：正弦线为a的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向a的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与a的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。例1：利用单位圆写出符合下列条件的角X的范围。(3(3)0<x<兀,sinx>2且cosx<2；(5)sinx>■!■且tanx<-1.

2…’1sinx<-21(4)Icosxl<；21cosx>—；^2强化练习sina)位于第.象限...sina)位于第.象限.1.若一5<a<0,则点Q(cosa,22.已知角a的终边过点P1，；3I22则sina—cosa=—2cos30°)，则—2cos30°)，则则此三角形的形状是.若角a的终边过点P(2sin30.若^ABC中，cosA,cosB<0- 4.若sinA=＞且A是三角形的一个内角，则5.已知下列三角函数，其中函数值为负的有(①sin(-680°)②cos(-730°)③tan320°A.1个B.2个5sinA+815cosA—7)④sin(-130C.3个7.角9的终边有一点P(a,a)(aW0),则sin。的值是(),cos850°D.4个)C.+D.1-72a.TC.+D.1.函数y=\；sinX+v-cosx的定义域是(A.[kn+y,(2k+1)n](k£Z)B.兀[2kn+—,(2k+1)n](k£Z)兀C.[kn+—,(k+1)n](kGZ)D.[2kn,(2k+1)n](k£Z).已知a为第二象限角，其终边上一点为P（x,3），且cosa二不，则sina的值为（<2C.——4<2C.——4D.-乎IsinxIIcosxIItanxITOC\o"1-5"\h\z.y= + +属于( )D.{1,3})sinxcosxtanxD.{1,3})A.{1，-1} B.{-1，1，3} C.{-1，3}6 6 6.已知0为第三象限角，且|cos|=-cos，则角不属于(乙 乙 乙A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.已知$m&>$血8,那么下列命题成立的是（ ）A.若a、B是第一象限角，则cosa>cosBB.若a、B是第二象限角，则tana>tanBC.若a、B是第三象限角，则cosa>cosBD.若a、B是第四象限角，则tana>tanB13.已知角a的终边经过点（2,-3），求a的正弦、余弦、正切