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山东省济宁市奎星中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.函数上的最大值和最小值之和为,则的值为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A2.若,则(
)A
B
C、{x|0<x<1}
D参考答案:D3.以下函数中满足“对任意正实数,函数都有”的是(
).A.一次函数
B.指数函数
C.对数函数
D.正弦函数参考答案:C略4.函数f(x)=ax(x﹣2)2(a≠0)有极大值,则a等于()A.1 B. C.2 D.3参考答案:B【考点】函数在某点取得极值的条件.【分析】利用导数分a>0,a<0两种情况求得f(x)的极大值,使其等于,解此方程即可求得a值.【解答】解:f′(x)=a(x﹣2)(3x﹣2),(1)当a>0时,由f′(x)>0得x<或x>2;由f′(x)<0得<x<2,所以f(x)在(﹣∞,),(2,+∞)上单调递增,在(,2)上单调递减;此时,当x=时f(x)取得极大值f()=a(﹣2)2=,解得a=;(2)当a<0时,由f′(x)<0得x<或x>2;由f′(x)>0得<x<2,所以f(x)在(﹣∞,),(2,+∞)上单调递减,在(,2)上单调递增;此时,当x=2时f(x)取得极大值f(2)=2a(2﹣2)2=,无解;综上所述,所求a值为.故选B.5.抛物线x2=﹣8y的焦点坐标是()A.(0,2) B.(0,﹣2) C.(0,4) D.(0,﹣4)参考答案:B【考点】抛物线的简单性质.【分析】由x2=﹣2py(p>0)的焦点为(0,﹣),则抛物线x2=﹣8y的焦点坐标即可得到.【解答】解:由x2=﹣2py(p>0)的焦点为(0,﹣),则抛物线x2=﹣8y的焦点坐标是(0,﹣2).故选B.【点评】本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的焦点坐标,属于基础题.6.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查,得到以下数据:
作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据,计算得到K2的观测值k≈9.643,根据临界值表,以下说法正确的是()A.在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关参考答案:D【考点】BO:独立性检验的应用.【分析】根据所给的观测值,同临界值表中的临界值进行比较,根据P(k≈9.643>7.879)=0.005,可得结论.【解答】解:∵k≈9.643>7.879,P(k≈9.643>7.879)=0.005∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关.故选:D.7.已知为定义在上的可导函数,且对于恒成立(为自然对数的底),则()A.
B.C.
D.与大小不确定参考答案:C8.某班有学生60人,现将所有学生按1,2,3,…,60随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本(等距抽样),已知编号为2,32,47号学生在样本中,则样本中另一个学生的编号为(
)A.27
B.22
C.17
D.12参考答案:C9.下列不等式的解集是空集的是(
)A.x2-x+1>0
B.-2x2+x+1>0
C.2x-x2>5
D.x2+x>2参考答案:C略10.若圆与圆的公共弦长为,则的值为A.
B.
C.
D.无解参考答案:二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P是圆F1上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点,则点M的轨迹C的方程为
********
.
参考答案:12.将直线l1:nx+y-n=0、l2:x+ny-n=0(n∈N*,n≥2)与x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn,则Sn的最小值为________.参考答案:13.椭圆3x2+4y2=12的焦距为
.参考答案:2【考点】椭圆的简单性质.【专题】计算题.【分析】将椭圆3x2+4y2=12的方程标准化,即可求得答案.【解答】解:∵3x2+4y2=12,∴+=1,设半焦距为c,则c2=4﹣3=1,∴c=1,2c=2.故答案为:2.【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义,属于简单题.14.已知抛物线的焦点和双曲线的一个焦点重合,求抛物线的标准方程.
参考答案:略15.设函数的定义域为,如果对于任意的,存在唯一的,使(为常数)成立,则称函数在上的均值为。下列五个函数:①;②;③;④;
⑤,满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是
.参考答案:②③⑤16.个人参加某项资格考试,能否通过,有
种可能的结果?参考答案:解析:
每个人都有通过或不通过种可能,共计有17.点A(2,﹣1)到直线x﹣2y+1=0的距离是.参考答案:【考点】点到直线的距离公式.【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.【分析】利用点到直线的距离公式求解.【解答】解:点A(2,﹣1)到直线x﹣2y+1=0的距离:d==.故答案为:.【点评】本题考查点到直线的距离的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.参考答案:略19.如图所示中,,,,将三角形沿折起,使点在平面上的投影落在上.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.参考答案:(Ⅰ)证明:在等腰梯形中,可设,可求出,,在中,,∴,∵点在平面上的投影落在上,∴平面,∴,又,∴平面,而平面,∴平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,为中点,建立如图所示的空间坐标系,设,结合(Ⅰ)计算可得:,,,,,,设是平面的法向量,则,取.,设是平面的法向量,则,取.设二面角的平面角为,则.20.已知数列中,,对于任意的,有.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}满足,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)设,是否存在实数,使数列{cn}是递增数列,若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案:(1)取,,则.所以,即是公差为2,首项为2的等差数列.所以.
检验对任意成立
………………4分(2)因为①
所以.②①—②得:,所以.当时,,所以,满足上式.所以.
………………8分(3)由题意得:,假设存在,使,则.所以.所以.若为正偶数时,恒成立,则,所以.所以.若为正奇数时,恒成立,则,所以.所以.综上可知,存在实数.使时,恒成立.
…………12分21.(12分)求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.参考答案:证法1:∵a4+b4+c4-(a2b2+b2c2+c2a2)=[(a4-2a2b2+b4)+(b4-2a2b2+c4)+(c4-2c2a2+a4)]=[(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2]≥0,∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2(12分)。证法2:不妨设a2≥b2≥c2,则由排序原理顺序和≥乱序和,得a2×a2+b2×b2+c2×c2≥a2b2+b2c2+c2a2,即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,当且仅当a2=b2=c2时,等号成立(12分).略22.大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方.根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了100名魔方爱好者进行调查,得到的部分数据如表所示:已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜欢盲拧的概率为.
喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男
10
女20
总计
100
表(1)并邀请这100人中的喜欢盲拧的人参加盲拧三阶魔方比赛,其完成时间的频率分布如表所示:完成时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40]频率0.20.40.30.1
表(2)(Ⅰ)将表(1)补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?(Ⅱ)现从表(2)中完成时间在[30,40]内的人中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录,记完成时间在[30,40]内的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到为事件A,求事件A发生的概率.(参考公式:,其中)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.84150246.6357.87910.828
参考答案:(I)表(1)见解析,在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢盲拧与性别有关;(II)【分析】(I)根据题意计算出在全部的100人中喜欢盲拧的人数,可将表(1)补充完整,利用公式求得,与临界值比较,即可得到结论;(II)首先计算出成功完成时间在内的人数,再利用列举法和古典概型的概率计算公式,计算出所求概率。【详解】(I)在全部的100人中喜欢盲拧的人数为人,根据题意列联表如下:
喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男401050女203050总计6040100
由表中数据计算所以能在犯错误的概率不超过0.00
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