直梁的有限元分析

有限元法FiniteElementAnalysis内容有限元法的直接刚度法1直梁的有限元分析要求了解：单元、节点的概念理解：梁单元节点内力、节点载荷的概念梁单元刚度矩阵的概念掌握：梁单元刚度矩阵的建立办法利用节点平衡组装整体刚度作业超静定悬臂梁的有限元分析2有限元分析的基本思想

整体离散标准单元分析单元组装整体求解复杂工程结构如何离散？

分析什么？

如何组装？

求解什么？

复杂结构离散化途经

自然离散逼近离散单元

直梁的离散化直梁的单元分析直梁的整体组装本节提要一个例题：MDCBAZ已知E、I、Z、M,AB=BC=CD=L,IAC=2I,ICD=I求:(1)A、D端约束反力；

(2)C处的挠度和转角。Ansys演示…E=3.0e11I=6.5e-7,A=6.8e-4L=1,M=720,Z=3000

一、直梁的有限元模型

211节点：1，2单元编号1223节点：2，32单元编号433节点：3，43单元编号节点(node):1,2,3,4单元(element):1,2,3ZM4321123Z划分单元的原则（设置节点的原则）几何形状发生改变处外载荷规律发生改变处（含约束）边界点计算关心的位置单元尺寸要均匀M4321123

二、单元分析单元节点位移向量：jefifji单元变形：梁单元上每个节点的节点位移分量有2个：挠度和转角，一般规定，向上为正，逆时针为正。

二、单元分析M4321123ijeqimiqjmj截面法：单元节点内力向量：梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：剪力、弯矩。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用、来表示，规定：向上为正，逆时针为正。

梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力和力偶，一般规定，向上为正，逆时针为正。写成列阵形式见式（2-5），表示节点的节点载荷。

同理：

（2-6）

二、单元分析（2-5）

节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力，如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。结构的节点载荷列阵为：

二、单元分析（2-7）

二、单元分析jeqimiqjmj单元受力：jefifji单元变形：力与变形的关系：由小变形、线弹性假设，得线性函数：

二、单元分析线性函数：矩阵表达：梁单元刚度矩阵Ke

二、单元分析单元刚度方程：符号名称：

：单元节点内力向量：单元节点位移向量：单元刚度矩阵

二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义考察a11,

a21,a31,a41的含义，令a11：固定j节点，使i节点发生挠度为1，转角为0的节点内力qi大小a21，a31，a41?ij

二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义a11a21a31a41的计算：a11：固定j节点，使i节点发生挠度为1，转角为0的节点内力qi大小a21：固定j节点，使i节点发生挠度为1，转角为0的节点内力mi大小ijqimi求单元刚度矩阵的第一列元素，由材料力学悬臂梁弯曲变形公式及叠加原理，可得：（2-13）

其中，、为单独作用所产生的位移，、为单独作用所产生的位移。

ijqimi

节点i的节点力

可得到，，，（2-14）

（2-15）

解方程（2-15）得：

（2-16）对梁单元分析受力，如图所示，列平衡方程（2-17）

单元j的节点力解方程（2-17）得

（2-18）

ij考察a12,

a22,a32,a42的含义，令：a12：固定j节点，使i节点发生转角为1，挠度为0的节点内力qi大小a22，a32，a42?

二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义

二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义a12a22a32a42的计算：a12：固定j节点，使i节点发生转角为1，挠度为0的节点内力qi大小a22：固定j节点，使i节点发生转角为1，挠度为0的节点内力mi大小由材料力学知识对悬臂梁分析，可得ijqimi对梁单元分析受力，列平衡方程，解得：

二、单元分析单元刚度矩阵的具体表达对称矩阵

二、单元分析单元分析小结：单元变形分析单元内力分析单元刚度方程单元分析的任务：单元内力用单元变形表达

三、单元组装利用单元分析技术，对各单元有：单元1：21q11m11q21m211单元2：32q22m22q32m322单元3：43q33m33q43m433

三、单元组装组装原理：位移协调条件节点平衡条件位移协调条件：各单元共享节点位移相等

三、单元组装节点平衡条件：各节点满足平衡条件M4321123节点1Z1M1m11q11节点2节点4Z4M4m43q43Z2M2m22q22q21m21Z3M3m33q33q32m32节点3节点1Z1M1m11q11节点1平衡方程：节点2平衡方程：Z2M2m22q22q21m21同理，可列出节点3、4平衡方程。节点4Z4M4m43q43Z3M3m33q33q32m32节点3整体刚度方程

将节点1、2、3、4的平衡方程整合为一个矩阵方程结构整体刚度方程

其中，为整个结构的节点载荷向量（外载、约束力）

为整个结构的节点位移向量

为结构的整体刚度矩阵，也称总刚度矩阵对称，稀疏，奇异，主对角元恒正

整体刚度矩阵具有下列性质和特点：对称性：。奇异性：，不存在，这是因为尚未加入边界约束条件之前，整个系统可以作刚体运动，因而位移不是唯一的。只有加入边界约束条件后，约束了结构的刚体位移，才能使成为正定矩阵，从而得到位移的唯一解。稀疏性：整体刚度矩阵中非零的元素往往分布在对角线主元素的邻近，呈狭长的带状分布，这是因为任一节点只与围绕它的相连的单元发生联系，而其他单元的节点位移不会引起该节点处的节点力，所以整体刚度矩阵的每一行中会有大量的零元素。结构的节点数越多，整体刚度矩阵的这个特点就越明显。主对角线上的元素恒为正。叠加法形成整体刚度矩阵的具体步骤如下：

1）将单元刚度矩阵写成分块形式

（2-32）其中：——单元号；、——单元的两节点的编号；——单元在节点的节点力向量；——节点的节点位移向量；——单元上，节点单位位移在节点引起的节点力向量。

1号单元： （2-33）

2号单元： （2-34）

3号单元： （2-35）2）将整体刚度矩阵写成分块形式（分块矩阵的阶数等于结构的节点数）

（2-36）3）叠加形成整体刚度矩阵 （2-37）四、总体刚度方程的求解力的边界条件位移边界条件四、总体刚度方程的求解对称，稀疏，非奇异，主对角元恒正

五、回代求解未知载荷求解得解将节点位移代入各节点平衡方程，求得未知外载荷。节点位移向量本节课小结有限元法求直梁基本过程第一步，对直梁进行离散化，划分为有限个单元。第二步，对各结点和单元进行编码。第三步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。第四步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。第五步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。第六步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第七步，求单元内力，未知外载荷。

作业MCBAZ3、已知E、I、Z、M,AB=BC=L有限元法求:(1)A、B端约束反力；

(2)C处的挠度和转角。1、自学教材第2章，了解有限元过程基本概念2、理解教材第2章内容与本节课内容的关系

举例例：如图2.7（a）所示梁，已知、、、，求截面的转角及约束力。（a）直梁模型图2.7直梁常见几种载荷移置解：（1）划分单元，对单元和节点进行编号，如图2.7(b)所示(b)直梁的有限元分析模型图2.7（2）分析每一个单元，得到单元刚度矩阵，并写成分块形式。直梁单元刚度矩阵的公式前面已求得，由此可以得出1号单元和2号单元的单元刚度矩阵和（2-1）

（2-2）（3）叠加法形成整体刚度矩阵。

（2-3）

（4）求解有限元基本方程。有限元基本方程为：