《高等数学(微积分学)》笔记

高等数学（微积分学）主讲：王飞燕教授、柳重堪教授、蔡高厅教授宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。（华罗庚，1910—1985）数学处于人类智能的中心领域。（冯﹒诺依曼，1903—1957）数学是调节理论和实践、思想和经验之间差异的工具。它架起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学。（希尔伯特，1863—1943）前言《高等数学》主要包括：一元和多元函数、极限与连续、导数与微分学、导数应用、不定积分、定积分、无穷级数（包括傅里叶级数）、微分方程、矢量代数、空间解析几何。教学目标：掌握高等数学基本知识、基本理论，基本计算方法，提高数学素养；培养学生抽象思维和逻辑推理能力，辩证的思想方法；培养学生的空间想象能力；培养学生分析问题和解决问题的能力；为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。第一章函数一、实数：1、数的扩展：自然数集（N）、整数集（Z，自然数+零+负整数）、有理数集（Q，整数+分数）、实数集（R，有理数+无理数）、复数（实数+虚数）……在高等数学研究中的数基本上都是实数，若用到虚数都会特别的说明。2、数的几何表示——数轴：数轴的特点：有正负方向、有零点、有刻度。它的作用是：数轴上的点与实数是一一对应的关系。3、区间：某一实数集A与数轴上的某一区间对应。﹛x:a＜x＜b﹜=﹙a,b﹚——开区间，﹛x:a≤x≤b﹜=[a，b]——闭区间。4、邻域：假设有两个数，a、δ（δ>0），则称实数集﹛x|a-δ<x<a+δ﹜为点a的δ邻域，记为N（a，δ），a被称为N（a，δ）的中心，δ>0被称为N（a，δ）的半径。去心邻域：把N（a，δ）的中心点a去掉，称为a的去心邻域，记为N（，δ）=﹛x|0<|x-a|<δ﹜=N（a，δ）﹨﹛a﹜。5、绝对值：二、函数：1、常量&变量：常量：在某一过程中，取固定值的量，g、π等。变量：在某一过程当中，可以取不同数值的量，R、t、s等。2、函数：有两个变量，且这两个变量之间有依赖关系，当一个变量在某个区间取定一个数值时，另一个变量取相应的值，如下，其中x称为这个函数的自变量，y称为这个函数的因变量；x的取值范围称为定义域，y的取值范围称为值域。y=f（x）【注】：（1）f表示了一种自变量和因变量的对应规则；（2）f表示函数，f（x）表示函数值，y=f（x）称作y是x的函数；（3）函数符号可以用f、g、h……；（4）函数具有单值性，即一个x只有一个唯一的y与其对应；（5）函数的定义域非常重要；，注意有时需要考虑它的物理意义；（6）y=f（x），含有n个自变量的函数，称为n元函数。3、函数的表示方法：（1）解析法（即公式法）：如y=x3-1。优点：可以精确的来研究函数；缺点：不直观。（2）图形法：在直角坐标系中，把满足y=f（x）的点（x，y）的轨迹，即为该函数的图形。优点：直观；缺点：不精确。（3）列表法：优点：便于查找函数值；缺点：不完整。4、函数的属性：（1）有界性：y=f（x）有界如果存在M>0，使得|f（x）|≤M，其中在定义域内的x都成立，则该函数具有有界性。如正弦函数|sinx|≤1；相反，为无界函数。（2）奇偶性（对称性）：若f（x）=f（-x），则称f（x）为偶函数，如y=x2，几何特点是以y轴对称。若f（x）=-f（x），则称f（x）为奇函数，如y=x3，几何特点是以原点为中心对称。如：f（x）=（ax+a-x）/2为偶函数，g（x）=（ax-a-x）/2为奇函数。（3）周期性（循环性）：如果y=f（x），x∈D，若存在T>0，使得对任意x∈D有x+T∈D且f（x+T）=f（x），则该函数具有周期性。【注】：有些函数存在最小正周期。（4）单调性：如果对于任意的两点x1<x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调上升函数（单调增加）。如果对于任意的两点x1<x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数（单调减小）。注：说函数的单调性一定要注明区间。三、初等函数：1、基本初等函数：基本初等函数是指下面这些函数：（1）常值函数：y=c（2）幂函数：y=xα（α可以取任意实数）（3）指数函数：y=ax（其中a>0且a≠1），如y=ex（其中e=2.718……）（4）对数函数：y=logax，如y=logex（5）三角函数：主要有y=sinx，y=cosx，y=tgx（6）反三角函数：y=arcsinx，yarccosx，y=arctgx2、函数的运算：基本运算：加、减、乘、除；特殊运算：符合运算。如y=lgsinx，则y=lgu，u=sinx。3、初等函数：初等函数是指由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除，符合而成的函数。4、建立函数关系举例：注意：第一，根据问题分清变量和常量；第二，在变量里面分清自变量和因变量；第三，存在多余变量，要消掉多余变量。四、小结：1、注意区间、邻域的概念和表达；2、函数：概念、定义域、值域、表达、建立函数关系等。第二章极限与连续一、数列的极限：1、数列和数列极限：数列是指一列有次序的数，按一定次序排列就构成数列，如X1、X2、X3……Xn。极限研究的是数列的变化趋势。数列极限是指对于一个数列，当n趋于无限大时，这个数列无限地接