山东省泰安市郊区省庄镇第一中学2022年高三数学理期末试卷含解析

山东省泰安市郊区省庄镇第一中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

（）展开式中的系数为10，则实数a等于（

）A．-1

B．

C．

1

D．2参考答案：D2.已知函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4] B．[0，+2] C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）参考答案：A【考点】54：根的存在性及根的个数判断；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）=x3﹣31nx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a=﹣3lnx?a+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，设函数g（x）=x3﹣31nx，其导数g′（x）=3x2﹣=，又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，又由g（）=+3，g（e）=e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a﹣x3=﹣3lnx?﹣a=3lnx﹣x3在上有解．3.现有四个函数：①

②

③④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①参考答案：C4.圆E经过三点A（0，1），B（2，0），C（0，﹣1），且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为（）A．（x﹣）2+y2= B．（x+）2+y2=C．（x﹣）2+y2= D．（x﹣）2+y2=参考答案：C【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆E的圆心坐标为（a，0）（a＞0），半径为r；利用待定系数法分析可得，解可得a、r的值，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆E的圆心坐标为（a，0）（a＞0），半径为r；则有，解可得a=，r2=；则要求圆的方程为：（x﹣）2+y2=；故选：C．【点评】本题考查圆的标准方程，要用待定系数法进行分析，关键是求出圆心的坐标以及半径．5.一组数据由小到大依次为。已知这组数据的中位数为6，若要使其标准差最小，则的值分别为（

）A．3，9 B．4，8 C．5，7 D．6，6参考答案：D6.在四面体P-ABC中，△ABC为等边三角形，边长为3，，，，则四面体P-ABC的体积为（）A.3 B. C. D.参考答案：C【分析】把四面体补成如图所示的三棱锥，其中，可以证明平面且、均为直角三角形，通过计算可得.【详解】如图，延长至，使得，连接，因为，故为等腰三角形，又，故，所以即，故，因为，所以，所以，因，平面，平面，所以平面，所以，因为的中点，所以，因为，故为直角三角形，所以，又，而，故即为直角三角形，所以，所以，故选C.【点睛】不规则三棱锥的体积的计算，应尽量找寻其高，如果高难以确定，则可以把给定的几何体补成容易计算体积的几何体，注意补体时利用已有的垂直关系.7.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为(

) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．4参考答案：D考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，代入求出即可．解答： 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．8.在复平面内，复数对应的点位于（

）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限参考答案：C略9.在等差数列中，首项公差，若,则（

） A.

B.

C.

D.

参考答案：A略10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是(

)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为

.（用“”连接）参考答案：>>

略12.设函数是的函数，满足对一切，都有，则的解析式为=

．参考答案：113.设复数z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为．参考答案：考点：复数求模．专题：计算题．分析：首先利用复数莫得公式求模，然后利用三角函数进行化简，由|z|≤2得到不等式，然后根据a的符号把该不等式分类转化为不含三角函数的不等式，求解后对a取并集即可得到答案．解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i，所以===（tanα=2）．因为|z|≤2，所以．若a=0，此式显然成立，若a＞0，由，得，解得．若a＜0，由，得，解得．所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为．故答案为．点评：本题考查了复数模的求法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．14.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为

.参考答案：略15.已知点是抛物线：上的不同的三点，为坐标原点，直线

，且抛物线的准线方程为．(1)求抛物线的方程；(2)若的重心在直线上，求的面积取值范围．参考答案：略16.已知，且，则=

.参考答案：【知识点】二倍角的余弦公式C6

解析：因为,所以,则,所以故,故答案为.【思路点拨】先利用已知条件求出,在结合二倍角的余弦公式求出结果.17.已知实数满足且目标函数的最大值是，则的最大值为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数g（x）=﹣bx（a，b∈R），在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为﹣2和4，求f（x）的表达式；（2）若g（x）在区间[﹣1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；导数的几何意义；简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】（1）根据导数的几何意义求出f（x）=g'（x），再根据﹣2、4是方程f（x）=0的两个实数，由韦达定理建立方程组，解之即可；（2）根据g（x）在区间[﹣1，3]上是单调减函数，得到函数g（x）在区间[﹣1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立关于a和b的约束条件，而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（﹣2，3）距离原点最近，从而求出a2+b2的最小值．【解答】解：（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x2+ax﹣b由已知﹣2、4是方程x2+ax﹣b=0的两个实数由韦达定理，∴，f（x）=x2﹣2x﹣8（7分）（2）g（x）在区间[﹣1，3]上是单调减函数，所以在[﹣1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x2+ax﹣b≤0，即f（x）=x2+ax﹣b≤0在[﹣1，3]恒成立这只需满足即可，也即而a2+b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（﹣2，3）距离原点最近，所以当时，a2+b2有最小值13．（14分）【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及线性规划的应用等基础知识，考查灵活运用数形结合的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．19.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于（异于点），已知，直线交抛物线于另一点.（1）求抛物线的方程；（2），求的值.

参考答案：（1）由题意，，所以，所以抛物线（2）已知直线代入抛物线方程：，消去，，得；直线，直线；联立得又因为在抛物线上，则得得20.本小题满分12分）现有编号分别为的四个不同的代数题和编号分别为的三个不同的几何题．甲同学从这七个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”．（1）总共有多少个基本事件？并全部列举出来；（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和大于6且小于10的概率。参考答案：18．解：（1）共有个等可能性的基本事件，列举如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个；

……5分（2）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和大于6且小于10”为事件.即事件为“，且，其中”，由（1）可知事件共含有9个基本事件，列举如下：

共9个；

………10分.

…12分

略21.（共12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，，且PA=AB=BC=1，AD=2．（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：平面PAB；（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．参考答案：解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连结BN、NM，在△PAD中，，且；又，且，所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.

……5分（Ⅱ）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，连结PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知侧面PAB，于是过A作于F，连结DF，由三垂线定理可知AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角.……8分在△EAD中，由，，知B为AE为中点，∴AE=2，在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴，故，即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为…12分解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）.

……2分（Ⅰ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，1），所以，又平面PAB的法向量可取为

∴，即.又平面PAB，所以平面PAB.……6分（Ⅱ）设平面PCD的法向量为

∵，∴

，不妨取

则

∴

又平面PAB的法向量为

设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为，则由的方向可知，，∴

即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为

……12分

(解法三：因为侧面PAB，侧面PAB，所以也可以考虑用射影面积来求解)略22.（12分）设函数（I）若直线l与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点（1，0），求实数p的值；（II）若在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；参考答案：解析：（Ⅰ）方法一：∵，∴．

设直线,

并设l与g(x)=x2相切于点M()∵

∴2∴代入直线l方程解得p=1或p=3.