山东省泰安市商老庄乡中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省泰安市商老庄乡中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）若在边长为1的正三角形△ABC的边BC上有n（n∈N*，n≥2）等分点，沿向量的方向依次为P1，P2，…Pn﹣1记Tn=?+?+…+?，则Tn的值不可能是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析： 利用平面向量的数量积运算求得=1+﹣（k=1，2，…，n﹣1，k∈N），再由数列的求和知识即可得到Tn，再对选项加以判断，解方程即可得到．解答： 解：=（+k）?（+（k+1））=+k（k+1）（2k+1）=1+﹣（k=1，2，…，n﹣1，k∈N），则Tn=?+?+…+?=（）+（n﹣1）+﹣=1﹣+n﹣1+﹣=．若=，则解得，n=4，若=，则解得，n=5，若=，则解得，n=6，若=，则无整数解．故选D．点评： 本题主要考查平面向量的数量积的运算及数列求和的知识，考查学生的运算求解能力，属难题．2.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，称素数对为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（

）．A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数，使得是素数，称素数对为孪生素数．其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有，，，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数，所以其中能够组成孪生素数的概率是．故选：C．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．3.函数，其在点处的切线为，轴和直线分别交于点，又点，若的面积为时的点恰好有两个，则的取值范围为（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：A4.已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，则A∩B={1，3，4}，故A∩B的子集个数为23=8个，故选：C5.函数的单调递增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知函数，则下列判断中正确的是A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数参考答案：A7.若曲线与曲线有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：D略8.设i=(1,0)，j=(0,1)，若向量a满足|a－2i|+|a－j|=，则|a+2j|的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4π B．π C．π D．20π参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．10.设函数,则如图所示的函数图象对应的函数是（

）A． B． C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于函数有下列命题：①函数的图象关于轴对称；②在区间上，函数是减函数；③函数的最小值为；④在区间上，函数是增函数．其中是真命题的序号为___

________．参考答案：①③④__略12.我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为____________________.参考答案：；13.已知函数若>，则实数的取值范围是(

)A．

B.

C.

D.参考答案：D14.把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为．参考答案：36【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知将4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果．【解答】解：∵将4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A33=36．故答案为：36．15.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是

.(不作近似计算)参考答案：略16.二项式展开式中的常数项是_______.参考答案：18017.在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)设，求函数的极值；(2)若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.

参考答案：（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得

………………2分

令

列表讨论的变化情况：（-1，3）3+0—0+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是

………………6分（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而

上的最小值是最大值是由于是有

………………8分由

……………10分所以

若a>1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是

………………12分

19.【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．参考答案：解：（1）圆O：，即圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0．（2分）直线l：，即则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0．（5分）（Ⅱ）由．（8分）故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．（10分）20.（本小题满分12分）已知向量，设函数（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．参考答案：（1）

4分令

6分

所以所求增区间为

7分（2）由，，

8分，即

10分又∵，

11分

12分21.已知点，参数，点在曲线C：上.（1）求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的方程;（2）求的最小值.参考答案：设点P的坐标为（x，y），则有消去参数α，可得由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆∵曲线C：，即，即ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x-y+10=0上，点P在半圆上，半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于．即|PQ|的最小值为-1．略22.（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且.(1)求证：;(2)设的中点为，求证：;(3)设平面将几何体分成的两个椎体的体积分别为。参考答案：【知识点】线面垂直的判定；线面平行的判定；空间几何体的体积

G1

G4

G5【答案解析】解：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴CB⊥平面ABEF∵AF平面ABEF∴AF⊥CB因为AB为圆O的直径∴AF⊥BF又因为BF∩CB=B∴AF