2023年中考总复习专题：二次函数与相似的结合

二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系中，，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、两点，二次函数的图像经过点、点；〔1〕求这个二次函数的解析式；〔2〕点是该二次函数图像的顶点，求△的面积；〔3〕如果点在线段上，且△与△相似，求点的坐标；如图，抛物线与轴交于、两点〔在的左侧〕，与轴交于点，抛物线的顶点为；〔1〕求、的值；〔2〕求的值；〔3〕假设点是线段上一个动点，联结；问是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？假设存在，求出点坐标；假设不存在，请说明理由；如图，抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A〔-1，0〕，顶点为B.点C〔5，m〕在抛物线上，直线BC交x轴于点E.求抛物线的表达式及点E的坐标；联结AB，求∠B的正切值；xyABECO〔第24题图〕点G为线段AC上一点，过点G作CBxyABECO〔第24题图〕当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标.【参考答案】24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题3分，第〔3〕小题5分〕解：〔1〕∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴.∵抛物线与x轴的一个交点为A〔-1，0〕，∴.∴抛物线的表达式为.………………〔2分〕∴顶点B〔1，-2〕.…………………〔1分〕∵点C〔5，m〕在抛物线上，∴.∴C点坐标为〔5，6〕.设直线BC的表达式为y=kx+b〔k≠0〕，那么，∴即BC的表达式为y=2x-4.∴E〔2,0〕.……………〔1分〕〔2〕作CH⊥x轴，垂足为H，作BP⊥x轴，垂足为P，∵C〔5，6〕，A〔-1，0〕，∴CH=6=AH.∴∠CAH=45°.∵B〔1，-2〕，A〔-1，0〕，∴BP=2=AP.∴∠BAP=45°.∴∠CAB=90°.…………〔1分〕∵CH=6=AH，CH⊥x轴，∴∵BP=2=AP，BP⊥x轴，∴∴…………………〔2分〕〔3〕∵∠CAB=90°，∴∠B+∠ACB=90°.∵GM⊥BC，∴∠CGM+∠ACB=90°.∴∠CGM=∠B.………………〔1分〕∵△CGM与△ABE相似，∴∠BAE=∠CMG或∠BAE=∠MCG.情况1：当∠BAE=∠CMG时，∵∠BAE=45°，∴∠CMG=45°.∵GM⊥BC，∴∠MCE=45°.∴∠MCE=∠EAB.∵∠AEB=∠CEM，∴△ABE∽△CME.……………〔1分〕∴.即.∴EM=5.∴M〔7，0〕.……………〔1分〕情况2：当∠BAE=∠MCG时，∵∠BAE=∠CAM，∴∠MCG=∠CAM.∴MC=MA.………………〔1分〕设M〔x，0〕，∵C〔5，6〕，A〔-1，0〕，∴∴x=5.∴M〔5，0〕.…………〔1分〕题型二：动点在线段的延长线上如图7，抛物线与轴交于点和点〔点在点的左侧〕，与轴交于点，且,点是抛物线的顶点，直线和交于点。求点的坐标；联结，求的余切值；设点在线段延长线上，如果和相似，求点的坐标。【答案】〔1〕〔2〕3〔3〕【解析】〔1〕∵抛物线与轴的交于点和点〔点在点的左侧〕，与轴交于点，,且,∴∴〔2〕(3)由，可得,在AOC和BCD中，,，又;;当相似时，可知;又点在线段的延长线上，,可得;;由题意，得直线的表达式为;设.,解得〔舍去〕点M的坐标是题型三：动点在对称轴上如图，抛物线经过点,，为抛物线的顶点。〔1〕求抛物线的解析式及顶点坐标；〔2〕点关于抛物线的对称点为点，联结，，求的正切值；〔3〕点是抛物线对称轴上一点，且△和△相似，求点的坐标。【答案】〔1〕；〔2〕〔3〕或【解析】〔1〕∵抛物线经过点,∴可解得∴顶点坐标〔2〕过点作垂直于交于点∵点与点关于对称轴对称∴,,平行于轴∵∴,在等腰直角三角形中,∴在直角三角形中,, ∴∴的正切值为设抛物线对称轴交轴与点∵在直角三角形中，,∴,∴点在点的下方∴当与相似时，有以下两种情况：当时，即可解得∴‚当时，即可解得∴综上所述：或2〕动点在平移后的对称轴上在平面直角坐标系中，点是抛物线上的一点，将此抛物线向下平移个单位以后经过点，平移后的新抛物线的顶点记为，新抛物线的对称轴和线段的交点记为。求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点C的坐标；求的正切值；如果点是新抛物线对称轴上的一点，且和相似，试求点的坐标。【答案】〔1〕；〔2〕〔3〕或【解析】〔1〕∵点是抛物线上的一点，代入得：①又∵抛物线向下平移个单位以后经过点，平移后的抛物线解析式为：。代入得：②，由①②得：平移后得到的新抛物线的表达式：，顶点∵、、，易得由勾股定理逆定理得是直角三角形，设抛物线对称轴与轴相交于点，，易得，∴点只能在对称轴点的下方，和相似，有以下两种情况：①，，，②，，，综上，或题型四：动点在某直线上yAOCBx〔第24题图〕如图，抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴yAOCBx〔第24题图〕〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕求的值；〔3〕假设点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当与相似时，求点E的坐标．【参考答案】24．解：〔1〕∵抛物线经过点和点∴……………………1分解得………………2分∴这条抛物线的解析式为………………1分〔2〕过点作，垂足为，，又是等腰直角三角形………1分，，点也在该抛物线上过点作，垂足为点……………1分又∵在Rt△中，∴…………………1分∴在Rt△中，……………1分〔3〕过点D作，垂足为∵点是抛物线的顶点∴………………1分∴∴又∵∴是等腰直角三角形∴又∵∴………1分∴当△CDE与△ABC相似时，存在以下两种情况：……………1分…………1分题型五：动点在轴上如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，=2，．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕联结，求的大小；〔3〕如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．图9图92023年青浦一模24】，如图8，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点和点，与轴交于点，且，点是第一象限内的点，联结，△是以为斜边的等腰直角三角形.求这个抛物线的表达式；求点的坐标；点在轴上，假设以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，求点的坐标.【答案】〔1〕〔2〕〔3〕点坐标为或【解析】〔1〕由题意可得

代入得过点作为等腰直角三角形

可证四边形为正方形,解得在第一象限内，可得为等腰直角三角形，那么点在轴左侧

i.，ii.

假设点在轴右侧，不存在

综上所述：点坐标为或在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交点和点,与轴相交于点,抛物线的顶点为点，联结,,。求这条抛物线的表达式及顶点的坐标；求证：如果点在轴上，且在点的右侧，,求点的坐标。【答案】〔1〕；〔2〕略〔3〕【解析】(1)∵抛物线过点A()和点,∴将两点坐标代入解析式可得:可解得∴根据顶点公式可得代入到求得，，所以有可以求得：,,,在和中，有,在OC上取一点F使得OF=OA，由〔2〕得B(3,0)，C(0,3)，OB=OC，∠OBC=45°，∠CBE=135°OA=OF，∠AFO=45°，∠AFC=135°，∠AFC=∠CBE，又∠BCE=∠ACO，△AFC∽△BCE,,题型六：动点在抛物线上如图1，抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．〔1〕假设抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；〔4〕在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？假设存在，求m的值；假设不存在，请说明理由．图1【解析】〔1〕将M(2,2)代入，得．解得m＝4．〔4〕①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．综合①、②，符合题意的m为．2〕动点在直线下方的抛物线24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的任意一点；〔1〕求这个二次函数的解析式；〔2〕联结、，并将△沿轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点的坐标；〔3〕如果点在运动过程中，能使得以、、为顶点的三角形与△相似，请求出此时点的坐标；【正确答案】动点在直线上方的抛物线如图11所示，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．〔1〕求A、B、C三点的坐标．〔2〕过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．〔3〕在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．图11CPB图11CPByA【解析:】〔1〕令，得解得令，得∴ABC 〔2分〕〔2〕∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=过点P作PE轴于E，那么APE为等腰直角三角形令OE=，那么PE=∴P∵点P在抛物线上∴解得，〔不合题意，舍去〕∴PE= 4分〕∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE= 6分〕(3)．假设存在∵PAB=BAC=∴PAAC∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=GM第28题图2CByPA在Rt△PAE中，AE=PEGM第28题图2C