(参考答案)2023高考数学难点突破专题训练（4）：三角函数

(参考答案)2023高考数学难点突破专题训练（4）：三角函数高考数学难点突破专题训练（4）三角函数★热身训练1.（江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期数学周练试卷（十））若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A由函数在上没有零点，则，则由，可得假设函数在上有零点，则，则由，可得又，则则由函数在上没有零点，且，可得故选：A(江苏省如东高级中学2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题)已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1，第4个正最值点大于1可解.【详解】，因为，所以，又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，由图像得：，解得：，所以实数的取值范围是.3.(湖南省益阳市2022-2023学年高三上学期期末质量检测数学试题)4.（江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期数学周练试卷（十））（多选题）已知函数的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（）．A.B.是曲线的对称轴C.D.直线是曲线的一条切线答案：ABD【解析】由图象知，解得，将代入中得，则，因为，A正确；由于将函数图象向右平移个单位后，得函数的图象，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故，C错误；将代入中，，是曲线的对称轴，B正确；，令，即，可得时满足，此时，则在点处的切线方程为，D正确，故选：ACD.5.（广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高三上学期期末测试数学试题）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积的运算可得，求解可得，再根据余弦定理求解即可；（2）法一：根据二倍角公式可得，结合可得，进而求得，由正弦定理与倍角公式可得，结合，再利用三角形面积公式求解即可；法二：在上取点，使得，则，再根据题意，结合可证明，再根据余弦定理可得，进而利用面积公式求解即可.【详解】（1），由，得.∴，∴.（2）法一：∵，∴，∴，又，又，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由正弦定理得，，又，，∴，又，，∴，∴.法二：在上取点，使得，∴，∴，∴，又，∴.∴，∴，∴.又，∴，∴，，∴.6.（湖南省常德市2022-2023学年高三上学期期末检测考试数学试题）如图，在梯形中，AD//BC，且，.(1)若，，求梯形的面积；(2)若，证明：为直角三角形．AABCD第18题图(1)在中，由余弦定理得 1分在中，由余弦定理得 2分由有，，解得 3分，又， 4分梯形的面积 6分法二：(1)取BC的中点E，连AE，则BE=CE=2 1分AD=EC，AD//EC，四边形AECD为平行四边形 2分AE=DC=2 3分在中，又， 4分梯形的面积 6分(2)设，，则，，在中，由正弦定理得，即①在中，由正弦定理得，即② 8分由①②得： 9分化简得，又所以 11分又所以，，为直角三角形 12分法二：取BC的中点E，连AE，则BE=CE=2AD=EC，AD//EC，四边形AECD为平行四边形 8分 10分，为直角三角形 12分7.(湖南省益阳市2022-2023学年高三上学期期末质量检测数学试题)8.(江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期1月期末学业质量监测数学试题)已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD．(1)求圆O的半径；(2)求AC的长．9.(江苏省如东高级中学2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题)在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在中，角，，的对边分别为，，且______，若，，边上的中垂线交于点，求的长.解：选①，由，可得，即，所以，又，所以，所以，所以，选②，由，可得，即，所以，所以，又因，所以，选③，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，如图，设边上的中垂线垂足为点，因为垂直平分，所以，又，所以，在中，，所以，即.10.（江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期数学周练试卷（十））如图，在平面四边形中，，．（1）若平分，证明：；（2）记与的面积分别为和，求的最大值．【解析】（1）平分，，则，由余弦定理得：，即，解得：；，，，又，，（2），，整理可得：；，，当时，取得最大值，最大值为.11.（河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．（1）求B和b的值；（2）求面积的最大值．【答案】（1），b=2；（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利用正弦定理可求得b；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面积公式可求得答案.【小问1详解】解：因为，所以，，即，因为，所以，又，所以，所以，又的外接圆半径，所以由正弦定理得；【小问2详解】解：由余弦定理得，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），故面积的最大值为．12.（辽宁省大连市2023届高三上学期期末双基测试数学试题）记内角、、的对边分别为、、，且．（1）求的值；（2）若的面积为，，求周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【小问1详解】解：由，根据正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，，因此，.【小问2详解】解：因为，，由余弦定理可得，，因此，的周长为.★高考引领★难点突破：三角函数（一）1.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）在△ABC中，若向量eq\o\ac(\S\UP7(→),AC)在eq\o\ac(\S\UP7(→),AB)上的投影向量为eq\f(1,4)eq\o\ac(\S\UP7(→),AB)，则A－B的最大值为A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,12)【答案】C【解析】设|AB|＝4x，|AB|上的高为y，则eqtanA＝\f(y,x),tanB＝\f(y,3x)，所以taeqn(A－B)＝\f(tanA－tanB,1＋tanAtanB)＝\f(2,3\f(x,y)＋\f(y,x))≤\f(1,\r(,3))，当且仅当eqy＝\r(,3)x时取等，eq(A－B)\s\do(max)＝\f(π,6)2.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在中，角的对边分别为，，，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理和面积公式求解.【详解】∵，∴，，又∵，，∴，∴，∴，因为∴，，，．∵，∴，∴．故选:B.3.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）设a＝eEQ\S\UP8(\F(3,4))，b＝eq\f(5,4)，c＝eq\r(,2)coseq\f(π－3,4)，则A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a【答案】B【解析】易知e3＞eq20＞24，则a＝eEQ\S\UP8(\F(3,4))＞2＞eq\f(5,4)＝b，且c＝eq\r(,2)coseq\f(π－3,4)＜eq\r(,2)＜2＜a，故只需比b与c大小，此时由根号和c中分母4联想二倍角公式，因此要比b和c大小，即比较eqb\s\up6(2)＝\f(25,16)和eqe\s\up6(2)＝2cos\s\up6(2)\f(π－3,4)＝cos(\f(π－3,2))＋1＝1＋sin\f(3,2)大小，而明显eqsin\f(3,2)＞sin\f(π,3)＝\f(\r(,3),2)＞\f(9,16),所以c＞b，所以a＞c＞b．4.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\o\ac(\S\UP7(→),AB)·eq\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝2，a＝2，则A．b2＋c2＝8B．向量eq\o\ac(\S\UP7(→),BA)，eq\o\ac(\S\UP7(→),AC)夹角的最小值为eq\f(π,3)C．内角A的最大值为eq\f(π,3)D．△ABC面积的最小值为eq\r(,3)5.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）（多选题）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上的减区间为D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到【答案】ABC【解析】【分析】根据三角函数图象的性质即可求解.【详解】∵，∴，∴．又∵，得（舍）或，因为，∴，∴，其图象对称轴为，．当时，，故A正确；∵，，，∴的图象关于点对称，故B正确；∵函数的单调递减区间为，．∴，，∴当时，在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确；∵．故D错误．故选:ABC.6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）记锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知eq\f(a,cosA)＋\f(b,cosB)＋\f(c,cosC)＝\f(bsinC,\r(,3)cosBcosC)．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求BC边上的高的取值范围．【解析】eq\f(a,cosA)＋\f(b,cosB)＋\f(c,cosC)＝\f(bsinC,\r(,3)cosBcosC)则eq\f(sinA,cosA)＋\f(sinB,cosB)＋\f(sinC,cosC)＝\f(sinBsinC,\r(,3)cosBcosC)则eqtanA＋tanB＋tanC＝\f(\r(,3),3)tanBtanC因为tanA＝－tan(B＋C)⇒tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，所以eqtanA＝\f(\r(,3),3)⇒A＝\f(π,6).7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，c＝2．(1)若eq\o\ac(\S\UP7(→),CD)＝2eq\o\ac(\S\UP7(→),DB)，eq\o\ac(\S\UP7(→),AD)·eq\o\ac(\S\UP7(→),CB)＝2，求A；(2)若C－B＝eq\f(2π,3)，求△ABC的面积．8.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(1)求角A；(2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．解：（1），所以，所以，又，所以，因为，所以．…………4分（2）由（1）可知，．则．………………6分因为锐角三角形，所以，整理得．因为，所以．………………10分令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，故的取值范围为.…………12分★难点突破：三角函数（二）1.（浙江省宁波市2023届高三上学期第一次高考模拟考试数学试题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求．（Ⅰ）由余弦定理，得即，所以．（Ⅱ）由，即，即，又，所以，，所以．2.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求边上的中线长度的最大值；（2）若，点分别在等边的边上（不含端点）.若面积的最大值为，求.【答案】（1）（2）【分析】(1)根据正弦定理，三角恒等变换公式以及余弦定理再结