人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《计数原理》单元教学总体设计

《计数原理》总体设计一、本章学习目标1.两个基本计数原理通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.二项式定理能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.二、本章知识结构框图三、内容安排从幼儿时期，我们就开始运用“一个一个地数”的方法解决计数问题；在生活中，遇到复杂的计数问题时，也会自然而然地分类、分步计算.从这些直观经验出发，本章系统安排了解决计数问题的原理和方法，包括两个基本计数原理——分类加法计数原理与分步乘法计数原理，两类特殊的计数问题——排列与组合，以及这些知识的应用——二项式定理.6.1节是分类加法计数原理与分步乘法计数原理.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法.一般地，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步先将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，再将它们整合起来而得到原问题的答案，这也是在日常生活中被经常使用的思想方法.在6.1节，教科书从设计巧妙的“数法”入手，首先通过“给一个座位编号”创设不同的情境，让学生分析比较各自的问题特征及解决问题的基本环节；然后从特殊到一般，抽象概括出两个基本原理；最后选取了8个例题，逐步实现从原理理解到综合应用.6.2节是排列与组合.排列与组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.在6.2节，教科书从简化运算的角度提出排列与组合的学习任务，通过具体实例的概括而得出排列、组合的概念；应用分步乘法计数原理得出排列数公式；应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式.对于排列与组合，有两个基本想法贯穿始终：一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法可以作为特定条件下加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题.6.3节是二项式定理.二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”.猜想不仅是通过对中n取1，2，3，4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，更主要的是运用多项式乘法法则和两个计数原理对展开式的项的特征进行分析.这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为说明猜想的正确性提供了基本思路.基于以上分析，本章的重点是两个计数原理、排列数公式和组合数公式、二项式定理.本章的难点是原理的归纳、公式和定理的推导.无论是概念的得出还是数学公式的推导，都是从特殊到一般，从具体到抽象，通过归纳而得到，这既是代数中研究问题的基本方法，也是数学学习中经常使用的思维方法.这个学习过程，能很好地培养学生的抽象能力和推理能力，从而提升学生的数学抽象、逻辑推理等素养.但是由于学生思维水平的差异，在这个过程中，有些学生可能会遇到学习困难.例如组合数公式的推导，“发现”的基础是对组合与排列的关系的观察与分析，这种观察与分析是从具体的“从4个不同元素中取出3个元素的排列数与组合数的关系”出发,从具体到抽象，发现从a，b，c，d中取出3个元素的排列数与组合数之间的关系，并抽象概括出一般的方法，然后从特殊到一般，推广到一般情形.突破难点的关键在于设置情境和问题，引导学生一步步深入思考，经历数学思维的各个环节，经历知识发生发展的过程.四、课时安排本章教学约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理约4课时6.2排列与组合约4课时6.3二项式定理 约2课时小结约2课时五、本章编写思考本章内容属于《标准（2017年版）》选择性必修课程的“主题三概率与统计”，既相对独立，又是后续概率与统计内容学习的基础.通过本章的学习，学生能够理解两个基本计数原理，能够理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能够运用计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题.虽然两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，几乎可以说它们是一种常识，简单又朴素，易学、能懂、好用.但是从常识抽象到数学原理，从数学原理逐步推导出各种公式，再从原理、公式到灵活应用，并不容易.因此本章编写时，既注重知识发生发展过程的展开，又注重分析、抽象、推理和论证等思维能力的运用，从而提升学生的数学抽象与逻辑推理素养.1.采用归纳式的概念建构方式，加强对概念的理解，提升数学抽象素养本章涉及两个计数原理、排列和排列数、组合和组合数，以及与二项式定理相关的一些概念.这些概念都有一定的抽象性，如何使学生建立理解这些概念的认知基础，是教科书编写过程中重点考虑的问题.总的来说，教科书采取“归纳式”来构建概念的理解过程，即先引导学生分析一些典型事例，从中抽象出共同特征，再进一步概括出本质特征，最后还以一定量的应用题示例，在应用中加深对概念的理解.例如两个计数原理，计数是人类最基本、最原始和最古老的数学实践活动，“一个一个地数”的过程非常烦琐而且容易出错，促使人们寻找方便、快捷的方法，即设法“不通过一个个地数”而达到正确、迅速地计数的目的.教科书就以此作为研究两个计数原理的基本出发点，先在引言中介绍了研究计数原理的上述目的，由此激发学生的学习欲望，然后采取了“问题情境—引导探究—抽象概括”的方式，安排了从具体例证中归纳两个计数原理的活动，以引导学生经历原理的概括过程.同样地，在排列与组合中，仍然沿用“减少重复、避免烦琐、简便计数”的想法，安排学生熟悉的问题情境（“从3名学生中选两名分别参加上、下午的活动”“从1，2，3，4中取三个不同数字排成三位数”等），引导学生详细分析计数过程，并抽象概括出排列、组合的概念及其计数公式；在二项式定理的探究中，也安排了“用两个计数原理分析当n=2时的二项展开式—学生独立分析当n=3，4时的二项展开式—猜想并说明二项式定理”的过程.总之，在这样一个强调知识展开和思维运用的过程中，学生不仅通过分析和比较、抽象和概括，获得和理解了概念，而且还提升了数学抽象素养.2.加强两个计数原理的基础性作用，提升逻辑推理素养两个计数原理是解决计数问题的“根本大法”，排列、组合及二项式定理都是两个计数原理的典型应用.因此，教科书编写时，一是注意引导学生“追本溯源”，把排列、组合和二项式定理的研究引导到如何应用计数原理的思考上来；二是注意引导学生根据原理分析和解决问题，灵活运用，避免机械套用公式.例如二项式定理的推导，直接联系到两个计数原理是不容易的.为此，教科书安排了如下过程：（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出的展开式的问题.（2）详细写出用多项式乘法法则得到展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数和项的形式.（3）用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的的展开式.（4）让学生模仿上述过程推导的展开式.（5）得出关于的展开式的猜想，并予以说明.由此可以看到，得到二项式定理的猜想及其证明方法的核心就是应用两个计数原理.再如，教科书选取了一些典型的、多角度的应用问题，设计例题和习题，让学生通过一定量的训练，应用两个计数原理进行分析、推理和论证，从而灵活应用.像计数原理概念之后安排难度逐步增大的8个例题，排列组合习题中安排辨析排列与组合，内含重复或遗漏等情况的问题,让学生在分析问题和解决问题中认识到两个计数原理的基础性地位，而这些问题的选材又同时关注了典型性、时代性和贴切性，如经典又灵活多变的“几位数”问题，富有时代气息的共享单车问题，贴近学生生活的食堂选菜问题等.无论是从原理出发推导公式，还是回归到原理解决问题，都是培养学生推理能力的好时机，而充分经历这些过程，就能逐步提升学生的逻辑推理素养.3.通过联系和比较，归纳数学思想和方法本章内容涉及分类、化归、多元联系表示等众多数学思想方法.适当渗透并及时归纳数学思想方法是教科书编写中考虑的一个重要问题.其一，教科书通过联系和比较，引入、渗透这些数学思想方法.例如，在两个计数原理中，联系实际情境的分类和分步需求，渗透了分类以达到“以简驭繁”目的的基本思想：运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后各个击破，分类解决；运用分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程.再如在排列、组合中，通过比较的方法，引导学生讨论排列与组合的关系；运用多元联系表示思想，采用树状图、表格、等值语言叙述、构造模型等多种方法，探讨排列、组合的概念及其计数公式等.其二，教科书通过归纳栏目和章小结，明确、总结每一节及本章所学习的数学思想方法.例如，在学完两个计数原理之后，教科书安排了“归纳"，细致说明了分类和分步，并提出问题，让学生通过类比加法和乘法两种运算的关系，思考两个计数原理之间的关系.再如在章小结中，明确指出何为重要而基本的思想方法及其具体体现.4.选择具有时代性的事例，增强学生的应用意识应当说，计数问题非常多，而且可以人为地大量编制.实际上这也是造成本章学习困难的原因之一.为了体现“能够结合具体实例，理解相关知识，并能够运用它们解决简单的实际问题”的要求，教科书将“学以致用”的思想贯穿本章始终，而且特别注意选材的典型性、时代性和现实性，不把那些人为编制的计数难题、需要特殊技巧的计数问题纳入教科书中.例如，具有时代感的计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径问题，贴近学生生活实际的大学专业选择、汽车牌照号码问题；等等.这些丰富的问题既可以让学生感受到计数问题的时代性，增强应用意识，还可以让学生在应用过程中加深对原理的理解，提高学生的分析问题和解决问题的能力.六、本章教学建议1.注意认真剖析概念所谓“剖析概念”，实际上是对概念内涵的深入分析，也就是要对概念的各种属性及其关系进行认真分析.在本章教学中，有几个概念的关键属性需要认真分析：（1）两个计数原理中的“完成一件事情”.这是一个比较抽象的词汇，它比学生熟悉的“完成一件工作”“完成一项工程”等的含义要广泛得多，教学中应当结合实例让学生辨析.例如，“选一个专业”“选男生和女生各一名”“从中任取一本书”“从中任取数学书、语文书各一本”“从甲地到乙地”等，这些都是原理中所说的“完成一件事情”.排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”“确定一个满足条件的组合”也是指“完成一件事情”.建议在概念和例题的教学中，都要求学生先思考并说出要完成的一件事情是什么.在实际应用中，学生容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同.例如，在分析“从1~9这九个数字中任取两个，共可组成多少没有重复数字的两位数”时，学生容易把要完成的事情理解成为“求满足条件的两位数的个数”，教学时应当注意利用简单实例引导学生消除这种误解.只有准确理解了什么叫“完成一件事情”，才能进一步分析可以用什么方法完成，是否需要分类或分步完成，这样才能确定到底应该用哪个计数原理.（2）排列概念中的“一定顺序”.同样地，为了让学生理解其含义，要结合实例进行认真分析.例如，学生熟悉的排队问题中，“从前到后”“从左到右”“从上到下”都是“一定顺序”；安排工作时“上午在前下午在后”也是“一定顺序”；“从1~9这九个数字中选三个不同数字组成三位数”中，“一定顺序”可以规定为“百十个位”；等等.最后要使学生明确，若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列.（3）“排列数”与“一个排列”，“组合数”与“一个组合”.可以通过实例引导学生分析它们的关系.例如，123，321，213，…都是“从1~9这九个数字中选三个不同数字组成三位数的一个排列”，这样的排列数共有个.2.精心设计思维活动，充分展开过程教科书编写中最为关注的一点就是“过程”，包括概念的抽象过程和公式的推导过程.正是在这些过程中，既能充分体现数学思想方法的作用，又能让学生充分运用各种数学思维.因此，这是进行数学思想方法教学和提升学生数学素养的最好时机.在教学中，要根据知识的特点，分析思维过程，精心设计教学活动.例如组合数公式的推导过程，有这样一个关键的思维活动，它包括两个方面：（1）从特殊到一般，将方法一般化.首先，明确求“3个不同元素中取出2个元素的组合数”的方法：①3取2的排列数，②以“元素相同”分组.然后，“运用同样的方法”，求“4个不同元素中取出3个元素的组合数”，并转换角度，获得等式.最后，“同样地”将获得上述等式的方法推广到一般情形，得到组合数公式.（2）从不同角度看问题，灵活转换.如何得出等式，既是组合数公式推导的关键，也是教学难点.虽然以“