2023年湖南省岳阳市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2023年湖南省岳阳市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.当x→0时，x2是x-ln(1+x)的()．

A.较高阶的无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.较低阶的无穷小

2.

3.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A.A.2B.-2C.3D.-3

4.

5.

6.

7.微分方程y＋y＝0的通解为（）．A.A.

B.

C.

D.

8.

9.

10.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx

11.设f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是()A.A.

B.

C.

D.

12.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

13.（）。A.2πB.πC.π/2D.π/4

14.设函数f(x)=2lnx+ex,则f'(2)等于

A.eB.1C.1+e2

D.ln2

15.

16.（）。A.

B.

C.

D.

17.若y=ksin2x的一个原函数是(2/3)cos2x，则k=

A.-4/3B.-2/3C.-2/3D.-4/3

18.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.极大值f(4，1)=63B.极大值f(0，0)=20C.极大值f(-4，1)=-1D.极小值f(-4，1)=-1

19.

20.A.-2(1-x2)2+C

B.2(1-x2)2+C

C.

D.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.微分方程y'+4y=0的通解为_________。

27.

28.29.设y=ln(x+2)，贝y"=________。

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.设y=xe，则y'=_________.

38.

39.

40.设函数f(x)有一阶连续导数，则∫f'(x)dx=_________。

三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．44.求曲线在点(1，3)处的切线方程．45.

46.证明：47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．48.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．49.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．50.

51.52.

53.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

54.求微分方程的通解．

55.

56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.

58.59.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．四、解答题(10题)61.

62.63.64.计算65.

66.

67.

68.

69.设z=z(x，y)由ez-xyz=1所确定，求全微分dz。

70.五、高等数学(0题)71.=（）。A.

B.

C.

D.

六、解答题(0题)72.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

参考答案

1.C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

由于

可知当x→0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小．故应选C．

2.C

3.C点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．

4.D

5.C解析：

6.C

7.D本题考查的知识点为－阶微分方程的求解．

可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作－阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．

解法1将方程认作可分离变量方程．

解法2将方程认作－阶线性微分方程．由通解公式可得

解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：

特征方程为r＋1＝0，

特征根为r＝－1，

8.C解析：

9.A解析：

10.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

11.B本题考查的知识点为：若f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用．

注意到A左端为定积分，定积分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零．因此A不正确．

由可变上限积分求导公式可知B正确．C、D都不正确．

12.C

13.B

14.C本题考查了函数在一点的导数的知识点.

因f(x)=2lnx+ex,于是f'(x)=2/x+ex,故f'(2)=1+e2.

15.C

16.C由不定积分基本公式可知

17.D解析：

18.D

19.A

20.C21.0

22.

解析：

23.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

24.00解析：

25.11解析：

26.y=Ce-4x

27.(1+x)ex(1+x)ex

解析：28.本题考查的知识点为重要极限公式。

29.

30.1/21/2解析：

31.

解析：

32.

33.

34.1/4

35.

本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

36.-sinx

37.(x+1)ex本题考查了函数导数的知识点。

38.连续但不可导连续但不可导39.0．

本题考查的知识点为定积分的性质．

积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此

40.f(x)+C

41.

42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

43.函数的定义域为

注意

44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

45.

则

46.

47.

48.

49.

列表：

说明

50.由一阶线性微分方程通解公式有

51.

52.

53.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

54.

55.

56.

57.

58.59.由等价无穷小量的定义可知60.由二重积分物理意义知

61.

62.

63.

64.本题考查的知识点为定积分的换元积分法．

比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化．65.本题考查的知识点为求解－阶线性微分方程．

将方程化为标准形式

求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：

解法1利用求解公式，必须先将微分方程化为标准形式y＋p(x)y＝q(x)，则

解法2利用常数变易法．

原方程相应的齐次微分方程为

令C＝C(x)，则y＝C(x)x，代入原方程，可得

可得原方程通解为y＝x(x＋C)．

本题中考生出现的较常见