天津育杰高级中学 2021年高二数学理上学期期末试卷含解析

天津育杰高级中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则的最小值是

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．B．C．D．参考答案：A略3..“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A因为，所以由题设可得，因此不充分；反之，当，则复数对应的点在第三象限，是必要条件，故应选答案B。4.已知中，，，，则的面积为(

)A．9

B．18

C．9

D．18参考答案：C5.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，进而在RT△PF1F2中结合双曲线的定义和△PF1F2的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，∴F1P2+F2P2=F1F22，又根据曲线的定义得：F1P﹣F2P=2a，平方得：F1P2+F2P2﹣2F1P×F2P=4a2从而得出F1F22﹣2F1P×F2P=4a2∴F1P×F2P=2（c2﹣a2）又当△PF1F2的面积等于a2即F1P×F2P=a22（c2﹣a2）=a2∴c=a，∴双曲线的离心率e==．故选A．6.设随机变量服从正态分布，则

()A.

B．

C．1－2

D.1－参考答案：B7.—空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（

）参考答案：A8.设函数图象上一点及邻近一点，则（）．A．

B．

C．

D．

参考答案：C9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，向量=（n，），=（m，），=（k，）（n，m，k∈N*），且=λ?+μ?，则用n、m、k表示μ=(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题．【分析】首先判断出点P1，P，P2共线，根据向量共线定理，设则===，所以μ=t，转化为求t．【解答】解：设等差数列{an}的首项a1，公差为d，则=a1+d=+（a1﹣），数列{}是等差数列，所以点P1，P，P2共线，设则===，所以μ=t又=（n﹣m，（n﹣m）），=（k﹣m，（k﹣m）），所以t=，即μ=故选C．【点评】本题考查平面向量的运算，向量共线的判定和性质．10.在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为，sinA、sinB、sinC成等比数列，且，则cosB的值为 A． B． C． D． 参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用辗转相除法求和的最大公约数为___________.参考答案：81略12.已知函数，则＝______________。参考答案：13.已知（x，y）满足，则k=的最大值等于

．参考答案：1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式．【分析】由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：k的几何意义为点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此时k==1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破，是中档题．14.直线关于直线对称的直线方程为

．参考答案：由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.

15.在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为．参考答案：（0，0，）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据C点是z轴上的点，设出C点的坐标（0，0，z），根据C点到A和B的距离相等，写出关于z的方程，解方程即可得到C的竖标，写出点C的坐标．【解答】解：由题意设C（0，0，z），∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴=，∴18z=28，∴z=，∴C点的坐标是（0，0，）故答案为：（0，0，）16.函数的最大值

。参考答案：5略17.抛物线x2=-4y的焦点坐标为

.参考答案：(0,-1)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，(1)若在上无极值，求值；(2)求在上的最小值表达式；(3)若对任意的，任意的，均有成立，求的取值范围.参考答案：解：.(1)函数在上无极值，则方程有等根，即.

分(2)当时，，，在上单调递增，则.

分当时，，，在上单调递减；，，在上单调递增，则.

分当时，，，在上单调递减，则.

分综上，

分(3)问题等价于：，，即.

当时，

；

分当时，，故在上单增，且的图象连续不断，有；

分当时，.

分综上，.

分19.如图，已知抛物线x2=4y上两定点A，B分别在对称轴左、右两侧，F为抛物线的焦点，且|AF|=2，|BF|=5．（1）求A，B两点的坐标；（2）在抛物线的AOB一段上求一点P，使△ABP的面积S最大，并求这个最大面积．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由条件求出交点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义和条件求得点A、B的坐标；（2）由两点间距离公式求出|AB|，再求出直线AB的方程，欲求△PAB的面积最大值可转化为求点P到直线AB的距离的最大值，设出点P的坐标，由点到直线的距离公式建立起点P到直线AB的距离的函数关系式，利用函数的知识求出最值即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），（x2，y2），由题意得，抛物线的方程为：x2=4y，则焦点坐标F（0，1），准线方程为y=﹣1，由抛物线的定义得，|AF|=y1+1，且|BF|=y2+1因为|AF|=2，|BF|=5，所以y1=1，y2=4，代入x2=4y求得x1=±2，x2=±4，又A，B分别在对称轴左、右两侧，所以x1=﹣2，x2=4，所以A（﹣2，1），B（4，4），（2）由（1）得，A（﹣2，1），B（4，4），则|AB|==，直线AB的方程为y﹣1=（x+2），即x﹣2y+4=0，设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x0，y0），且﹣2≤x0≤4，1≤y0≤4．则点P到直线AB的距离d===，所以当x0=1时，d取最大值=，所以△PAB的面积最大值为．20.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线与相交于两点，若，求的值.参考答案：21.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程.

（2）当时，求直线方程.参考答案：由题意知到直线的距离为圆半径

②由垂径定理可知且，在中由勾股定理易知

设动直线方程为：，显然合题意。

由到距离为1知

为所求方程. 略22.如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1，D是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证平面AB1C⊥平面A1BD，只需在平面AB1C内找一条直线（A1B）垂直平面A1BD即可；（2）设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，由EF=AA1，EF∥AA1，且C1D=AA1，C1D∥AA1，可得EF∥C1D，且EF=C1D，四边形EFDC1是平行四边形即可得到，当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．【解答】解：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC?平面ABC，∴AA1⊥AC，又∵AB⊥AC，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面ABB1A1，又∵A1B?平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵AB=AA1，∴A1B⊥AB1，又∵AB1∩AC=A，∴A1B⊥平面AB1C，又∵A1B?平面A1BD，∴平面AB1C⊥平面A1BD．…（Ⅱ）当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．下