企业管理统计学回归

管理统计学

武汉大学商学院副教授游士兵

电话：027-8768453813607175789

E-mail:sbyou@1/23/20231第六章回归分析一、基本问题

1、相关分析（1）什么是相关关系？相关关系是指现象之间客观存在的非确定性的数量对应关系。1/23/20232（2）相关关系的种类按相关关系涉及变量的多少，分：单相关（又称一元相关）复相关（又称多元相关）按相关的表现形式，分：线性相关曲线相关1/23/20233按相关的方向，分：正相关负相关按相关的程度，分：零相关低度相关中度相关显著相关高度相关完全相关1/23/202342、回归分析

（1）“回归”的词源（2）相关分析与回归分析的区别和联系区别：A、相关关系所研究的变量是对等关系，而回归分析所研究的变量不是对等关系，分为自变量和因变量；B、相关分析对资料的要求是两个变量都必须是随机变量，而回归分析中自变量是可以控制的变量（给定的变量），因变量是随机变量。C、相关分析的目的是研究变量之间的相关方向、程度以及相关的表现形式是什么；而回归分析的目的是拟合变量之间的表现形式，（回归方程），并据此进行回归预测。1/23/20235联系：A、相关分析是回归分析的基础和前提；（通过相关分析的结论，才能引入回归分析）B、回归分析是相关分析的深入和继续。（通过回归分析的继续，最终达到对相关变量之间有关预测，并为管理决策服务）1/23/202362、本章主要内容（1）相关系数（2）回归模型一元线性回归模型多元线性回归模型可化为线性回归的曲线回归模型介绍（3）回归模型的检验回归系数的显著性检验回归方程的显著性检验

（4）回归模型的应用1/23/20237二、相关系数1、相关系数的概念和种类概念：相关系数是反映客观现象之间相关关系的方向和程度的统计分析指标。种类：简单相关系数偏相关系数复相关系数本章着重介绍简单相关系数，如果不作说明，相关系数往往指简单相关系数。1/23/202382、相关系数的主要内容（1）相关系数公式来源介绍

（2）相关系数的简捷计算公式：

1/23/20239(3)相关系系数的的应用用说明明相关系系数是是一个个相对对数，，是一一个抽抽象化化的统统计指指标；；相关系系数为为正，，表示示X与与Y为为正线线性相相关；；相关关系数数为负负，表表示X与Y为负负相关关；相关系系数的的取值值范围围为：：-1到1之间间。相关系系数的的绝对对值的的大小小反映映线性性相关关程度度的高高低，，越接接近1，表表示线线性相相关程程度越越高，，越接接近0，表表示线线性相相关程程度越越低。。一般来来说：：r的的绝对对值在在0.3以以下，，为零零相关关在0.3到到0.6，，为为低度度相关关在0.6到到0.9，，为为显著著相关关在0.9以以上，，为为高度度相关关1/7/202310（4））相关关系数数的应应用举举例某企业业资料料如下下：月份产产量生生产费费用X2Y2xy(千吨））x(万万元））y11.2621.44384474.422.0864.007396172.035.011525.0013225575.043.1809.616400248.053.811014.4412100418.068.016064.00256001280.076.113237.2117424805.287.213551.8418225972.0合计36.4880207.541042144544.61/7/2023111/7/202312二、回回归模模型及及应用用（一））一元元线性性回归归模型型的性性质一元线线性回回归模模型是是用于于分析析一个个自变变量（（X））与一一个因因变量量（Y）之之间线线性关关系的的数学学方程程。其其一般般形式式为：：Yc=a+bx式中：：X是是自变变量，，Yc是因变变量Y的估估计值值，又又称理理论值值。1/7/202313几点说说明：：a和b通常常称为为回归归模型型的参参数。。a是回回归直直线的的截距距，即即X=0时时Yc的起起始值值；b是是回归归直线线的斜斜率，，又称称回归归系数数，表表示自自变量量每增增加或或减少少一个个单位位时，，Yc的的平均均增减减量。。回归直直线表表明的的是两两个变变量之之间的的平均均变动动关系系。回归分分析的的主要要目的的是建建立回回归模模型，，借以以给定定X值值来估估计Y值。。模型型是否否合适适？估估计的的误差差怎样样？怎怎样进进行判判断和和检验验？都都从回回归模模型的的特点点出发发。1/7/202314（二）一一元回归归模型的的确定确定一元元回归模模型的关关键是计计算参数数a和b而求参数数a和b的最佳佳方法是是最小平平方法最小平方方法的基基本思想想∑(Y-Yc)=0∑(Y-Yc)2=最小最小平方方法的标标准方程程式∑Y=na+b∑x∑xy=a∑x+b∑∑x21/7/202315应用举例：某企业资料如如下：月份产量量生生产费用X2Y2xy(千吨）x(万元）y11.2621.44384474.422.0864.007396172.035.011525.0013225575.043.1809.616400248.053.811014.4412100418.068.016064.00256001280.076.113237.2117424805.287.213551.8418225972.0合计36.4880207.541042144544.61/7/202316解：根据上述述标准方程有有：880=8a+b36.44544.6=a36.4+b207.54解方程组，得得到：a=51.323b=12.896则，产量和生生产费用的回回归直线方程程为：Yc=51.323+12.896X1/7/202317（三）多元元线性回归归模型多元线性回回归模型是是用于分析析两个以上上自变量与与一个因变变量之间线线性关系的的数学方程程。其一般般形式为：：Yc=a+b1x1+b2x2+-----+bnxn对于有两个个自变量的的二元线性性回归模型型，有：Yc=a+b1x1+b2x2式中：a为截距，，b1和b2称为偏回归归系数，其其均有一定定的统计含含义1/7/202318多元回归模模型的确定定仍然按照照最小平方方法的原理理得到求a和b1、b2的标准方程程组：∑Y=na+b1∑X1+b2∑X2∑X1Y=a∑X1+b1∑X12+b2∑X1X2∑X2Y=a∑X2+b1∑X1X2+b2∑X22计算说明1/7/202319（四）可化化为线性回回归的曲线线回归模型型在实际问题题中，有时时因变量和和自变量之之间的关系系并非是线线性形式，，而是某种种曲线，这这时，就需需要拟合适适当类型的的曲线模型型，统计学学上称为曲曲线回归模模型。统计学上通通常采用变变量代换法法将曲线形形式转换成成线性形式式来处理，，使线性回回归分析的的方法也能能适用于非非线性回归归问题的研研究。现仅举一、、二例加以以说明，其其他则可类类似操作。。1/7/202320（五）判定定系数r2和估计标准准误差sxy1、判定系系数r2：是以回归归偏差占总总偏差的比比率来表示示回归模型型拟合优度度的评价指指标。“判定系数数”的统计解释1/7/202321“判定系数数”的统计解释可见，Y的的实际值同同Y的均值值的总偏差差包括两个个部分：一部分是回回归偏差，，即X与Y依存关系系影响的偏偏差另一部分是是各种不确确定因素引引起的随机机误差在总偏差一一定时，回回归偏差越越大，剩余余偏差就越越小；反之之，亦反。。如果Y的的实际值都都紧密的分分布在回归归直线周围围，这说明明那些随机机因素干扰扰就不大，，剩余偏差差也就很小小，相对而而言，回归归偏差也就就很大。这这样，X与与Y的依存存关系也就就非常之强强。回归方程程拟合的好好不好，关关键看回归归偏差的大大小。回归偏差小小，说明X与Y的依依存关系小小，那么方方程的拟合合优度必然然差；回归归偏差大，，说明X与与Y的依存存关系大，，则方程就就有好的拟拟合优度。。1/7/202322判定系数r2的统计度量量（1）计算算公式：r2=回归偏差差/总偏差差（2）几点点说明：判定系数数是一个相相对数，其其结果没有有实际的经经济含义，，但有清楚楚的统计含含义；判定系数数的值域为为0----1判定系数数值越大，，则X与Y的关系越越密切，反反之，亦反反。判定系数数值的大小小所反映的的是指因变变量的变化化受自变量量影响的百百分比程度度，而所对对应的百分分比则是随随机因素的的影响程度度1/7/202323（3）判定系系数的简捷计计算公式判定系数的简简捷计算公式式可依据相关关系数的计算算公式进行。。（4）计算举举例：1/7/2023242、估计计标准误误差sxy估计标准准误差的的解释估计标准准误差的的统计含含义估计标准准误差的的现实含含义估计标准准误差的的计算（参照前前例计算算）1/7/202325三、回归归模型的的检验1、回归归系数的的显著性性检验就是有检检验变量量X与Y之间是是否真正正存在线线性关系系，一般般采用t检验。。其检验步步骤：（1）设设立假设设检验（2）计计算回归归系数b的t值（3）根根据给定定