2023年山西省忻州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年山西省忻州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

2.

3.A.收敛B.发散C.收敛且和为零D.可能收敛也可能发散

4.方程x2+y2-2z=0表示的二次曲面是.

A.柱面B.球面C.旋转抛物面D.椭球面

5.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

6.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

7.设y=cosx，则y''=（）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx

8.A.(1/3)x3

B.x2

C.2xD.(1/2)x

9.

10.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

11.

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.收敛性不能判定

12.A.f(2x)

B.2f(x)

C.f(-2x)

D.-2f(x)

13.（）。A.3B.2C.1D.0

14.

15.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

16.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

17.

18.由曲线，直线y=x，x=2所围面积为

A.

B.

C.

D.

19.

20.（）A.A.1B.2C.1/2D.-1

二、填空题(20题)21.若函数f(x)=x-arctanx，则f'(x)=________.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.设f(x)在x=1处连续，

31.

32.

33.曲线y=x3-3x+2的拐点是__________。

34.

35.

36.

37.

38.

39.

则b__________.

40.

三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.求微分方程的通解．

43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

45.

46.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

47.证明：

48.

49.

50.

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

53.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

56.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.求方程y''2y'+5y=ex的通解.

63.

64.(本题满分8分)

65.求y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点．

66.

67.(本题满分10分)

68.

69.求

70.设z=z(x，y)由x2+2y2+3z2+yz=1确定，求

五、高等数学(0题)71.设f(x)的一个原函数是lnx，求

六、解答题(0题)72.求，其中D为y=x-4，y2=2x所围成的区域。

参考答案

1.C本题考查了二重积分的积分区域的表示的知识点.

2.C解析：

3.D

4.C本题考查了二次曲面的知识点。x2+y2-2z=0可化为x2/2+y2/2=z,故表示的是旋转抛物面。

5.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

6.A

7.Cy=cosx，y'=-sinx，y''=-cosx.

8.C本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

Y=x2+1,(dy)/(dx)=2x

9.A

10.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其图形如图1-1所示．

交换积分次序，D可以表示为

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知应选A．

11.A

12.A由可变上限积分求导公式可知因此选A．

13.A

14.D解析：

15.D

16.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

17.A

18.B

19.D

20.C由于f'(2)=1，则

21.x2/(1+x2)本题考查了导数的求导公式的知识点。

22.本题考查的知识点为定积分的基本公式。

23.

24.2x

25.

26.x2x+3x+C本题考查了不定积分的知识点。

27.(-∞．2)

28.

29.本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

30.2本题考查的知识点为：连续性与极限的关系；左极限、右极限与极限的关系．

由于f(x)在x=1处连续，可知必定存在，由于，可知=31.f(0)．

本题考查的知识点为导数的定义．

由于f(0)＝0,f(0)存在，因此

本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：

因为题设中只给出f(0)存在，并没有给出f(x)(x≠0)存在，也没有给出f(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．

32.33解析：

33.(02)

34.2/32/3解析：

35.2m

36.解析：

37.

解析：

38.

39.所以b=2。所以b=2。

40.x=-1

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

42.

43.

44.由二重积分物理意义知

45.

46.函数的定义域为

注意

47.

48.

49.

则

50.

51.

52.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

53.

54.由等价无穷小量的定义可知

55.

列表：

说明

56.

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.59.由一阶线性微分方程通解公式有

60.

61.

62.

63.

64.本题考查的知识点为求曲线的渐近线．

由于

可知y＝0为所给曲线的水平渐近线．

【解题指导】

65.y=xex

的定义域为(-∞，+∞)，y'=(1+x)ex，y"=(2+x)ex．令y'=0，得驻点x1=-1．令y"=0，得x2=-2．

极小值点为x=-1，极小值为

曲线的凹区间为(-2，+∞)；曲线的凸区间为(-∞，-2)；拐点为本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题．

66.

67.本题考查的知识点为计算二重积