四川省南充市吉安中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析

四川省南充市吉安中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义域为的偶函数在区间（0，+）上的图象如图所示，则不等式>0的解集是

A．（－，－1）（0，1）

B．（－1，0）（1，+）

C．（－，－1）（1，+）

D．（－1，0）（0，1）参考答案：B略2.已知的值是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）A．13 B．14 C．15 D．16参考答案：C考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；∴这组数据的中位数是=15．故选：C．点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目4.的展开式中x2的系数为（）A．﹣240B．240C．﹣60D．60参考答案：B考点：二项式定理．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答：解：的展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）rx﹣r=（﹣1）r??x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，故展开式中x2的系数为=240，故选B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5.已知函数满足对恒成立，则

A.函数一定是偶函数

B.函数一定是偶函数

C.函数一定是奇函数

D.函数一定是奇函数参考答案：A略6.若复数，则()． A．

B．

C．1

D．参考答案：B略7.表面积为

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则

此球的体积为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.不等式的解集为（）A．B．C．D．参考答案：解：选A．．9.向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正边形内的概率为下列论断正确的是（

）A．随着的增大，增大

B．随着的增大，减小C．随着的增大，先增大后减小

D．随着的增大，先减小后增大参考答案：A ,设,可知,可时,当时,,故在时单调递增.10.已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a的值为A.－1 B.－2 C.1 D.2参考答案：A【分析】根据题意，由偶函数的定义可得，解可得a的值，验证的单调性即可得答案．【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则有，解可得：，当时，，在上不是增函数，不符合题意；当时，，在上单调递增，符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出的值，再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间[1，9]上随机取一实数，则该实数在区间[4，7]上的概率为

.参考答案：12.已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，f′（x）是f（x）的导函数，则f（）=

．参考答案：1【考点】导数的运算．【分析】函数f（x）=f′（）cosx+sinx，可得+cosx，令x=，可得，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=f′（）cosx+sinx，∴+cosx，∴=，解得．∴函数f（x）=（﹣1）cosx+sinx，∴==1．故答案为：1．13.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x，则f（2016）=

．参考答案：4【考点】函数的周期性；函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数为周期为2的周期函数，可得f（2016）=f（2），代值计算可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）﹣f（x）=0，∴f（x+2）=f（x）即函数f（x）为周期为2的周期函数，又∵当x∈（0，2]时，f（x）=2x，∴f（2016）=f（2）=22=4，故答案为：4．【点评】本题考查函数的周期性，涉及指数的运算，属基础题．14.若是双曲线：和圆：的一个交点，且其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率的为____.参考答案：略15.设等比数列的前项和为，若，则

．参考答案：16.已知函数的图像过点（2,1），的反函数为，则的值域为_____________.参考答案：17.不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为

。参考答案：由a2+8b2≥λb(a+b)得a2+8b2-λb(a+b)≥0变成a2-λba-(λ-8)b2≥0

则Δ=λ2+4(λ-8)=λ2+4λ-32<=0

(λ+8)(λ-4)<=0

所以λ∈[-8,4]。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围，并在此范围下讨论关于x的方程f（x）=x2﹣2x+3的解的个数．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=时，求出f（x），然后求f′（x），根据该导数的符号判断函数f（x）的单调区间即可；（2）求f′（x）=，从而得到x2+（2﹣a）x+1≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，根据判别式的取值情况并结合二次函数的图象即可求出a的范围．而判断方程f（x）=x2﹣2x+3解的个数，就是判断函数f（x）和函数x2﹣2x+3的交点个数，容易发现函数f（x）递增的速度小于lnx递增的速度，从而通过函数f（x）和x2﹣2x+3的图象即可找到原方程解的个数．解答： 解：（1）a=时，f（x）=，f′（x）=；∴x时，f′（x）＞0；x时，f′（x）＜0；∴f（x）在定义域上的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为；（2）f′（x）=；f（x）在（0，+∞）上为增函数；∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；∴x2+（2﹣a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立；设g（x）=x2+（2﹣a）x+1，则：①若△=（2﹣a）2﹣4≤0，即0≤a≤4时，满足g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；②若△＞0，即a＜0，或a＞4时，∵g（0）=1＞0，∴a还需满足：；∴a＜2；∴此种情况下a＜0；综上得a的取值范围为（﹣∞，4]；由于当x趋向0时，lnx趋向负无穷；x趋向正无穷时，lnx+趋向正无穷，所以画出函数y=lnx+和y=x2﹣2x+3的图象如下：只要a≤4，函数f（_x）=lnx+递增的速度都小于lnx递增的速度；∴y=lnx的图象会在直线y=x的下方，而y=x2﹣2x+3的图象在y=x的上方；∴函数y=lnx+和y=x2﹣2x+3的图象没有交点；∴原方程无解．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据导数求函数单调区间的方法和过程，当二次函数在区间（0，+∞）上恒大于0时，能够限制函数中的系数，熟悉并能画出二次函数图象，以及根据递增速度画函数图象，以及根据图象求方程解的方法．19.在三棱柱P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0）（Ⅰ）当m为何值时，点A到平面PBC的距离最大，并求出最大值；（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值时，求二面角A﹣PB﹣C的大小的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取BC的中点D，连结AD、PD，过A作AE⊥PD于点E．通过线面垂直定理易得AE即为点A到平面PBC的距离，利用基本不等式计算即可；（Ⅱ）当m=3时，以点A为原点建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面PBA的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．解答： 解：（Ⅰ）取BC的中点D，连结AD、PD，过A作AE⊥PD于点E．∵PB=PC=，PA⊥底面ABC，∴PD为△PBC中BC边上的高，∴△ABC为等腰三角形，从而AD为△ABC中BC边上的高，易知AE⊥BC，又AE⊥PD，∴AE⊥平面PBC，∴AE即为点A到平面PBC的距离，∵PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0），∴CD==，PD==，AD==，∵，∴=≤=，当且仅当m2=18﹣m2，即m=3时等号成立，∴当m=3时，点A到平面PBC的距离最大，最大值为；（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值，即m=3时，有PA=3，AD==3，AB=AC==，如图，以点A为原点建立坐标系，则A（0，0，0），C（0，，0），P（0，0，3），根据三角形面积的不同表示形式，易得得B（，，0），从而=（0，0，3），=（，，﹣3），=（0，﹣，3），设平面PBA的法向量为=（x1，y1，z1），平面PBC的法向量为=（x2，y2，z2），由，，即，，取，x2=1，可得平面PBA的一个法向量为=（，，0），平面PBC的一个法向量为=（1，，），==，∴二面角A﹣PB﹣C的大小的余弦值为．点评：本题考查二面角，空间中点与面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．20.函数(1)讨论函数f(x)在区间上的极值点的个数；(2)已知对任意的恒成立，求实数k的最大值．参考答案：(1)见解析；(2)-1【分析】（1）由题意，求得函数导数，分类讨论，得出函数的单调性，进而可求得函数的极值点的个数；（2）设，先征得当时是成立的，再对时，总存在，作出证明，进而得到实数的最大值。【详解】（1）①当时，，，单调递增，在上无极值点②当时在上单调递减，，存在使得，则为的极大值点；在上单调递增，，存在使得，则为极小值点；在上存在两个极值点③当时在上单调递增，，存在使得，则为的极小值点；在上单调递减，，存在使得，则为的极大值点；在上存在两个极值点综上所述：当时，在上无极值点；当或时，在上有两个极值点。（2）设（）①先证明时成立，证明过程如下：，，，，，在上单调递增，在上单调递增，即对任意的，恒成立②下证对，总存在，，，，，当时，，（i）当时，（ii）当时，，综（i）（ii）可知，当时，在上单调递增，使得时在上单调递减时即存在，综上所述，的最大值为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。21.已知药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表：

温度x/℃212324272932产卵数y/个61120275777

经计算得：，线性回归模型的残差平方和为，分别为观察数据中温度和产卵数，（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程，且相关指数，试与（1）中的回归模型相比.①用说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果更好的模型预测温度为35℃时该中药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分为，相关指数参考答案：（1）依题意，，所以，所以关于的线性回归方程为。（2）①利用所给的数据得线性回归方程为的相关指数，因为，因此，回归模型比线性回归方程模型拟合效果更好；②由①的温度时，，因为，所以个，所以当温度时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个。22.（本小题满分12分）为了促进学生的全面发展，我省某中学重视学生社团文化建设，现用分层抽样的方法从“海济社”，“话剧社”，“动漫社”，“彩虹文艺社”四个社团中抽取若干人组成社团管理小组，有关数据见下表（单位：人）：（1）求a，b

，c

的值；

（2）若从“海济社”，“彩虹文艺社”社团已抽取的