四川省内江市石燕职业中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析

四川省内江市石燕职业中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点P（﹣1，2）到直线3x﹣4y+12=0的距离为（）A．5 B． C．1 D．2参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线3x﹣4y+12=0的距离d==．故选：B．2.与角-终边相同的角是（）A．

B.

C.

D.参考答案：C3.设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．【点评】此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．13 B．17 C．19 D．21参考答案：C【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵高三某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义得到样本组距为14是解决本题的关键．比较基础．5.设，则 （）A． B． C． D．参考答案：D6.点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得+＞a2，圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为d，根据d小于半径，可得直线和圆相交．【解答】解：∵点M（x0，y0）是圆x2+y2=a2（a＞0）外一点，∴+＞a2．圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为d=＜=a（半径），故直线和圆相交，故选B．7.已知数列{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10的值为（） A．7 B．﹣5 C．5 D．﹣7参考答案：D【考点】等比数列的通项公式． 【分析】利用数列的通项公式，列方程组求解a1，q的值，在求解a1+a10的值 【解答】解：a4+a7=2，a5a6=﹣8，由等比数列的性质可知a5a6=a4a7 a4a7=﹣8，a4+a7=2， ∴a4=﹣2，a7=4或a4=4，a7=﹣2， a1=1，q3=﹣2或a1=﹣8，q3= a1+a10=﹣7 故选：D 【点评】本题考查了数列的基本应用，典型的知三求二的题型． 8.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知，则等于（

）A．81

B．17

C．24

D．73参考答案：D∵数列{an}为等比数列，∴成等比数列，即成等比数列，∴，∴．故选D．

9.已知函数sin（ωx﹣）﹣cos（ωx﹣）（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为．（I）求f（）的值；（II）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）图象，求g（x）在区间[0，]上的单调性．参考答案：【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（I）利用两角差的正弦函数以及诱导公式化简函数的表达式，图象的两相邻对称轴间的距离为，求出函数的周期，求出ω然后，直接求f（）的值；（II）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）图象，求出函数的解析式．然后求出函数的单调区间，即可求g（x）在区间[0，]上的单调性．【解答】解：（I）函数sin（ωx﹣）﹣cos（ωx﹣）=2sin（ωx﹣﹣）=2sin（ωx﹣）=﹣2cos（ωx）…由条件两相邻对称轴间的距离为．所以T=π，，所以ω=2，∴f（x）=﹣2cos2x，f（）=﹣…（II）函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）图象，所以g（x）=﹣2cos（2x﹣），令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ，k∈Z又x∈[0，]所以g（x）在[0，]上递减，在[]上递增…10.用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___

的学生.参考答案：37由题意知抽号的间隔为5，所以在第八组中抽得号码为。12.若，且，则的最小值是______.参考答案：8【分析】利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即取等号），所以最小值为.【点睛】已知，求解（）的最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.13.定义在上的奇函数,当时,,则方程的所有解之和为

．参考答案：略14.函数在区间的单调递增区间是________________,单调递减区间是______________.参考答案：15.已知，则的最小值是

参考答案：6+试题分析：由题意知，则，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.16.已知不共线向量,，若A、B、C三点共线，则实数，t等于_________.参考答案：-117.已知函数在是单调递减函数，则实数的取值范围是

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.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，，，，，，.（Ⅰ）求证：平面CDEF⊥平面BCF；（Ⅱ）试问在线段CF上是否存在一点G，使锐二面角的余弦值为.若存在，请求出CG的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）根据二面角的平面角的定义得到即为二面角的平面角，根据，得到线面垂直，进而得到面面垂直；（Ⅱ）根据二面角的平面角的定义，结合三垂线法做出平面角是锐二面角的平面角，由几何关系得到相应结果即可.【详解】（Ⅰ）证明：∵，，∴即为二面角的平面角，∴.又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）在线段上存在一点，当符合题意，∵平面平面，在平面内，作于，又∵平面平面，则平面.过作于H，连接，∵为在平面的射影，∴是锐二面角的平面角，因为，又因为锐二面角的余弦值是，所以.取中点，易知与相似，设，则，即，解得或（舍），因此存在符合题意的点，使得.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角的应用。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。19.设f（α）=．（1）化简f（α），并求f（﹣）；（2）若f（α）=，求cosα．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简函数解析式，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．（2）由f（α）=﹣tanα=，利用同角三角函数基本关系式可求cosα=的值．【解答】解：（1）f（α）===﹣tanα，可得：f（﹣）=﹣tan（﹣）=tan=．（2）∵f（α）=﹣tanα=，可求：tanα=﹣，∴cosα===．20.求方程（sinx+cosx）tanx=2cosx在区间（0，π）上的解．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】“切化弦”的思想，利用二倍角和辅助角公式化简，即可求方程．【解答】解：（sinx+cosx）tanx=2cosx，即：（sinx+cosx）=2cosx?sin2x+sinxcosx=2cos2x?cos2x+sin2x=1+cos2x?sin2x﹣3cos2x=1?sin（2x﹣θ）=1，θ=arctan3．?sin（2x﹣θ）=，2x﹣θ=arcsin或2x﹣θ=π﹣arcsin，故得x=（arctan3+arcsin）或x=（π﹣arcsin+arctan3）21.已知f（x）=，试判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】运用单调性的定义判断得出：f（x1）﹣f（x2）==，运用定义判断符号，就可以得出f（x1）＜f（x2），利用单调性的定义判断即可．【解答】证明：设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．f（x1）﹣f（x2）==∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．∴x1﹣x2＜0，x1+x2＞0，≥0，＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．【点评】本题考查了函数的单调性的定义，关键是利用差比法分解因式，难度不大，属于中档题．22.（本小题12分）已知函数