用二分法求方程的近似解 省一等奖

开始学点一学点二学点三1.对于在区间［a,b］上连续不间断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

.2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：（1）确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε;（2）求区间(a,b)的中点c;（3）计算f(c):一分为二二分法返回①若

，则c就是函数的零点；②若

，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）;③若f(c)·f(b)<0,则令

(此时零点x0∈(c,b)).（4）判断是否达到精确度ε:即若

，则得到零点近似值a(或b)；否则重复（2）~（4）.3.判断二次函数f(x)在区间［m,n］(m<n)上的零点个数时，通常考虑判别式、对称轴、

，这一问题叫

.f(c)=0f(a)·f(c)<0a=c|a-b|<ε端点值根的分布问题返回学点一用二分法求零点的近似值求函数f(x)=x3-3的一个正零点（精确到0.01）.【分析】要求函数的一个正零点，首先需要确定正零点所在的大致区间，然后借助计算器，利用二分法求出零点近似解.【解析】由于f(1)=-2<0，f(2)=5>0，因此，可取区间［1,2］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表.返回端点（中点）坐标计算中点函数值取值区间x1==1.5f(1)=-2<0f(2)=5>0f(x1)=0.375>0f(x2)=-1.0460<0f(x3)=-0.4004<0f(x4)=-0.0295<0f(x5)=0.1684>0f(x6)>0f(x7)>0［1,2］［1,1.5］［1.25,1.5］［1.375,1.5］［1.4375,1.5］［1.4375,1.46875］［1.4375,1.463125］［1.4375,1.4453125］返回∵1.4453125-1.4375=0.0078125<0.01,∴≈1.44为函数的一个近似解.【评析】此类问题的求解，首先是大致区间的确定要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量.虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性.另外在计算到第n步时，区间［an,bn］的长度应小于精确度，此时区间中点才是零点近似解；若|an-bn|<2ε,则区间［

an，］,和［

,bn

］的长度都小于ε（且经过四舍五入的近似计算以后，与零点的真实值误差就会超过ε）,所以在计算此类问题时应注意对精确度的要求.返回求方程2x3+3x-3=0的一个实数解（精确到0.01）.考查函数f(x)=2x3+3x-3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.经试算，f(0)=-3<0,f(2)=19>0，所以函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在［0,2］内有解.取［0,2］的中点1，经计算，f(1)=2>0,又因为f(0)<0,所以方程2x3+3x-3=0在［0,1］内有解.如此下去，得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间的表：返回左端点右端点第1次02第2次01第3次0.51第4次0.50.75第5次0.6250.75第6次0.68750.75第7次0.718750.75第8次0.7343750.75第9次0.74218750.75第10次0.74218750.74609375第11次0.74218750.744140675返回可以看出区间［0.7421875,0.744140675］内的所有值，若精确到0.01，都是0.74，所以0.74是方程2x3+3x-3=0精确到0.01的实数解.返回学点二二分法的应用如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50m~100m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？【分析】根据二分法原理求解.返回【解析】（1）如图，他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查，依次查下去（2）每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此，只要7次就够了.【评析】此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学，在实际生活中处处有数学，碰到问题时多用数学方法去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养.返回中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会.如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500~1000元之间，选手开始报价：1000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？价格区间［500,1000］的中点750,如果主持人说低了，就再取［750,1000］的中点875；否则取另一个区间［500,750］的中点，若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格.返回学点三一元二次方程根的分布（1）关于x的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围;（2）关于x的方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，一根小于1，另一根大于3，求m的取值范围；（3）关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.【分析】一元二次方程根的分布问题通常转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质和图象来解决.返回【解析】（1）令f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14.∵对应抛物线开口向上，∴方程有两实根，且一个大于1，一个小于1等价于f(1)<0,即m<.（2）令f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14.由图知原命题等价于

f(1)<0m<f(3)<0m<,即m<.返回（3）令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.当m=0时，g(x)=6x+14，这时它只有一个实根，不符合题意，需舍去，当m≠0时，依题意得m>0m<0g(4)<0或g(4)>0,

解得-<m<0.【评析】这三个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解变得非常直观简捷；“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题时要注意应用.返回已知函数f(x)=8x2-(m-1)x+m-7,当m取何值时，方程两根满足：（1）均为正数；（2）一正一负；（3）都大于1.设f(x)=0的两根为x1,x2.（1）方程两根均为正，即均大于0，如图，

f(0)>0Δ≥0>0,解得7<m≤9或m≥25.返回（2）当方程有一正根一负根时，f(0)<0,∴m<7.（3）方程两根均大于1时，满足即解得m≥25.返回1.用二分法求函数的近似零点需注意什么问题？

2.在解决一元二次方程根的分布问题时，应注意哪几个方面？（1）首先是大致区间的确定要使区间长度小，否则会增加运算次数和运算量.虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性.（2）在计算到第n步时，区间［an,bn］的两个端点an与bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值才是函数y=f(x)的近似零点，所以在计算此类问题时应注意对精确度的要求.在解决一元二次方程根的分布问题时，函数的零点在什么区间内，我们主要是利用二次函数、二次方程和二次不等式之间的关系进行研究的，注意考虑函数在所给区间的端点值，二次函数的开口方向与对称轴位置以及判别式大小.返回1.用二分法求方程近似解要注意：（1）要看清题目要求的精确度；（2）初始区间的限定；（3）要按步骤进行.2.用二分法求函数零点的近似解x0，要求精确度为ε，即零点的近似解