2023年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.若级数在x=-1处收敛，则此级数在x=2处

A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不能确定

2.

A.3(x+y)

B.3(x+y)2

C.6(x+y)

D.6(x+y)2

3.A.1

B.0

C.2

D.

4.若y=ksin2x的一个原函数是(2/3)cos2x，则k=

A.-4/3B.-2/3C.-2/3D.-4/3

5.A.(－5，5)B.(－∞，0)C.(0，+∞)D.(－∞，+∞)

6.当α＜x＜b时，f'(x)＜0，f'(x)＞0。则在区间(α，b)内曲线段y=f(x)的图形A.A.沿x轴正向下降且为凹B.沿x轴正向下降且为凸C.沿x轴正向上升且为凹D.沿x轴正向上升且为凸

7.

8.

9.下列命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

10.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.1

11.

12.

13.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

14.

15.设函数f(x)＝2sinx，则f(x)等于（）．

A.2sinxB.2cosxC.－2sinxD.－2cosx

16.

17.设f'(x)=1+x，则f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

18.

19.级数(a为大于0的常数)()．A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

20.

二、填空题(20题)21.设f(x)在x=1处连续，22.23.________。24.

25.

26.

27.

28.∫(x2-1)dx=________。

29.

30.二阶常系数齐次线性方程y"=0的通解为__________。

31.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

32.

33.设y=3x，则y"=_________。34.35.

36.

37.

38.

39.

40.设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=-2，则三、计算题(20题)41.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．42.

43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．44.证明：

45.

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．47.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．48.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．49.求微分方程的通解．50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．51.52.

53.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．54.

55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

56.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

57.

58.59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)61.

(1)切点A的坐标(a，a2)．

(2)过切点A的切线方程。62.

63.

64.计算∫xsinxdx。

65.

66.

67.

68.69.计算∫xcosx2dx．70.(本题满分10分)将f(x)＝ln(1＋x2)展开为x的幂级数．五、高等数学(0题)71.

=()。

A.0B.1C.2D.4六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C由题意知，级数收敛半径R≥2，则x=2在收敛域内部，故其为绝对收敛.

2.C

因此选C．

3.C

4.D解析：

5.C本题考查的知识点为判定函数的单调性。

6.A由于在(α，b)内f'(x)＜0，可知f(x)单调减少。由于f"(x)＞0，

可知曲线y=f'(x)在(α，b)内为凹，因此选A。

7.C

8.D解析：

9.D

10.C本题考查的知识点为定积分的运算。

故应选C。

11.A

12.C

13.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

14.C

15.B本题考查的知识点为导数的运算．

f(x)＝2sinx，

f(x)＝2(sinx)≈2cosx．

可知应选B．

16.B解析：

17.C本题考查的知识点为不定积分的性质．

可知应选C．

18.B解析：

19.A本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．

注意为p=2的p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知收敛，故绝对收敛，应选A．

20.C21.2本题考查的知识点为：连续性与极限的关系；左极限、右极限与极限的关系．

由于f(x)在x=1处连续，可知必定存在，由于，可知=

22.

23.

24.

25.-2y

26.

27.[-11]

28.

29.x=-3x=-3解析：

30.y=C1+C2x。31.

32.33.3e3x

34.35.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

36.

37.-2/π本题考查了对由参数方程确定的函数求导的知识点.

38.y=1/2y=1/2解析：

39.3x2+4y40.-141.函数的定义域为

注意

42.由一阶线性微分方程通解公式有

43.由二重积分物理意义知

44.

45.

46.

47.

48.

49.50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.

52.

则

53.

列表：

说明

54.

55.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

56.由等价无穷小量的定义可知

57.

58.

59.

60.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％61.本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程．

α=1．

因此A点的坐标为(1，1)．

过A点的切线方程为y一1=2(x一1)或y=2x一1．

本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧．

62.

6