2023年湖北省荆门市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年湖北省荆门市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

2.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

3.A.1B.0C.2D.1/2

4.

5.

6.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

7.

8.

9.

10.

11.A.sin(2x－1)＋C

B.

C.－sin(2x－1)＋C

D.

12.

13.若函数f(x)=5x，则f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

14.收入预算的主要内容是（）

A.销售预算B.成本预算C.生产预算D.现金预算15.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)＞0，则f(x)在(0，1)内A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

16.

A.2B.1C.1/2D.0

17.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

18.A.A.1B.2C.3D.4

19.微分方程y′-y=0的通解为()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

20.

二、填空题(20题)21.设f(x，y，z)=xyyz，则

=_________．22.23.级数的收敛区间为______．24.25.

26.

27.设y=ex，则dy=_________。

28.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______．

29.曲线y=(x+1)/(2x+1)的水平渐近线方程为_________.

30.

31.

32.曲线y=x3－3x2－x的拐点坐标为____。

33.

34.设，则y'=________。35.

36.

37.微分方程dy＋xdx=0的通解为y=__________．

38.

39.设y=x2+e2，则dy=________40.

三、计算题(20题)41.

42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

43.44.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．45.46.

47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．48.证明：49.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则50.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

51.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

52.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

53.求微分方程的通解．

54.

55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．56.57.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．58.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

59.

60.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)61.62.63.研究y=3x4-8x3+6x2+5的增减性、极值、极值点、曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点．64.65.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．

66.

67.求曲线y=在点(1，1)处的切线方程．

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.设生产某产品利润L(x)=5000+x一0．0001x2百元[单位：件]，问生产多少件时利润最大，最大利润是多少?

六、解答题(0题)72.计算∫tanxdx。

参考答案

1.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

2.C

3.C

4.A

5.A

6.D

7.B

8.D

9.C

10.B

11.B本题考查的知识点为不定积分换元积分法。

因此选B。

12.B

13.C本题考查了导数的基本公式的知识点。f'(x)=(5x)'=5xln5.

14.A解析：收入预算的主要内容是销售预算。

15.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)内单调增加。因此选B。

16.D本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．

17.A由于定积分

存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．

18.A

19.C所给方程为可分离变量方程．

20.D

21.=xylnx.yz+xy.zyz-1=xyz-1y(ylnx+z)。22.1．

本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．23.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

24.

25.本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

26.

解析：

27.exdx28.(0，+∞)本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于y=ln(1+x2)，其定义域为(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一驻点x=0．

当x＞0时，总有y'＞0，从而y单调增加．

可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+∞)．

29.y=1/2本题考查了水平渐近线方程的知识点。

30.y=x3+1

31.-132.（1，-1）

33.4x3y

34.

35.1/3本题考查了定积分的知识点。

36.y+3x2+x

37.

38.f(x)+Cf(x)+C解析：39.(2x+e2)dx40.

41.

则

42.

43.

44.

列表：

说明

45.

46.由一阶线性微分方程通解公式有

47.

48.

49.由等价无穷小量的定义可知50.函数的定义域为

注意

51.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

52.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

53.

54.

55.由二重积分物理意义知

56.

57.

58.

59.60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

61.本题考查的知识点为求解－阶线性微分方程．

将方程化为标准形式

求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：

解法1利用求解公式，必须先将微分方程化为标准形式y＋p(x)y＝q(x)，则

解法2利用常数变易法．

原方程相应的齐次微分方程为

令C＝C(x)，则y＝C(x)x，代入原方程，可得

可得原方程通解为y＝x(x＋C)．

本题中考生出现的较常见的错误是：

这是由于没有将所给方程化为标准方程而导致的错误．读者应该明确，上述通解公式是标准方程的通解公式．62.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分．

这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得

得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)．

本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示－个数值”的性质．

这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中．

63.本题考查的知识点为导数的应用．

这个题目包含了利用导数判定函数的单调性；

求函数的极值与极值点；

求曲线的凹凸区间与拐点．

64.65.所给曲线围成的平面图形如图1-3所示．

解法1利用定积分求平面图形的面积．由于的解为x=1，y=2，可得

解法2利用二重积分求平面图形面积．由于

的解为x=1，y=2，

求旋转体体积与解法1同．本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积．

本题也可以利用二重积分求平面图形的面积．

66.67.由于

所以

因此曲线y=在点(1，1)处的切线方程为或写为x-2y+1=0本题考查的知识点为曲线的切线方程．

68.

69.

70.

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(x