多元时间序列

第十一章

多元时间序列分析

本章结构VAR协整误差修正模型学习目的：研究序列之间的关系多元时间序列多元时间序列自协方差阵：多元时间序列Ljung-Box检验VAR(1)模型VAR(p)模型其他还有VMA,VARMA等模型具体见教材第第8章。单整单整的概念如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为假如一个时间序列至少需要进行d阶差分才能实现平稳，说明原序列存在d个单位根，这时称原序列为d阶单整序列，简记为单整的性质若，，对任意非零零实数a,b，有若，，对任意非非零实数a,b，有若，，独独立，对任任意非零实数数a,b，有若，，独独立，对对任意非零零实数a,b，有经济理论指指出，某些些经济变量量间确实存存在着长期期均衡关系系，这种均均衡关系意意味着经济济系统不存存在破坏均均衡的内在在机制，如如果变量在在某时期受受到干扰后后偏离其长长期均衡点点，则均衡衡机制将会会在下一期期进行调整整以使其重重新回到均均衡状态。。假设X与Y间的长期““均衡关系系”由式描描述长期均衡该均衡关系系意味着:给定X的一个值，，Y相应的均衡衡值也随之之确定为0+1X。在t-1期末，存在在下述三种种情形之一一：Y等于它的均均衡值：Yt-1=0+1Xt；Y小于它的均均衡值：Yt-1<0+1Xt；Y大于它的均均衡值：Yt-1>0+1Xt；在时期t，假设X有一个变化化量Xt，如果变量量X与Y在时期t与t-1末期仍满足足它们间的的长期均衡衡关系，即即上述第一一种情况，，则Y的相应变化化量为:vt=t-t-1如果t-1期末，发生生了上述第第二种情况况，即Y的值小于其其均衡值，，则t期末Y的变化往往往会比第一一种情形下下Y的变化大一一些；反之，如果果t-1期末Y的值大于其其均衡值，，则t期末Y的变化往往往会小于第第一种情形形下的Yt。可见，如果果Yt=0+1Xt+t正确地提示示了X与Y间的长期稳稳定的“均衡关系”，则意味着着Y对其均衡点点的偏离从从本质上说说是“临时性”的。一个重要的的假设就是是:随机扰动项项t必须是平稳稳序列。如果t有随机性趋趋势（上升升或下降）），则会导导致Y对其均衡点点的任何偏偏离都会被被长期累积积下来而不不能被消除除。协整协整检验一、协整概概念与定义义在经济运行行中，虽然然一组时间间序列变量量都是随机机游走，但但它们的某某个线性组组合却可能能是平稳的的，在这种种情况下，，我们称这这两个变量量是平稳的的，既存在在协整关系系。其基本思想想是，如果果两个(或两个以上上)的时间序列列变量是非非平稳的，，但它们的的某种线性性组合却表表现出平稳稳性，则这这些变量之之间存在长长期稳定关关系，即协协整关系。。我们将给出出协整这一一重要概念念。一般而言，，协整是指指两个或两两个以上同同阶单整的的非平稳时时间序列的的组合是平平稳时间序序列，则这这些变量之之间的关系系的就是协协整的。协整在金融融计量中的的主要应用用目前，协整整模型已经经成为重要要的金融计计量模型，，在经济研研究中得到到普遍或广广泛的应用用。通过检检验经济序序列之间是是否存在协协整关系，，来判断对对应变量间间是否存在在经济意义义上的“均均衡”关系系。在此，，我们对协协整模型在在金融计量量中的应用用主要总结结如下几个个方面：（一）金融融发展和经经济增长之之间关系检检验（二）期货货价格和现现货价格之之间关系的的检验（三）货币币需求理论论的实证检检验（四）购买买力平价理理论的检验验例总统的支持持率与国家家的经济运运行状况达达到一种平平衡状态。。(OstromandSmith1992).具体地，如如果经济运运行状况良良好，但是是支持率不不高时，一一般支持率率会升高；；反之，如果果经济状况况不好，但但是支持率率很高的话话，一般支支持率会降降到平衡水水平。具体模型InOstromandSmith’s(1992)model:At=Xt+(At-1-Xt-1)+twhere At=approvalXt=qualityoflifeoutcome协整的概念念假定自变量量序列为，，响应变变量序列为为，，如果与与是是同阶单单整的。则则可以构造造回归模型型其中，回归归残差序列列平平稳，我们们称响应序序列与与自变量量序列之之间间具有协整整关系。如果两个变变量都是单单整变量，，只有当它它们的单整整阶数相同同时，才可可能协整；；如果它们们的单整阶阶数不相同同，就不可可能协整。。例对1978年－－2002年中中国农村村居民家家庭人均均纯收入入对数序序列{lnxt}和生活消消费支出出对数序序列{lnyt}进行协整整关系检检验。中国农村村居民家家庭人均均纯收入入和生活活消费支支出序列列年份纯收入生活消费支出年份纯收入生活消费支出

xtlnxt

ytlnyt

xtlnxt

ytlnyt

1978133.64.89485116.14.754451991708.66.56329619.86.42941979160.75.07954134.54.9015619927846.66441659.86.491941980191.35.25384162.25.088831993921.66.82611769.76.6461981223.45.40896190.85.25123199412217.107431016.86.924421982270.15.59879220.25.3945419951577.77.363721310.47.178091983309.85.73593248.35.5146419961926.17.563251572.17.360171984355.35.87296273.85.612419972090.17.644971617.27.388451985397.65.98545317.45.76016199821627.678791590.37.371681986423.86.049263575.8777419992210.37.700881577.47.363531987462.66.13686398.35.9872120002253.47.72021670.17.420641988544.96.3006476.76.1668920012366.47.7691317417.462211989601.56.39943535.46.28301200224767.814418347.514251990686.36.53131584.66.37093

例时序序图对数序列列时序图图构造回归归模型模型选择择一元线性性模型估计方法法最小二乘乘估计模型拟合合残差序列列单位根根检验我们可以以以91.55%（（1－0.0845））的把握握断定残差差序列平平稳且具具有一阶阶自相关关性最终拟合合模型一般的如果序列列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，，存在向向量=(1,2,…,k)，使得Zt=XT~I(d-b)，其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向向量（cointegratedvector）。如果两个个变量都都是单整整变量，，只有当当它们的的单整阶阶数相同同时，才才可能协协整；如如果它们们的单整整阶数不不相同，，就不可可能协整整。3个以上的的变量，，如果具具有不同同的单整整阶数，，有可能能经过线线性组合合构成低低阶单整整变量。。（d,d）阶协整整是一类类非常重重要的协协整关系系，它的的经济意意义在于于：两个变量量，虽然然它们具具有各自自的长期期波动规规律，但但是如果果它们是是（d,d）阶协整整的，则则它们之之间存在在着一个个长期稳稳定的比比例关系系。例如，中中国CPC和GDPPC，它们各各自都是是2阶单整，，如果它它们是(2,2)阶协整，，说明它它们之间间存在着着一个长长期稳定定的比例例关系，，从计量量经济学学模型的的意义上上讲，建建立如下下居民人人均消费费函数模模型是合合理的。。尽管两个个时间序序列是非非平稳的的，也可可以用经经典的回回归分析析方法建建立回归归模型。。从这里，，我们已已经初步步认识到到：检验变量量之间的的协整关关系，是是非常重重要的。。而且，从从变量之之间是否否具有协协整关系系出发选选择模型型的变量量，其数数据基础础是牢固固的，其其统计性性质是优优良的。协整检验验对于协整整的定义义，有四四个重要要特征值值得注意意：（1）协整只只涉及非非平稳变变量的线性组合。从从理论上上而言，，在一组组非平稳稳变量中中，极有有可能存存在着非线性的长期均均衡关系系。（2）协整只只涉及阶阶数相同同的单整整变量。。如果变变量的单单整阶数数不同，，则按照照通常的的学术意意义，可可以认为为它们不不存在协协整关系系。（3）如果有有n个非平稳稳序列，，则有n-1个线性独立立的协整向量量。协整整向量的的个数称称为的的协整整秩。显显然，若若只只包含两两个变量量，则最最多只有有一个独独立的协协整向量量。（注意可能能的共线性性）（4）大多数协协整的相关关研究集中中在每个变变量只有一一个单位根根的情况，，其原因在在于古典回回归分析或或时间序列列分析是建建立在变量量是的的条件件下，而极极少数的经经济变量是是单整阶数数大于1的变量。协整检验假设条件原假设：多元非平稳稳序列之间间不存在协协整关系备择假设：：多元非平稳稳序列之间间存在协整整关系检验步骤建立响应序序列与输入入序列之间间的回归模模型对回归残差差序列进行行平稳性检检验一、、协协整整检检验验—E-G检验验二、协协整整检检验验—JJ检验验协整整检检验验1、两两变变量量的的Engle-Granger检验验为了了检检验验两两变变量量Yt,Xt是否否为为协协整整，，Engle和Granger于1987年提提出出两两步步检检验验法法，，也也称称为为EG检验验。。第一一步步，，用OLS方法法估估计计方方程程Yt=0+1Xt+t并计算非非均衡误误差，得得到：称为协整回归归(cointegrating)或静态回归归(staticregression)。非均衡误误差的单单整性的的检验方方法仍然然是DF检验或者者ADF检验。需要注意意是，这这里的DF或ADF检验是针针对协整整回归计计算出的的误差项项，而非非真正的的非均衡衡误差。。而OLS法采用了了残差最最小平方方和原理理，因此此估计量量是向下下偏倚的的，这样样将导致致拒绝零零假设的的机会比比实际情情形大。。于是对对εt平稳性性检验验的DF与ADF临界值值应该该比正正常的的DF与ADF临界值值还要要小。。MacKinnon(1991)通过模模拟试试验给给出了了协整整检验验的临临界值值例检验中中国居居民人人均消消费水水平CPC与人均均国内内生产产总值值GDPPC的协整关关系。已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，已已知它们们的回归归式R2=0.9981对该式计计算的残残差序列列作ADF检验，适适当检验验模型为为：（-4.47）(3.93)(3.05)LM(1)=0.00LM(2)=0.00t=-4.47<-3.75=ADF0.05，拒绝存存在单位位根的假假设，残残差项是是平稳的的。因此此中国居民民人均消消费水平平与人均均GDP是(2,2)阶协整的，说说明了该两变变量间存在长长期稳定的“均衡”关系。2、多变量协整整关系的检验验—扩展的E-G检验

多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种平稳的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：非均衡误差项t应是I(0)序列：然而，如果Z与W，X与Y之间分别存在在长期均衡关关系：则非均衡误差差项v1t、v2t一定是平稳序序列I(0)。于是它们的的线性组合也也可能是平稳稳的。例如可能是I(0)序列。由于vt像t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线线性组合，由由此vt式也成为该四四变量的另一一平稳线性组组合。(1,-0,-1,-2,-3)是对应于t式的协整向量量，(1,-0-0,-1,1,-1)是对应于vt式的协整向量量。检验程序：对于多变量的的协整检验过过程，基本与与双变量情形形相同，即需需检验变量是是否具有同阶阶单整性，以以及是否存在在平稳的线性性组合。在检验是否存存在平稳的线线性组合时，，需通过设置置一个变量为为被解释变量量，其他变量量为解释变量量，进行OLS估计并检验残残差序列是否否平稳。如果不平稳，，则需更换被被解释变量，，进行同样的的OLS估计及相应的的残差项检验验。当所有的变量量都被作为被被解释变量检检验之后，仍仍不能得到平平稳的残差项项序列，则认认为这些变量量间不存在(d,d)阶协整。检验残差项是是否平稳的DF与ADF检验临界值要要比通常的DF与ADF检验临界值小小，而且该临临界值还受到到所检验的变变量个数的影影响。MacKinnon(1991)通过模拟试验验得到的不同同变量协整检检验的临界值值。3、高阶单整变变量的Engle-Granger检验E-G检验是针对2个及多个I(1)变量之间的协协整关系检验验而提出的。。在实际宏观经经济研究中，，经常需要检检验2个或多个高阶阶单整变量之之间的协整关关系，虽然也也可以用E-G两步法，但是是残差单位根根检验的分布布同样已经发发生改变。二、协整检验验—JJ检验1、JJ检验的原理Johansen于1988年，以及与Juselius一起于1990年提出了一种种用向量自回回归模型进行行检验的方法法，通常称为为Johansen检验，或JJ检验，是一种进行多多重I(1)序列协整检验验的较好方法法。Johansen协整检验Engle-Granger两步法有三个个缺点，首先先，数据的有有限性导致有有限样本在单单位根和协整整检验时有缺缺陷；第二，，可能会导致致联立因果偏偏差。第三三，该方法无无使对出现在在第一步的真真实的协整关关系进行假设设检验。Johansen方法是建立立在矩阵秩秩和特征根根之间关系系的基础上上的,考虑多元时时间序列模模型VAR,VARMA等。没有移动平平均项的向量自回归归模型表示为：差分Yt为M个I(1)过程构成的向量只有产生协整，才能保证新生误差是平稳过程I(0)过程I(0)过程将y的协整问题题转变为讨讨论矩阵Π的性质问题题于是,将yt中的协整检检验变成对对矩阵Π的分分析析问问题题。。这这就就是是JJ检验的基本原原理。两种检验方法法：特征值轨迹检检验最大特征值检检验2.JJ检验的预备工工作第一步，用OLS分别估计下式式中的每个方方程，计算残残差，得到残残差矩阵S0，为一个(M×T)阶矩阵。第二步，用OLS分别估计下式式中的每一个个方程，计算算残差，得到到残差矩阵S1，也为一个(M×T)阶矩阵。第三步，构造上述残差差矩阵的积矩矩阵：第四步，计算有序特征征值和特征向向量。第五步，设定似然函数数。3.JJ检验之一—特征值轨迹检检验服从Johansen分布。被称为为特征值轨迹统统计量。嵌套检验……，一直检验下去去，直到出现现第一个不显显著的η(M－r)为止，说明存存在r个协整向量。。这r个协整向量就就是对应于最最大的r个特征值的经经过正规化的的特征向量。。4.JJ检验之一——最大特征值检检验该统计量被称称为最大特征值统统计量。于是该检验验被称为最大大特征值检验验。由Johansen和Juselius于1990年计算得到Johansen分布临界值表表。5.JJ检验实例国内生产总值值GDP、居民消费总总额CONSR、政府消费总总额CONSP、资本形成总总额INV取对数后为I(1)序列。即lnGDP、lnCONSR、lnCONSP、lnINV。对它们之间的的协整关系进进行检验。两种方法的结结论是一致的的。JJ检验中的几个个具体问题能否适用于高高阶单整序列列？JJ检验只能用于于2个或多个I(1)变量的协整检检验。对于多个高阶阶单整序列，，采用差分或或对数变换等等将其变为I(1)序列，显然是是可行的。但但是，这时协协整以至均衡衡的经济意义义发生了变化化，已经不反反映原序列之之间的结构关关系。如何选择截距距和时间趋势势项？分别考虑CE和VAR中是否有截距距和时间趋势势项作为假设显著性性检验验重新检检验对协整整关系系检验验结果果无显显著影影响（（检验验统计计量发发生变变化，，但临临界值值同时时发生生变化化）如何在在多个个协整整关系系中作作出选选择？？一般选选择对对应于于最大大特征征值的的第1个协整整关系系从应用用的目目的出出发选选择格兰杰杰因果果检验验一、经经济变变量间间的因因果关关系经济生生活中中，常常常会会遇到到的一一类问问题就就是一一个变变量的的变化化是否否为另另一个个变量量的原原因。。例如如，是是货币币供应应量的的变化化引起起GDP的变化化，还还是GDP的变化化和货货币供供应量量都是是内生生决定定的；；货币币量的的波动动是否否与收收入之之间存存在某某种内内在因因果关关联等等等。。只有有确定定了这这些问问题，，我们们才能能更好好的做做好经经济预预测工工作。。要回回答这这些问问题，，常常常用到到的一一种方方法就就是经经济变变量间间的因因果检检验法法。因果关关系(causalrelationship)最早是是由Granger提出的的。Granger因果性性表示了了时间间序列列之间间的领领先与与滞后后关系系，只是时时间上上的因因果关关系，，重在在影响响方向向的确确认，，而非非完全全的因因果关关系。格兰杰因果果检验二、格兰杰杰因果检验验格兰杰因果果检验（GrangerCausalityTest）的基本思思想是：对于经济变变量X和Y，若X的变化引起起了Y的变化，X的变化应当当在Y的变化之前前。即若认为““X是引起Y变化的原因因”，就必必须满足两两个条件：：（1）X应当有助于于预测Y，即在Y关于X的过去值的的回归中，，增添X的过去值作作为独立变变量应当显显著地增加加模型回归归的解释能能力；（2）Y不应当有助助于X预测，其原因是是若X有助于预测测Y，Y也有助预测测X，则可能存存在一个或或几个其它它的变量，，它们是引引起X变化的原因因，也是引引起Y变化的原因因。格兰杰因果果检验的实实现（1）单位根检检验检验变量之之间是否存存在协整关关系以及因因果关系的的前提是检检验各变量量是否服从从单位根过过程，即变变量序列是是否是一阶阶单整过程程（integratedoforder1），记作作。。常用用的单位位根检验验方法是是ADF（augmentedDickey-Fuller）检验。。（2）协整检检验对于存在在单位根根的两组组或两组组以上的的时间序序列，如如果它们们的线性性组合是是平稳的的过过程程，则它它们之间间存在协协整关系系。对于于服从过过程程的变量量的协整整检验。。根据Engle和Granger在1987年提出基基于回归归残差的的两步法法进行检检验法，，我们对对香港恒恒生指数数（HSI）和香港港股票市市场卖空空交易额额（SS）之间的的关系进进行研究究，以验验证两者者之间是是否存在在所谓的的协整关关系。（3）格兰杰杰因果关关系检验验格兰杰因因果检验验要检验这这两个条条件是否否成立，，我们需需要检验验一个变变量对预预测另一一个变量量有无解解释能力力的原假假设，即即检验X是否是引引起Y变化的原原因。完完成这一一检验，，需要进进行如下下步骤：：步骤1：为检验验“X不是引起起Y变化的原因””的原假设，，利用OLS法估计回归模模型。步骤2：根据各回归归的残差平方方和计算F统计量，检验验系数满足假假设：：。。步骤3：利用F统计量检验原原假设。。例香港市场引入入卖空机制股股市冲击效应应的实证分析析选取变量为香香港恒生指数数（HSI）和股票卖空空交易额（SS）两组变量，，以验证香港港市场卖空机机制对股市的的冲击效应。。时间区间为为1999年1月至2003年12月的60个月。检验步骤如下下：（1）单位根检验验（2）协整检验（3）因果关系检检验从检验结果中中可以发现，，在香香港港股股票票市市场场中中，，恒恒生生指指数数的的变变动动与与股股票票卖卖空空交交易易额额之之间间既既并并不不存存在在所所谓谓的的协协整整关关系系，，也也不不存存在在因因果果引引致致关关系系。。对于这样样的检验验结果，，我们可可以作出出这样的的解释：：即卖空机机制的推推出对于于整个香香港股票票市场而而言，没没有造成成市场的的大幅度度波动，，即便市市场出现现异常波波动，这这一波动动也不是是由于卖卖空机制制本身造造成的。。建立协整整关系的的方法E-G两步法：：通常用于于检验两变量之间的协协整关系系。(EngleandGranger1987)2.Johansen检验:对于多变量之间的协协整关系系则采用用Johansen检验。Johansen基于VARs的协整方方法(Johansen1988)提出。E-G两步法具体分为为以下两两个步骤骤：第一步是是应用OLS对两个同同阶单整整的变量量建立下下列方程程这一模型型称为协协整回归归，称为为协整参参数，并并得到相相应的残残差序列列：第二步检检验序序列的平平稳性。。（单位根根检验，，或者CRDW检验，cointegrationregressionDubinWatsontest）伪回归如果对非非平稳性性数据进进行回归归，则在在回归结结果中，，我们可可能会发发现R2很高，t值也极高高，这似似乎表示示变量之之间存在在着很好好的拟合合关系。。但是，同同时会发发现杜宾宾-沃森d值偏低。。这时，，则可能能存在伪伪回归（（spuriousregressions）现象发发生。即即回归结结果是不不正确的的。Granger和Newbold曾经提出出一个良良好的经经验规则则：当时时，所估估计的回回归就有有谬误之之嫌。有时候时时间序列列的高度度相关仅仅仅是因因为两者者同时随随时间有有或上或或下变动动的趋势势，并没没有真正正的联系系。这种种情况就就称为伪伪回归。。例上证指数数A股和B股、SZA深综指之之间的协协整关系系检验我们选取取上证指指数A股（SHA）和B股(SHB)、深综指指(SZA)为检验对对象，数数据区间间为2003年12月1日至2005年12月1日。从图图中我们们可以看看出，上上海A股市场、、B股市场与与深圳A股市场之之间存在在一定的的共同变变化趋势势。误差修正正模型（（ECM）一般差分分模型的的问题对于非稳稳定时间间序列，，可通过过差分的的方法将将其化为为稳定序序列，然然后才可可建立经经典的回回归分析析模型。。模型只表表达了X与Y间的短期期关系，，而没有有揭示它它们间的的长期关关系。关于变量量水平值值的重要要信息将将被忽略略。误差项t不存在序序列相关关，t是一个一阶移动动平均时时间序列列，因而是序列相相关的。。误差修正正模型（（ECM）ECM模型的说说明误差修正正模型，，就是解解决两个个经济变变量的短短期失衡衡问题，，这种方方法日益益被越来来越多的的实证研研究所应应用。通通过误差差修正机机制，在在一定期期间的失失衡部门门可以在在下一期期得到纠纠正。ECM的基本本思想想是：：若变变量之之间存存在协协整关关系，，则表表明这这些变变量间间存在在着长长期均均衡的的关系系，而而这种种长期期均衡衡关系系是在在短期期波动动过程程中不不断调调整下下实现现的。。误差修修正模模型常常常作作为协协整回回归模模型的的补充充模型型出现现协整模模型度度量序序列之之间的的长期期均衡衡关系系，而而ECM模型则则解释释序列列的短短期波波动关关系误差修修正模模型此假定定经济济变量量和和之之间的的长期期关系系为：：其中，，和和为为估估计常常数。。是是对对的的长期期弹性性。两两边取取对数数，可可得到到：或当变量量处处于于非均均衡时时，等等式两两边便便存在在一个个差额额，即即：以此来来衡量量两个个经济济变量量之间间的偏偏离程程度。。这里里，表表示示的t-1期的非非均衡衡误差差。响应序序列的的当期期波动动主主要要会受受到三三方面面短期期波动动的影影响输入序序列的的当期期波动动上一期期的误误差纯随机机波动动误差修修正模模型误差修修正模模型是一种种具有有特定定形式式的计计量经经济学学模型型.由于现现实经经济中中很少少处在在均衡衡点上上，假假设具具有（（1,1）阶分分布滞滞后形形式Y的变化化决定定于X的变化化以及及前一一时期期的非非均衡衡程度度。一阶误误差修修正模模型(first-ordererrorcorrectionmodel)的形式式：若(t-1)时刻Y大于其其长期期均衡衡解0+1X，ecm为正，，则(-ecm)为负，，使得得Yt减少；；若(t-1)时刻Y小于其其长期期均衡衡解0+1X，ecm为负，则(-ecm)为正，使得得Yt增大。体现了长期期非均衡误误差对短期期变化的控控制。复杂的ECM形式，例如：误差修正模模型的优点点：如：a）一阶差分分项的使用用消除了变变量可能存存在的趋势势因素，从从而避免了了虚假回归归问题；b）一阶差分分项的使用用也消除模模型可能存存在的多重重共线性问问题；c）误差修正正项的引入入保证了变变量水平值值的信息没没有被忽视视；d）由于误差差修正项本本身的平稳稳性，使得得该模型可可以用经典典的回归方方法进行估估计，尤其其是模型中中差分项可可以使用通通常的t检验与F检验来进行行选取；等等等。误差修正模模型的建立立Granger表述定理（Grangerrepresentaiontheorem）Engle与Granger1987年提出如果变量X与Y是协整的，，则它们间间的短期非非均衡关系系总能由一一个误差修修正模型表表述。模型中没有有明确指出出Y与X的滞后项数数，可以是是多阶滞后后；由于一阶差差分项是I(0)变量，因此此模型中允允许采用X的非滞后差差分项Xt。建立误差修修正模型，需要：首先对变量进行行协整分析析，以发现现变量之间间的协整关关系，即长长期均衡关关系，并以以这种关系系构成误差差修正项。。然后建立短期模模型，将误误差修正项项看作一个个解释变量量，连同其其它反映短短期波动的的解释变量量一起，建建立短期模模型，即误误差修正模模型。Engle-Granger两步法第一步，进行协整回回归（OLS法），检验验变量间的的协整关系系，估计协协整向量（（长期均衡衡关系参数数）；第二步，若协整性性存在，则则以第一步步求到的残残差作为非非均衡误差差项加入到到误差修正正模型中，，并用OLS法估计相应应参数。需要注意的的是：在进行变量量间的协整整检验时，，如有必要要可在协整整回归式中中加入趋势势项，这时时，对残差差项的稳定定性检验就就无须再设设趋势项。。另外，第二步中中变量差分分滞后项的的多少，可可以残差项项序列是否否存在自相相关性来判判断，如果果存在自相相关，则应应加入变量量差分的滞滞后项。经济理论指指出，居民民消费支出出是其实际际收入的函函数。以中国国民民核算中的的居民消费支支出经过居居民消费价价格指数缩缩减得到中中国居民实实际消费支支出时间序序列（C）；以支出法GDP对居民消费费价格指数数缩减近似似地代表国国民收入时时间序列(GDP)。时间段为1978~2000（表）例中国居民消消费的误差差修正模型型（1）对数据lnC与lnGDP进行单整检检验容易验证lnC与lnGDP是一阶单整整的，它们们适合的检检验模型如如下：(3.81)（-4.01）（（2.66）（（2.26）（（2.54）LM(1)=0.38LM(2)=0.67LM(3)=2.34LM(4)=2.46首先先，，建建立立lnC与lnGDP的回回归归模模型型（2）检检验验lnC与lnGDP的协协整整性性，，并并建建立立长长期期均均衡衡关关系系（0.30）(57.48)R2=0.994DW=0.744发现现有有残残关关项项有有较较强强的的一一阶阶自自相相关关性性。。考考虑虑加加入入适适当当的的滞滞后后项项，，得得lnC与lnGDP的分分布布滞滞后后模模型型(1.63)(6.62）（（4.92）（（-2.17）R2=0.994DW=1.92LM(1)=0.00LM(2)=2.31自相相关关性性消消除除，，因因此此可可初初步步认认为为是是lnC与lnGDP的长长期期稳稳定定关关系系。。残差差项项的的稳稳定定性性检检验验：：（-4.32）R2=0.994DW=2.01LM(1)=0.04LM(2)=1.34t=-4.32<-3.64=ADF0.05说明明lnC与lnGDP是（（1，1）阶阶协协整整的的，，下下式式即即为为它它们们长长期期稳稳定定的的均均衡衡关关系系:以稳稳定定的的时时间间序序列列（3）建建立立误误差差修修正正模模型型做为为误误差差修修正正项项，，可可建建立立如如下下误差差修修正正模模型型:（6.96）(2.96)(-1.91)(-3.15)R2=0.994DW=2.06LM(1)=0.70LM(2)=2.04由式可得lnC关于lnGDP的长期期弹性性：(0.698-0.361)/(1-0.622)=0.892；由（**））式可可得lnC关于lnGDP的短期期弹性性：0.686(**)用打开误误差修修正项项括号号的方方法直直接估估计误误差修修正模模型，适当当估计计式为为:（1.63）(6.62）(-2.99)(2.88)R2=0.791=0.0064DW=1.93LM(2)=2.31LM(3)=2.78写成误误差修修正模模型的的形式式如下下由上式式知，，lnC关于lnGDP的短期期弹性性为0.698，长期期弹性性为0.892。可见两种方方法的的结果果非常常接近近。（4）预测测由式给出1998年关于于长期期均衡衡点的的偏差差：=ln(18230)-0.152-0.698ln(39008)-0.662ln(17072)+0.361ln(36684)=0.0125由式预测1999年的短短期波波动：：lnC99=0.686(ln(41400)-ln(39008))+0.784(ln(18230)-ln(17072))-0.484(ln(39008)-ln(36684))-1.163×0.0125=0.048于是按照式预测的结结果为:lnC99=0.698（ln(41400)-ln(39008))-0.378(ln(18230)-0.405-0.892ln(39008))=0.051以当年价价计的1999年实际居居民消费费支出为为39334亿元，用用居民消消费价格格指数（（1990=100）紧缩后后约为19697亿元，两个预测测结果的的相对误误差分别别为2.9%与2.6%。于是9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。13:39:2613:39:2613:391/1/20231:39:26PM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2313:39:2613:39Jan-2301-Jan-2312、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。13:39:2613:39:2613:39Sunday,January1,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2313:39:2713:39:27January1,202314、他乡生白白发，旧国国见青山。。。01一月月