第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

会计学1第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点

FIR滤波器具有线性相位的特性，它的幅度有特殊的对称性，零点和网络结构也很特别。

1.线性相位的条件对于长度为N的h(n)，传输函数为第1页/共30页

式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即

θ(ω)=-τω,τ为常数(7.1.3)

如果θ(ω)满足下式也称为线性相位，

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(7.1.4)

严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位。但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即第2页/共30页

所以两种情况都称为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。

FIR滤波器具有第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即

h(n)=h(N-n-1)

FIR滤波器具有第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即

h(n)=-h(N-n-1)

2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点第3页/共30页第4页/共30页第5页/共30页

3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：

图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布

第6页/共30页4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有

令m=N-n-1,则有第7页/共30页如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，从上面的公式可以看出，线性相位FIR滤波器比FIR滤波器的直接型结构节省乘法器近一半。线性相位滤波器的网络结构图如下：第8页/共30页图7.1.2第一类线性相位网络结构第9页/共30页图7.1.3第二类线性相位网络结构第10页/共30页7.2利用窗函数法设计FIR滤波器

设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω)，hd(n)是它的单位脉冲响应，因此对于理想的低通滤波器，它的传递函数为第11页/共30页

相应的单位取样响应hd(n)为

为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)RN(n)第12页/共30页

我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第13页/共30页

以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅氏级数，即根据复卷积定理，得到：

式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即第14页/共30页RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ejω)写成下式：按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：第15页/共30页

将H(ejω)写成下式：其卷积结果用图表示比较直观。第16页/共30页

图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响第17页/共30页

通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：

(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近H(ω)有过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。

(2)通带内H(ω)有波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内H(ω)有余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。

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下面介绍几种常用的窗函数。设

h(n)=hd(n)w(n)

式中w(n)表示窗函数。

1.矩形窗(RectangleWindow)2.三角形窗(BartlettWindow)3.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗

4.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗

5.布莱克曼(Blackman)窗第19页/共30页图7.2.4常用的窗函数第20页/共30页

图7.2.5常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗第21页/共30页

图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；

(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗第22页/共30页

下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。

(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ejω)，那么单位取样响应用下式求出：第23页/共30页(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。

(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)，

h(n)=hd(n)w(n)(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：第24页/共30页

例7.2.1用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。解：用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有第25页/共30页

用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：它们的幅频特性如图所示。第26页/共30页图7.2.7例7.2.1的低通幅度特性第27页/共30页7.5IIR和FIR数字滤波器的比较

首先，从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。FIR滤波器可得到线性相位，阶数较高。第28页/共30页