云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县崇德中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析

云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县崇德中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中an＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于（

）A.3

B.6

C.9

D.36参考答案：C2.过椭圆C：+=1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（） A．（0，] B．（，] C．[，1） D．（，1）参考答案：C【考点】圆锥曲线的轨迹问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先确定P，Q坐标之间的关系，利用椭圆方程，可得Q点轨迹方程，从而可求离心率的取值范围． 【解答】解：设P（x1，y1），Q（x，y）， 因为右准线方程为x=3， 所以H点的坐标为（3，y）． 又∵|HQ|=λ|PH|（λ≥1）， 所以=， ∴由定比分点公式，可得x1=，y1=y， 代入椭圆方程，得Q点轨迹方程为+=1 ∴离心率e==∈[，1）． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题． 3.在等差数列{an}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（） A．30 B．45 C．60 D．120参考答案：C【考点】等差数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可． 【解答】解：在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq， ∴a2+a4+a6+a8=（a2+a8）+（a4+a6）=2a5+2a5=4a5=4×15=60． 故选：C． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，以及利用等差数列的性质进行计算，要求熟练掌握等差数列的性质：在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq． 4.过点A（，0）作椭圆的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为,若和的离心率分别为和，则和的关系是（

）。A

＝

B

＝2

C

2＝

D

不能确定

参考答案：正解：A。设弦AB中点P（，则B（

由+=1，+=1*=

误解：容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取4，而导致错误。5.已知二次函数，则存在，使得对任意的（

）A． B． C． D．参考答案：C6.某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为、，

直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为．求点M的轨迹方程”时，将其

中的已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如

下图所示的作图探究：

参考该同学的探究，下列结论错误的是

A．时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）

B．时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）

C．时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）

D．时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）参考答案：D7.已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）A．8 B．11 C．14 D．17参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=a，圆心（﹣2，2），半径．故弦心距d==．再由弦长公式可得a=2+9，∴a=11；故选：B．8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= (A)1 (B) (C)2 (D)3参考答案：C略9.椭圆（m>0，n>0）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率e为，则此椭圆的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线上一点，且，则等于（

）.A.

B.

C.

D.

参考答案：A由题意，得，则，则；故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），计算它的体积为

cm3.参考答案：12.已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．参考答案：3x+y﹣4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．13.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5﹣S4=3，则S9=．参考答案：27【考点】等差数列的前n项和．【分析】由数列性质得a5=S5﹣S4=3，由等差数列的通项公式及前n项和公式得S9==9a5，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，∵S5﹣S4=3，∴a5=S5﹣S4=3，∴S9==9a5=27．故答案为：27．14.如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比

．参考答案：设正四面体的棱长为a，正方体的边长为x，则正四面体的体积为，正方体的体积为，所以，解得，所以正四面体与正方体的表面积的比为：．

15.已知，，，，则__________（其中）．参考答案：试题分析：第一个式子左边1个数的平方，右边从1开始，连续的2个整数相乘，再乘；第二个式子左边2个数的平方，右边从2开始，连续的2个整数相乘，再乘；第个式子左边个数的平方和，右边从开始，连续的2个数相乘，在乘，即为．考点：归纳推理的应用．16.对于函数f（x）给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算=．参考答案：2016【考点】63：导数的运算；3T：函数的值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：由，∴f′（x）=x2﹣x+3，所以f″（x）=2x﹣1，由f″（x）=0，得x=．∴f（x）的对称中心为（，1），∴f（1﹣x）+f（x）=2，故设f（）+f（）+f（）+…+f（）=m，则f（）+f（）+…+f（）=m，两式相加得2×2016=2m，则m=2016，故答案为：2016．【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．17.已知，为第四象限角，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的焦距为4,且过点.（1）求椭圆C的方程;（2）设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.参考答案：解:(1)因为椭圆过点

且

椭圆C的方程是(2)由题意,各点的坐标如上图所示,

则的直线方程:

化简得

又,所以带入得

所以直线与椭圆只有一个公共点略19.已知椭圆过点，其焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（I）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：，所以椭圆的方程为.（II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为

令，，令，所以又点B在椭圆的第一象限上，所以

，

，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为

（Ⅲ）设，则椭圆在点处的切线为：又过点，所以，同理点也满足，所以都在直线上，即：直线MN的方程为

所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切.

略20.已知函数.（1）若函数的最小值为2，求实数a的值；（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：(1)或.(2)【分析】（1）利用绝对值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，故的解集是的子集，据此可求的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.令，得或，解得或.（2）当时，.由，得，即，即.据题意，，则，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】（1）绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．21.已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案：解：（1）由，

得.

依题意△是等腰直角三角形，从而，故.

所以椭圆的方程是.

（2）设，，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.

所以，.

若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.

设，则有.将，代入上式，整理得，所以.

将，代入上式，整理得.由于上式对任意实数都成立，所以.

综上，存在定点，使平分22.某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．参考答案：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，