几何学的变革

9几何学的变革欧几里得平行公设非欧几何的诞生非欧几何的发展与确认射影几何的繁荣几何学的统一9几何学的变革欧氏几何在公元前300年就已产生，其特征是建立了公理化方法：即从几个概念和几个命题，演绎出本学科其它所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科学。欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的《原本》中，在其之后的2200后，希尔伯特在《几何基础》加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完备性工作。9几何学的变革

然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公设，即平行公设的问题。因为人们发现即使欧几里得本人也尽量避免使用它。9几何学的变革9.1欧几里得平行公设第五公设（即平行公设）寻求第五公设的证明非欧几何的孕育9几何学的变革9.1欧几里得平行公设一第五公设（即平行公设）《原本》中五个公设：1由任意一点到另外任意一点可以画直线2一条有限直线可以继续延长3以任意点为心及任意的距离可以画圆4凡直角都彼此相等5同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交9.1欧几里得的平行公设从古希腊时代开始，人们一直对第五公设有疑问，二千年来，数学家们一直在想消除这个疑问，其途径有二：一是用更为自明的命题代替第五公设；二是证明它，使其成为一个定理。两千年来提出众多的替代公设有：9.1欧几里得的平行公设存在一对同平面的直线彼些处处等距离过己知直线外一点能且只能作一条直线与己知直线平行存在一对相似但不全等的三角形如果一个四边形有一对对边相等，并且它们与第三边构成的角均为直角，则余下的两个角也是直角9.1欧几里得的平行公设如果四边形有三个角是直角，则第四个角也是直角至少存在一个三角形，其三角和等于二直角过任何三个不在同一直线上的点可作一圆三角形的面积无上限

但所有这些替代公设，也不自明。9.1欧几里得的平行公设二寻求第五公设的证明多少世纪以来，试图证明第五公设的人是如此之多，差不多够一个军团，但所有这些尝试均告失败。9.1欧几里得的平行公设三非欧几何的孕育

1萨凯里（Saccheri）著《欧几里得无懈可击》（1733）从著名的“萨凯里四边形”出发证明平行公设2克吕格尔1763年，克吕格尔指出萨凯里的工作并未导出矛盾，他怀疑能否证明平行公设9.1欧欧几几里里得得的的平平行行公公设设3兰伯伯特特著《《平平行行线线的的理理论论》》（（1766））他认认识识到到一一组组假假设设如如果果不不引引起起矛矛盾盾的的话话，，就就提提供供了了一一种种可可能能的的几几何何。。兰伯伯特特最最先先指指出出通通过过替替换换平平行行公公设设而而展展开开新新的的无无矛矛盾盾的的几几何何学学的的道道路路。。萨凯里、、克吕格格尔、兰兰伯特是是非欧几几何的先先行者。。平行公公理的的研究究(公公元前前3世世纪至至1800年)A+B+C=2π非欧几几何的的孕育育欧几里得普莱菲尔(苏格兰,1748-1819)

勒让德(法,1752-1833)若一直直线落落在两两直线线上所所构成成的同同旁内内角和和小于于两直直角,那那么把把两直直线无无限延延长,它它们都都在同同旁内内角和和小于于两直直角的的一侧侧相交交.勒让德德(法法,1752-1833)《《几何何学原原理》》：这这条关关于三三角形形的三三个内内角和和的定定理应应该认认为是是那些些基本本真理理之一一。这这些真真理是是不容容争论论的，，它们们是数数学永永恒真真理的的不朽朽的例例子。。(1832)1733年年萨凯凯里(意,1667-1733)《《欧几几里得得无懈懈可击击》非欧几几何的的孕育育非欧几几何的的孕育育1766年年兰伯伯特(法,1728-1777)《《平行行线理理论》》不认认为锐锐角假假设矛矛盾,认认识识到如如果一一组假假设不不引起起矛盾盾,就就提提供了了一种种可能的的几何何1763年年，克克吕格格尔(德,1739-1812)第第一位位对平平行线线公设设是否否能由由其它它公理理加以以证明明表示怀怀疑的数学学家1820年年F••鲍约约(匈匈,1775-1856):““我我经过过了这这个长长夜的的渺无无希望望的黑黑暗,在在这里里埋没没了我我一生生的一一切亮亮光和和一切切快乐乐,………或或许这这个无无底洞洞的黑黑暗将将吞食食掉一一千个个犹如如灯塔塔般的的牛顿顿,而而使使大地地永无无光明明。””9.2非非欧欧几何何的诞诞生高斯波约罗巴切切夫斯斯基9.2非非欧欧几何何的诞诞生一高高斯（（Gauss，，1777—1855））1799年年，高高斯意意识到到平行行公设设不能能由其其它欧欧氏公公理推推出来来，并并从1813年年起发发展了了这种种平行行公设设在其其中不不成立立的新新几何何学，，称之之为反反欧几几里得得几何何学，，但高高斯生生前未未发表表。9.2非非欧欧几何何的诞诞生二波波约约（1802——1860）1823年年，波波约开开始理理解平平行公公设问问题的的实质质，称称“我我要白白手起起家创创造一一个奇奇怪的的新世世界””。波波约称称他的的非欧欧几何何为““绝对对几何何”。。著《绝绝对空空间的的科学学》9.2非非欧欧几何何的诞诞生三罗罗巴巴切夫夫斯基基（1792——1856）1826《简要要论述述平行行线定定理的的一个个严格格证明明》1829《《论论几何何原理理》1835——1838系系列列论论文文《具具有有完完备备的的平平行行线线理理论论的的新新几几何何学学原原理理》》1840《《平平行行理理论论的的几几何何研研究究》》9.2非非欧欧几几何何的的诞诞生生罗巴巴切切夫夫斯斯基基在在否否定定第第五五公公理理的的同同时时，，假假设设其其反反面面之之一一：：““过已已知知直直线线外外一一点点，，可可作作多多于于一一条条的的直直线线与与已已知知直直线线平平行行””，，得到到了了一一系系列列定定理理，，并并且且认认为为他他得得到到了了一一门门新新的的几几何何学学。。罗巴巴切切夫夫斯斯基基宣宣布布自自己己建建立立了了新新的的几几何何学学之之后后，，遭遭到到了了许许多多数数学学大大家家的的嘲嘲笑笑、、讽讽刺刺，，德德国国诗诗人人歌歌德德也也出出来来讽讽刺刺他他。。实实际际上上，，罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基的的理理论论得得到到世世界界的的认认可可是是在在他他去去世世几几十十年年后后的的事事了了。。π(α)非欧欧几几何何1813年年高高斯斯(德德,1777-1855)：：非非欧欧几几里里得得几几何何1832年年波波约约(匈匈,1802-1860)《《绝绝对对空空间间的的科科学学》》几何何学学上上的的哥哥白白尼尼1826年年罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基(俄俄,1792-1856)《《简简要要论论述述平平行行线线定定理理的的一一个个严严格格证证明明》》罗巴切夫斯基(苏联,1951)非欧欧几几何何罗巴巴切切夫夫斯斯基基(俄俄,1792-1856)，，喀喀山山大大学学教教授授、、校校长长1815年年着手研究究平行线理理论，试图图给出平行行公设的证证明1826年年在在物物理理数数学学系系会会议议宣宣读读《《简简要要论论述述平平行行线线定定理理的的一一个个严严格格证证明明》》1829年年论论文文《《几几何何学学原原理理》》在在《《喀喀山山大大学学通通报报》》全全文文发发表表直至至罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基去去世世的的30年年内内，，没没能能赢赢得得社社会会的的承承认认和和赞赞美美鲍约(罗马尼亚,1960)非欧欧几几何何鲍约父子之墓9.3非非欧欧几几何何的的发发展展与与确确认认黎曼曼几几何何非欧欧几几何何的的相相容容性性公理理系系统统的的相相对对相相容容性性的的证证明明非欧欧几几何何的的意意义义9.3非非欧欧几何的的发展与与确认非欧几何何从发现现到获得得普遍接接受经历历了曲折折的道路路，要达达到这一一目标，，需要确确定非欧欧几何自自身的无无矛盾性性和现实实意义。一黎曼几几何黎曼（Rieman，1826—1866）在在1854年年发展了罗巴巴切夫斯基等等人的思想，，建立了现称称为“黎曼几几何”的一种种更广泛的几几何，欧氏几几何、罗氏几几何、黎曼非非欧几何都只只是其特例。。9.3非非欧几何的发发展与确认在罗氏几何产产生后的1854年，德德国数学家黎黎曼把欧氏第第五公设改为为：“过已知知直线外一点点，没有与其其平行之直线线”，得到的的一种新的几几何学—黎曼曼非欧几何，，为非欧几何何的另一翼。。9.3非非欧几何的发发展与确认在黎曼几何中中，最重要的的一种对象是是常曲率空间间，对于三维维空间，有下下列情形：曲率为正常数数黎曼非欧几何何椭圆几几何曲率为负常数数罗氏非欧几何何双曲几几何曲率恒为零欧氏几何内蕴几何，流流形曲率1854年黎黎曼(德,1826-1866)《关于几何何基础的假设设》非欧几何非欧几何1846年进进入哥廷根大大学专修语言言和神学1847-1848年到到柏林大学,进入数学学领域1849-1851年在在哥廷根大学学,取得博博士学位,学学位论文““单复变函数数一般理论基基础”1854年讲讲师职位讲演演:关于几几何基础的假假设,1857年副教教授,1859年教授授1862年得得肺结核,1866年年在意大利逝逝世1876年出出版《黎曼全全集》(发表表论文18篇篇,遗稿12篇)伟大的分析学学家：复变函函数论、阿贝贝尔函数论、、超几何级数数与常微分方方程、解析数数论、实分析析、几何学、、数学物理、、物理学黎曼(德,1826-1866)“黎曼是一一个富有想象象的天才,他他的想法即即使没有证明明,也鼓舞舞了整整一个个世纪的数学学家.”9.3非非欧几何的发发展与确认二非欧几几何的相容性性三公理系系统的相对相相容性的证明明模型与相容性性1868年贝贝尔特拉米(意,1835-1899)非欧几何曳物线伪球面1871年克克莱因(德,1849-1925)1882年庞庞加莱(法,1854-1912)非欧几何克莱因-庞加莱圆9.3非非欧几何的发发展与确认四非欧几几何的意义1解决了平平行公理的独独立性问题。。推动了一般般公理体系的的独立性、相相容性、完备备性问题的研研究，促进了了数学基础这这一更为深刻刻的数学分支支的形成与发发展。9.3非非欧几何的发发展与确认2证明了了对公理方法法本身的研究究能推动数学学的发展，理理性思维和对对严谨、逻辑辑和完美的追追求，推动了了科学，从而而推动了社会会的发展和进进步。在数学学内部，各分分支纷纷建立立了自己的公公理体系，包包括被公认为为最困难的概概率论也在20世纪30年代建立自自己的公理体体系。实际上上公理化的研研究又孕育了了“元数学””的产生和发发展。9.3非非欧几何的发发展与确认3非欧几几何实际上预预示了相对论论的产生，就就象微积分预预示了人造卫卫星一样。非非欧几何与相相对论和汇合合是科学史上上划时代的事事件。人们都都认为是爱因因斯坦创立了了相对论，但但是，也许爱爱因斯坦更清清楚，是他和和一批数学家家Poincare,Minkouski,Hilbert等共同同的工作。出出现动钟延缓缓，动尺缩短短，时空弯曲曲等现象。这这些都是非欧欧几何与相对对论的科学发发现。9几何学学的变革9.4射射影几何的繁繁荣蒙日(法国,1953)1803年卡卡尔诺(法,1753-1823)的《位置置几何学》卡尔诺(法国,1950)1799年蒙蒙日(法,1746-1818)的《画法几几何学》射影几何早期开拓者:德沙格(法,1591-1661),帕帕斯卡(法法,1623-1662)综合方法连续性原理对偶原理1822年庞斯列(法,1788-1867)的《论图形的射影性质》射影几何代数方法默比乌斯(德,1790-1868)1827年默比乌斯(德,1790-1868)的《重心计算》1829年普吕克(德,1801-1868)的三线坐标普吕克(德,1801-1868)射影几何射影几何施陶特(德,1798-1867)

1847年施陶特(德,1798-1867)的《位置几何学》

凯莱(英,1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何凯莱(英,1821-1895)9几何学学的变革9.5几几何学的统一一爱尔朗根纲领领（克莱因，，1872年年）：所谓几何学，，就是研究几几何图形对于于某类变换群群保持不变的的性质的学问问，或者说任任何一种几何何只是研究与与特定的变换换群有关的不不变量。克莱因以射影影几何为基础础、对几何学学做了分类。。所谓几何学，，就是研究几几何图形对于于某类变换群群保持不变的的性质的学科科，或者说任任何一种几何何学只是研究究与特定的变变换群有关的的不变量。1872年