等差数列前n项和公式

会计学1等差数列前n项和公式复习回顾(1)等差数列的通项公式:

已知首项a1和公差d,则有:

an=a1+(n-1)d

已知第m项am和公差d,则有:

an=am+(n-m)d

(2)等差数列的性质:

在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N*),那么:am+an=ap+aq第1页/共16页

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现

问题1第2页/共16页问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现第3页/共16页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

123212120191获得算法：第4页/共16页问题2一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”第5页/共16页

问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）

这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以x=5050.高斯第6页/共16页问题3:求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1第7页/共16页设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

下面将对等差数列的前n项和公式进行推导n个a1+an倒序相加法第8页/共16页由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。正所谓：知三求二第9页/共16页【公式记忆】用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.等差数列的前n项和公式类同于

；梯形的面积公式（补成平行四边形）第10页/共16页例1．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：

,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员7天共跑了多少米？解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为｛an},其中a1=7500,a7=10500.根据等差数列前n项和公式，得答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.第11页/共16页例2等差数列-10，-6，-2，

2，…前多少项的和是54？

本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.第12页/共16页解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)=4根据等差数列前n项和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.设该数列前n项和为54

×4=54成立

第13页/共16页

1.推导等差数列前n项和公式的方法小结：2.公式的应用中的数学思想.