第讲齐次线性方程组解的结构已修改

会计学1第讲齐次线性方程组解的结构已修改二.齐次线性方程组有非零解的条件第二节齐次线性方程组解的结构一.齐次线性方程组解的基本性质三.齐次线性方程组的通解第1页/共52页一.齐次线性方程组解的基本性质第2页/共52页第3页/共52页证第4页/共52页证第5页/共52页第6页/共52页

二.齐次线性方程组有非零解的条件第7页/共52页第8页/共52页证第9页/共52页第10页/共52页齐次线性方程组有非零解的条件第11页/共52页问题第12页/共52页三.齐次线性方程组的通解第13页/共52页第14页/共52页第15页/共52页第16页/共52页小结第17页/共52页例解第18页/共52页第19页/共52页第20页/共52页例解第21页/共52页例解第22页/共52页第23页/共52页解线性方程组的一个应用下面讨论矩阵的特征值与特征向量第24页/共52页

定义3.1第25页/共52页第26页/共52页第27页/共52页第28页/共52页

定理3.1第29页/共52页例3.1

求A的特征值和特征向量：解：第30页/共52页第31页/共52页例3.2

求A的特征值和特征向量：解：第32页/共52页第33页/共52页

定理3.2第34页/共52页第35页/共52页三、特征值和特征向量的求法齐次线性方程组(A

–E)X=0有非零解

设A

R

nn，为矩阵A

的一个特征值，而X为矩阵A

对应于特征值

的一个特征向量。A

X=

X，有其中X

是非零向量(A

–E)X=0A

X=

X第36页/共52页方程(4)是一个关于的n

次多项式方程，称为

A的特征方程。

的n

次多项式()=|A

–E|，称为A

的特征多项式。|A

–E|==0(4)–––第37页/共52页求矩阵A的特征值，特征向量的过程(1)由特征方程|A

–E|=0，求出特征值。(2)由(A

–E)X=0，求出非零向量X，注：若齐次线性方程组(A

–E)X=0的基础解系是

X1,X2,…,Xn–r。X=k1X1+k2X2+…+Kn–rXn–r则对应于的所有特征向量X

可表示成

其中ki

不全为0，i=1,2,…,n–r。即为对应于的特征向量。第38页/共52页例6求的特征值和特征向量。解：A有一个特征单根

1=2|A

–E|==(

–2)(

–1)2–––第39页/共52页(1)设A的对应于1=2的特征向量为

X=解方程组(A

–2E)X=0A

–2E=r1

r3r2

+4r1r3

+3r1r3

–

r2r(A–2E)=2<3有一个自由未知量x3第40页/共52页x1=0,x2=0取x3=1得X1=A的对应于

=2的特征向量为其中k10R

X=k1X1=k1第41页/共52页(2)对于2=3=1，设对应的特征向量X=解方程组(A

–E)X=0A

–E=r1

r3r2

+4r1r3

+2r1r3

r2r3

–2r2对应的方程组为x1=–x3x2=–2x3第42页/共52页取x3=1,

得X2=A的对应于

=1的特征向量为其中k20R

X=k2第43页/共52页例7解：的特征值：第44页/共52页例8解：的特征值和特征向量:求实对称矩阵(1)解=0第45页/共52页同理，解=0其中：，X1与X2正交。第46页/共52页定理4

设A

Rnn

为实对称阵，则A的特征值全是实数，且对每个特征值都存在实的特征向量。定理5

设ARnn

为实对称阵，则A的不同特征值相应的特征向量相互正交。第47页/共52页例9证明相似矩阵有相同的特征值设A~B，存在可逆矩阵